6.5相似三角形的性质 课后培优提升训练（含答案） 苏科版2025—2026学年九年级下册

6.5相似三角形的性质课后培优提升训练苏科版2025—2026学年九年级下册
一、选择题
1．如图，在中，于点，有下列条件：①；②；③；④．其中能判断是直角三角形的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．如图，是的边的中点，是上一点，且，连接并延长，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知与交于点，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，点E在边上，与交于点O，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点在反比例函数图象上，连接，过点作，垂足为点，与反比例函数的图象相交于点，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，点M在边上，连接并延长交的延长线于点N．若，，则的长为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
7．如图，在中，，点为斜边上一点，连接，当和相似时，的长为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，在正方形中，连接，，为上两点，连接，，延长至点，使得，连接，，若，，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知，若与的相似比为，则其对应的面积比为 ．
10．如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为 ．
11．如图，将矩形沿对角线翻折，点C的对应点是点N，与交于点P，与交于点M，若，，则 ．
12．如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么 ．
三、解答题
13．如图，，，与相交于点，点在上．
(1)求证：；
(2)求证：．
14．如图，E是正方形边上一个动点（不与B，C重合），F是延长线上一点，且，连接．
(1)求证：为等腰直角三角形．
(2)过点A作的垂线，与直线分别交于G，H两点，记，交于点I．
①当，，求线段的长．
②设，的面积记作，的面积记作，求的值．
15．如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)若点为的重心，求与的比．
16．已知：如图，是等边三角形，点分别在边上，
(1)求证：；
(2)若，求的长．
17．如图，在中，点D、E分别在、上，，，、交于点F．
(1)判断与是否相似，并说明理由；
(2)若，，的长．
18．已知二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点，顶点为D．如图，当时，
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接相交于点Q，求的最大值；
参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．C
4．A
5．B
6．A
7．B
8．B
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：①由（1）可知：为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴是直角三角形，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴；
②在和中，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵点H在的延长线上，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积记作，的面积记作，
∴．
15．【详解】（1）证明：，
，，
，，
，，
，，
．
（2）解：点为的重心，
，
，
，
，
，
，
．
答：．
16．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴ ，
∵，是等边三角形，
∴,，
∴ ，
∴，
解得或；
综上所述， 的长为1或2．
17．【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
18．【详解】（1）解：当时，点C的坐标为，
把点A，点B和点C的坐标代入二次函数的解析式得，
∴，
∴二次函数的解析式为；
（2）设直线的解析式为，
由题意可得，
解得，
直线的解析式为，
如图1所示，过点作轴，交于点，则，
设，则
，
∵，
∴，
，
，
∵
当时，有最大值，最大值为．