5.4二次函数与一元二次方程 课后培优提升训练（含答案）苏科版2025—2026学年九年级下册

5.4二次函数与一元二次方程课后培优提升训练苏科版2025—2026学年九年级下册
一、选择题
1．已知二次函数中部分和的值如表所示：
0.89 0.56 0.25
则方程的一个较大的根的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
3．根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（ ）
… 0 1 2 3 4 …
… 15 8 3 0 0 3 8 …
A．， B．，
C．， D．，
4．二次函数均为常数，且中x，y的部分对应值如下表：
… 0 1 3 …
… 7 0 …
则关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．图象的对称轴是直线
C．当时，的值随值的增大而增大
D．图象与轴的交点坐标为和
5．若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则实数的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．1
6．已知抛物线的对称轴为直线，与轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤（为任意实数）．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．已知二次函数（，，均为常数，）的图像与轴相交于点，，则二次函数的图像与轴交点的横坐标是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ）
A．或或 B．或
C．或 D．或或
二、填空题
9．已知，是抛物线（为常数）上的两点，若，则的值为 ．
10．函数的图像与轴有两个交点．则实数的取值范围是 ．
11．已知二次函数与一次函数的图象相交于点和点，则不等式的解集是 ．
12．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点、，则 ．
三、解答题
13．已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求抛物线与轴的交点坐标；
(3)二次函数（，为常数）图象可由抛物线经过怎样的平移得到？
14．已知二次函数的图象过点，且与轴交于、两点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)直接写出当函数值时，的取值范围；
(3)若点是该函数图象上一点，且的面积为12，求点的坐标．
15．已知二次函数（）．
(1)若，求该函数图象的顶点坐标；
(2)若，求证：该函数图象与轴有两个公共点；
(3)该函数图象与轴交于点，它的对称轴与轴交于点．当确定时，该函数图象上是否存在唯一的点，使得是一个以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由？
16．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若抛物线与x轴交于点A，B，且，求a的值．
17．已知二次函数．
(1)该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为，
①则b的值是______，点B的坐标是______；
②当时，借助图象直接写出自变量x的取值范围；
③当时，，借助图象直接写出m的取值范围；
(2)当时，函数y的值总大于等于7，求b的取值范围．
18．平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)若该抛物线的对称轴为直线，且，则抛物线的顶点坐标为_____；
(2)若，求证：抛物线与轴一定有两个交点；
(3)若，点在抛物线上，且．
①若的最小值是，求抛物线的解析式：
②若也在抛物线上，且．若对于，都有，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．B
4．C
5．D
6．B
7．A
8．C
二、填空题
9．
10．
11．
12．80
三、解答题
13．【详解】（1）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点，且对称轴为直线，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）知，，
当时，，化简得，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标为和；
（3）解：∵，
∴先将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度（或先向下平移8个单位长度，再向右平移1个单位长度）可得到抛物线．
14．【详解】（1）解：设函数的解析式为，
将代入：
．
函数表达式为：．
（2）解：令，代入得：，
解得．
函数图象开口向上，
故时，的取值范围是：．
（3）解：根据题意，得．
设点的纵坐标为的面积公式为：，
代入得：
，即或．
当时，代入函数表达式：，
解得，
．
当时，代入函数表达式：，
解得．
综上，点的坐标为：或或或．
15．【详解】（1）解：若，，顶点坐标为；
（2）解：当时，，
则．
，
，
，
该函数图象与轴有两个公共点；
（3）解：存在，
由题意，得，对称轴为直线，
．
是一个以为底边的等腰三角形，
，设存在点
．
有两个相等的实数根．
，
，．
16．【详解】（1）解：∵
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：令，得：，
∴，，
∴，
∵抛物线与轴交于点，，且，
∴，
∴，
化简得：，
解得：或7．
17．【详解】（1）解：①将代入得，
即，
解得：，
即，
当时，
解得：，
即点B的坐标是，
故答案为：，；
②，
即抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
画出函数图象如下：
由函数图象可知，当时，或；
③由函数图象可知，当时，，且当时，，
即；
（2）解：∵，
∴函数开口向下，对称轴为直线，
当时，
∵函数y的值总大于等于7，
∴，
解得，
∵，
∴；
当时，
∵函数y的值总大于等于7，
∴，
解得：，
∵，
∴；
综上所述，．
18．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且，
，
，
函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）证明：当时，抛物线方程，化简为，
令，得，
，
该方程有两个不相等的实数根，
抛物线与轴一定有两个交点．
（3）解：当时，抛物线方程，化简为，
抛物线的顶点为，开口向上，
①抛物线开口向上，对称轴为且，
当时，抛物线的最小值为，即顶点纵坐标，
，
故函数解析式为；
②当时，，
抛物线开口向上，在内的最大值出现在范围端点离对称轴更远的点，
若对于，都有成立，需保证在取值范围内，两端点的函数值均小于，
当时，，
当时，，
，
，
化简得，
解得或，
的取值范围为或．