7.6用锐角三角函数解决问题课后培优提升训练（含答案）2025—2026学年苏科版九年级数学下册

7.6用锐角三角函数解决问题课后培优提升训练苏科版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．在中，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是某运动员进行跳伞运动时的示意图，运动员在空中的A点处打开降落伞，此时显示离地高度为，且从点看地面降落区中心点的俯角为，则此时降落伞到降落区中心的水平距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值为（ ）
A．32 B． C．16 D．
5．如图，在中，，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形中，是的中点，在延长线上取点使，过点作交于点，交于点，交于点，连接，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，沿折叠矩形，使点落在边的点处，若，则的长为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．
8．如图，内接于，为的直径，交于点E，若，，则（ ）
A．2 B．6 C．3 D．5
二、填空题
9．已知中，，则 ．
10．在中，，，的周长为，那么为 ．
11．如图，在中，，，分别为边上的点，且则的长为 ．
12．在纸片中，，，，是边上一点，连接，沿把纸片裁开，若是等腰三角形，则的长度是 ．
三、解答题
13．如图，在四边形中，，，对角线平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
14．如图，是的直径，点、在上，过点作的切线与的延长线交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求直径的长．
15．圭表（如图）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为米．
(1)求的度数．
(2)求表的长（最后结果精确到米）．（参考数据：，，，）
16．在菱形中，，对角线、交于点，
(1)如图1，求的值．
(2)如图2，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接．
①当时，求的长．
②求的最小值．
17．如图，在中，弦的长为，点在延长线上，且，．
(1)求的半径；
(2)求的正切值．
18．如图，在矩形中，对角线，相交于点．，分别是边和对角线上的点，连接，，且，
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)若，求．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．B
4．B
5．B
6．C
7．B
8．D
二、填空题
9．4
10．
11．
12．或或
三、解答题
13．【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵对角线平分．
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵在中，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵中，，
∴，
解得或，
∴或，
∴或，则或，
∴菱形的面积为或．
∴菱形的面积为96．
14．【详解】（1）解：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
设，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴．
15．【详解】（1）解：∵是的外角，
∴ ，
∵，，
∴ ；
（2）解：设米
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得（米）
答：表的长米．
16．【详解】（1）解：在菱形中，，
，
，
；
（2）解：①四边形是菱形，
，
，
，
；
，
，
，
由轴对称的性质可得，
，
，
；
②如图所示，过点作于，于，
，
，
由轴对称的性质可得，且，，
∴，
在中，由勾股定理得
，
当有最小值时，有最小值，
由垂线段最短可知，
当点与点重合时，有最小值，最小值为．
17．【详解】（1）解：如图，延长交于点，连接，
由圆周角定理得：，
弦的长为，且，
，
解得，
，
即的半径为．
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
即的正切值为．
18．【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，，
，
∵，
，
，
又，，，
，
．
（2）解：，
∴，
设，则，则，
，
，
∵，
．
（3）解：，
设，，则，
，
，
，
，
，
又在矩形中，，
，
．