7.1正切 课后培优提升训练（含答案） 苏科版2025—2026学年九年级下册

7.1正切课后培优提升训练苏科版2025—2026学年九年级下册
一、选择题
1．在中，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．在中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A，B，C，O都是正方形网格的格点，且点A，B，C都在上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则（ ）
A． B． C． D．3
5．如图，在中，，，垂足为D，若，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
6．若将（）的两直角边的长度都扩大为原来的3倍，则该中锐角的正切值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．没有变化
C．缩小为原来的 D．不能确定
7．已知点为抛物线上一点，如果点的横坐标为，记与轴的夹角为，那么为（ ）
A．2 B． C． D．
8．如图是一张直角三角形纸片，其中，，．现将该直角三角形纸片沿折叠，使点与点重合，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，正方形的顶点B在y轴正半轴上，且顶点A的坐标为，，则的值为 ．
10．如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则 ．
11．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为 ．
12．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，和相交于点，点落在线段上，连接．
（1）若，则 ；
（2）若，则 ．
三、解答题
13．如图，点在的直径的延长线上，点是上任意一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，求的长．
14．如图1，二次函数的图象交轴于点及点，交轴于点，是二次函数图象上在第一象限内的动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，，，若，求点的坐标；
(3)如图2，连接，交直线于点D，当点D是线段的三等分点时，求的值．
15．如图，是中边上的高，点是边上一点，，若，．
(1)求的长；
(2)若，求的值．
16．在平面直角坐标系中，把抛物线向下平移1个单位长度，所得的新抛物线顶点坐标为．
(1)求原抛物线的表达式；
(2)若新抛物线与轴交于点，原抛物线顶点为，求的正切值．
17．如图，E是正方形中边上的一点，将射线绕点A逆时针旋转，交的延长线于点F，连接．
(1)补全图形，并证明线段；
(2)若，求的值．
18．四边形中，，，，，．点在直线上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，设．
(1)的最小值为________，此时________；
(2)在点随点运动的过程中，
①若点恰好落在边上，如图2，求的值；
②连接，若，如图3，求的值；
(3)当点Q到的距离为1时，直接写出的值．
参考答案
一 、选择题
1．C
2．A
3．A
4．D
5．D
6．B
7．C
8．A
二、填空题
9．3
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）证明：连接，
∵为直径，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵是的半径，
∴为的切线．
（2）解：∵，，
∴在中，，．
即．
设，则，
∵，
∴．
解得．
∴，．
又∵，，
∴．
∴．
设，则，，
又∵，
∴．
∴．
∴．
14．【详解】（1）解：将，代入函数表达式，
得，解得，
所求二次函数的表达式为；
（2）解：过点作轴交于点，
将代入中，得或3．
．
设直线对应的函数表达式为，
将代入解析式得，解得，
．
设，，
．
，
而，
，
，
，（舍）．
；
（3）解：过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
．
，．
．
．
．
，，
．
．
设，则，．
点是线段的三等分点，
或．
①当时，点．
，．
．
．
；
②当时，点．
，．
．
．
，
综上，的值为或．
15．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
是的高，
．
．
．
，
即，
解得．
，
．
解得．
（2）解：由（1）可得，，，
．
，，
．
，，
．
．
．
．
16．【详解】（1）解：∵把抛物线向下平移1个单位长度，所得的新抛物线顶点坐标为，
∴原抛物线顶点坐标为，
∴原抛物线的解析式为，
即原抛物线的解析式为；
（2）解：∵原抛物线的解析式为，把抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
令，则，
∴，
又，，在平面直角坐标系上描点A，B，C三点，如图，
∴，，轴，
，
∴点到的距离为，
∴，
过点A作于点D，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．【详解】（1）解：如图：
证明线段：
由题可知，
∴，
在中，
∴，
∴；
（2）解：在中，∵，
故可设，
则，，
由知，
则，
在中，，
∴．
18．【详解】（1）解：根据题意，当时，取最小值，如图，
∵，，，
∴，
当时，则，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴的最小值是6．
故答案为：6；2；
（2）解：①当点恰好落在边上时，过点作于点，如图2，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）可知，此时，，
∴，
∴，即的值为4；
②过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图3，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
（3）当点Q在的上方时，作于点H，作于点E，作于点F，则，
同（2）①可证，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴
∴；
当点Q在的下方时，作于点H，作于点E，作于点F，则，
同（2）①可证，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
综上可知，当点Q到的距离为1时，的值为或．