4.3用频率估算概率课后培优提升训练（含答案）2025—2026学年湘教版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 4.3用频率估算概率课后培优提升训练（含答案）2025—2026学年湘教版九年级数学下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 353.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-13 00:00:00 | ||
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文档简介
4.3用频率估算概率课后培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数
“射中九环以上”的次数
“射中九环以上”的频率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．从一定高度随意抛掷一枚质地均匀的硬币，当抛掷的次数足够多时，硬币落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值是（ ）
A． B． C． D．
3．近年，二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小蕊、小翀同学设计了一款二维码，打印在面积为16的正方形纸片上，如图，她在纸内随机投点，经过大量试验，发现点落在白色部分的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（ ）
A．9.6 B．11.2 C．6.4 D．0.4
4．在一个不透明的袋子中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外无其他差别，每次从袋子中随机取出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．一个不透明的袋子中装有2个黑球和N个红球，这些球除颜色外其他都相同．摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了2000次球，发现有1600次摸到红球，则N的值是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．2
6．关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（ ）
①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大；
②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；
③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖；
④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，用频率估计“正面朝上”的概率为0.55，下列说法正确的是（ ）
A．抛掷100次，一定有55次正面朝上 B．抛掷1次，一定是正面朝上
C．抛掷1次，不一定是正面朝上 D．抛掷2次，一定有2次正面朝上
8．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．一个不透明的盒子中有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为 ．
10．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数
合格的头盔数
合格头盔的频率
请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为 （精确到0.01）
11．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示．
试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000
发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901
据此估计，这批种子中大约有 是能发芽的．（精确到个位）
12．投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图：
据此估计小新投壶一次投中的概率为 （结果保留小数点后一位）．
三、解答题
13．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外无其他差别，小明做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，获得数据如下表所示：
摸球的次数 50 100 200 500 1000 1500
摸到黑球的次数 22 42 78 199 399 601
摸到黑球的频率 0.440 0.420 0.390 0.398 0.399 0.401
(1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是___________（精确到0.1），袋中黑球的个数约为___________个；
(2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，求小明后来放进了多少个黑球？
14．一个不透明的袋子中共装有4个小球，其中2个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次．
(1)随机摸球10次，其中摸出白球3次，则这10次摸球中，摸出白球的频率是_____________；
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出不同颜色的小球的概率．
15．某校学生会计划开展一场活动，为了解本校学生对参加该活动的意愿，从该校随机调查了100位学生对该活动的参加意愿，统计结果如下表（单位：人）：
参加意愿 初中生 高中生
愿意 40 20
不愿意 20 20
(1)若从该校全体初中生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率；
(2)若该校共有初中生2400人，高中生1800人，现从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率．
16．在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601
摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601
(1)上表中的________．
(2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）．
(3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？
17．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球的次数m 73 117 152 370 604 751
摸到白球的频率
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留两位小数）
(2)试估算，口袋中黑球的个数是________，白球的个数是___________；
(3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率．
18．一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，其数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据：
摸球总次数 150 200 250 300 350 400
摸到红球的次数 98 126 150 177 198
摸到红球的频率
(1)上表中的___________，___________（小数形式）：
(2)“摸到红球”的概率估计值为___________；（精确到）
(3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．C
4．C
5．A
6．B
7．C
8．B
二、填空题
9．
10．0.96
11．90
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：根据题意和表格可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定到0.4左右，故摸到黑球的频率接近0.4，
估计摸一次球能摸到黑球的概率是0.4，
袋中黑球的个数约为（个）．
故答案为：0.4，20．
（2）解：设小明后来放进了个黑球，则袋中球的总数为个，黑球的个数为个，
根据题意得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
小明后来放进了个黑球．
14．【详解】（1）解：由题意得，摸出白球的频率是；
故答案为：；
（2）解：画树状图得，
共有16种等可能的结果，其中两次摸出不同颜色小球的结果有10种结果，
∴这两次摸出不同颜色的小球的概率．
15．【详解】（1）解：由表格数据可知，随机调查的初中生共有人，
其中，愿意参加该活动的有40人，
若从该校全体初中生中随机抽取1位，
由频率估计概率可得，这位初中生愿意参加该活动的概率约为；
（2）解：由样本估计总体得，
该校初中生中愿意参加该活动的有人，
该校高中生中愿意参加该活动的有人．
若从该中学的全体学生中随机抽取1位学生，
由频率估计概率可得，
这位学生愿意参加该活动的概率约为．
16．【详解】（1）解：表中，
故答案为：0.58；
（2）解：根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6，
所以摸到白球的概率的估计值是0.6，
故答案为：0.6；
（3）解：（2）中情况下，白球的个数为：（个），
添加4个黑球后，摸到白球的概率为：，
即此时摸到白球的概率是．
17．【详解】（1）解：由题意知，摸到白球的频率逐渐接近：，
则摸到白球的概率可看作：，
摸到黑球的概率：．
故答案为：，，；
（2）解：由（1）可知摸到白球的概率为，摸到黑球的概率为，而小球总数为4，
所以口袋中黑球的个数：，
口袋中白球的个数：．
故答案为：1，3；
（3）解：画树状图如下，
共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有10种情况，
两次摸到的球的颜色正好相同的概率为．
18．【详解】（1）解：，；
（2）解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近，
∴摸到红球的概率估计值是；
（3）解：设黑球有个，则白球有个；
∴，
解得：，
∴摸到黑球的概率为，
答：摸到黑球的概率为．
一、选择题
1．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数
“射中九环以上”的次数
“射中九环以上”的频率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．从一定高度随意抛掷一枚质地均匀的硬币，当抛掷的次数足够多时，硬币落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值是（ ）
A． B． C． D．
3．近年，二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小蕊、小翀同学设计了一款二维码，打印在面积为16的正方形纸片上，如图，她在纸内随机投点，经过大量试验，发现点落在白色部分的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（ ）
A．9.6 B．11.2 C．6.4 D．0.4
4．在一个不透明的袋子中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外无其他差别，每次从袋子中随机取出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．一个不透明的袋子中装有2个黑球和N个红球，这些球除颜色外其他都相同．摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了2000次球，发现有1600次摸到红球，则N的值是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．2
6．关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（ ）
①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大；
②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；
③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖；
④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，用频率估计“正面朝上”的概率为0.55，下列说法正确的是（ ）
A．抛掷100次，一定有55次正面朝上 B．抛掷1次，一定是正面朝上
C．抛掷1次，不一定是正面朝上 D．抛掷2次，一定有2次正面朝上
8．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．一个不透明的盒子中有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为 ．
10．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数
合格的头盔数
合格头盔的频率
请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为 （精确到0.01）
11．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示．
试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000
发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901
据此估计，这批种子中大约有 是能发芽的．（精确到个位）
12．投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图：
据此估计小新投壶一次投中的概率为 （结果保留小数点后一位）．
三、解答题
13．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外无其他差别，小明做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，获得数据如下表所示：
摸球的次数 50 100 200 500 1000 1500
摸到黑球的次数 22 42 78 199 399 601
摸到黑球的频率 0.440 0.420 0.390 0.398 0.399 0.401
(1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是___________（精确到0.1），袋中黑球的个数约为___________个；
(2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，求小明后来放进了多少个黑球？
14．一个不透明的袋子中共装有4个小球，其中2个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次．
(1)随机摸球10次，其中摸出白球3次，则这10次摸球中，摸出白球的频率是_____________；
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出不同颜色的小球的概率．
15．某校学生会计划开展一场活动，为了解本校学生对参加该活动的意愿，从该校随机调查了100位学生对该活动的参加意愿，统计结果如下表（单位：人）：
参加意愿 初中生 高中生
愿意 40 20
不愿意 20 20
(1)若从该校全体初中生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率；
(2)若该校共有初中生2400人，高中生1800人，现从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率．
16．在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601
摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601
(1)上表中的________．
(2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）．
(3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？
17．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球的次数m 73 117 152 370 604 751
摸到白球的频率
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留两位小数）
(2)试估算，口袋中黑球的个数是________，白球的个数是___________；
(3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率．
18．一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，其数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据：
摸球总次数 150 200 250 300 350 400
摸到红球的次数 98 126 150 177 198
摸到红球的频率
(1)上表中的___________，___________（小数形式）：
(2)“摸到红球”的概率估计值为___________；（精确到）
(3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．C
4．C
5．A
6．B
7．C
8．B
二、填空题
9．
10．0.96
11．90
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：根据题意和表格可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定到0.4左右，故摸到黑球的频率接近0.4，
估计摸一次球能摸到黑球的概率是0.4，
袋中黑球的个数约为（个）．
故答案为：0.4，20．
（2）解：设小明后来放进了个黑球，则袋中球的总数为个，黑球的个数为个，
根据题意得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
小明后来放进了个黑球．
14．【详解】（1）解：由题意得，摸出白球的频率是；
故答案为：；
（2）解：画树状图得，
共有16种等可能的结果，其中两次摸出不同颜色小球的结果有10种结果，
∴这两次摸出不同颜色的小球的概率．
15．【详解】（1）解：由表格数据可知，随机调查的初中生共有人，
其中，愿意参加该活动的有40人，
若从该校全体初中生中随机抽取1位，
由频率估计概率可得，这位初中生愿意参加该活动的概率约为；
（2）解：由样本估计总体得，
该校初中生中愿意参加该活动的有人，
该校高中生中愿意参加该活动的有人．
若从该中学的全体学生中随机抽取1位学生，
由频率估计概率可得，
这位学生愿意参加该活动的概率约为．
16．【详解】（1）解：表中，
故答案为：0.58；
（2）解：根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6，
所以摸到白球的概率的估计值是0.6，
故答案为：0.6；
（3）解：（2）中情况下，白球的个数为：（个），
添加4个黑球后，摸到白球的概率为：，
即此时摸到白球的概率是．
17．【详解】（1）解：由题意知，摸到白球的频率逐渐接近：，
则摸到白球的概率可看作：，
摸到黑球的概率：．
故答案为：，，；
（2）解：由（1）可知摸到白球的概率为，摸到黑球的概率为，而小球总数为4，
所以口袋中黑球的个数：，
口袋中白球的个数：．
故答案为：1，3；
（3）解：画树状图如下，
共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有10种情况，
两次摸到的球的颜色正好相同的概率为．
18．【详解】（1）解：，；
（2）解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近，
∴摸到红球的概率估计值是；
（3）解：设黑球有个，则白球有个；
∴，
解得：，
∴摸到黑球的概率为，
答：摸到黑球的概率为．