5.3用待定系数法确定二次函数表达式 课后培优提升训练（含答案）苏科版2025—2026学年九年级下册

5.3用待定系数法确定二次函数表达式课后培优提升训练
苏科版2025—2026学年九年级下册
一、选择题
1．已知二次函数的图象经过点，则的值是（ ）
A．2 B．0 C． D．
2．抛物线上部分点的坐标如表，下列说法错误的是（ ）．
… …
… …
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点，的坐标分别是，，点在抛物线上，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
4．若二次函数的顶点为，且过点，则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
5．已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（ ）
A．或 B．或 C．1 D．
7．如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
8．在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7
二、填空题
9．二次函数的图象经过点和，其表达式为 ．
10．如图，二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，，，则的长为 ．
11．二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：
… …
… …
该二次函数解析式为 ．
12．在“探索二次函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于 ．
三、解答题
13．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点和．
(1)求二次函数的表达式及顶点坐标；
(2)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，求n的值．
14．已知抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，抛物线与直线交点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的值．
15．已知二次函数．
(1)若该图像过点，求这个二次函数的解析式；
(2)若，当时，的最大值与最小值的差是9，求的值．
16．已知抛物线（，为实数）．
(1)若抛物线经过点和点，求抛物线的表达式；
(2)若时，拋物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，，求证：；
(3)若，，直线与抛物线相交于和两点，其中．当时，二次函数的最小值为，求的值．
17．已知二次函数（b，c为常数），图像经过点，且．
(1)若，二次函数对称轴为直线，
①求二次函数的表达式．
②若点B为二次函数图象上一点，且点B到x轴，y轴的距离相等，求点B的坐标．
(2)若A为该二次函数图像的顶点，为图像上一动点，且点P到y轴的距离不大于1，n的最大值与最小值的差为5，求k的值．
18．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值的和．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．A
4．C
5．C
6．A
7．A
8．D
二、填空题
9．
10．
11．
12．3
三、解答题
13．【详解】（1）解：（1）将点，代入，得，
解得，
二次函数的表达式为，
对称轴为直线，
当时，，
顶点坐标为；
（2）解：由题意，，
二次函数的图象向右平移n个单位长度后，
新函数为，
此时对称轴是直线，函数图象开口向上，
①当时，即，
当时，y取最大值为，
当时，y取最小值为，
又最大值与最小值的差为3，
，
，不合题意；
②当时，即，
当或时，y取最大值为或，
当时，y取最小值为，
又最大值与最小值的差为3，
或，
或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或；
③当时，即，
当时，y取最小值为，
当时，y取最大值为，
又最大值与最小值的差为3，
，
，不合题意；
综上，或．
14．【详解】（1）解：点在抛物线上，
．
，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线与直线交点的横坐标为，
，
，
，即，
，
，即，
，
．
15．【详解】（1）解：把点代入中，
可得，解得，
；
（2），
抛物线的对称轴为直线，
，开口向下，且，
当时，取最大值，最大值为，
又∵，
∴当时，取最小值，最小值是，
当时，的最大值与最小值的差是9，
，
．
16．【详解】（1）解：把代入得，整理得：，
∴，
当时，经过点，
∴
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）证明：当时，抛物线的表达式为，
∵抛物线与直线有两个交点，两个交点分别为，，
∴，
整理得：，
∴，，
∴

；
（3）解：∵，，直线与抛物线相交于和两点，将点坐标分别代入与（，为实数）得，
∴，
解得：（不合题意，舍去）或，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
当对称轴时，，
∴，
当时，取最小值即，
∴，
当时，即，
此时二次函数在上的图像，当时，取得最小值，最小值为；
∴（舍去），
当时，即，
此时二次函数在上的图像，随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为，
∴（舍去），
综上，．
17．【详解】（1）解：①∵二次函数过点，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∴二次函数的表达式为．
②设，
由题意得，点B的横坐标与纵坐标相等或互为相反数，
a．当时，解得：，，即点B的坐标为或；
b．当时，则，即方程无解．
综上所述，点B的坐标为或．
（2）解：∵点A为该函数图像的顶点，为图像上一动点，且点P到y轴的距离不大于1，
∴设，，即
当时，
∵，
∴函数在处取到最小值2，在处取到最大值，
∴ ，解得：（舍）；
当时，
∵，
∴函数在处取到最小值，在处取到最大值，则，解得：．
综上所述，．
18．【详解】（1）解：由条件可得：，解得，
二次函数的解析式为，
对称轴为直线，
；
（2），
点即为点，
，解得，
，
抛物线的解析式为，
抛物线开口向上，抛物线对称轴为，当时，y随着x的增大而增大，
，
当时，函数有最小值，最小值为，
当时，函数有最大值，最大值为，
二次函数的最大值为22，最小值为，
，
二次函数的最大值与最小值的和为19．