5.2二次函数的图像和性质 课后培优提升训练（含答案）苏科版2025—2026学年九年级下册

5.2二次函数的图像和性质课后培优提升训练苏科版2025—2026学年九年级下册
一、选择题
1．已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ）．
A． B． C． D．
2．k为任意实数，抛物线的顶点总在（）
A．直线上 B．直线上
C．x轴上 D．y轴上
3．若点，，在二次函数的图象上， 且 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点、分别在抛物线（为常数）和上，当时，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度．得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数，当时的最大值为5，则的值可能为（ ）
A．0或5 B．4或 C．0或4 D．5或
7．已知二次函数，当x取1，2，3，4时，对应的函数值分别为，，，，则下列选项中最大的是（ ）
A． B． C． D．
8．若实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
二、填空题
9．当时，二次函数的最大值是5，则的值为 ．
10．若，，且，的最小值为，最大值为，的值为 ．
11．当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则的值为 ．
12．已知二次函数的与的部分对应值如表：
… －2 0 1 2 …
… 7 －1 －2 －1 …
①抛物线开口向下；②方程一个解的范围是；③当时，随的增大而增大；④抛物线与轴交于正半轴．则上述判断中正确的序号是 ．
三、解答题
13．已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线的对称轴．
(2)求代数式的值．
14．已知二次函数
(1)若对任意的，都有随的增大而增大，求的取值范围；
(2)若该抛物线与轴的交点分别为、且，求的值．
15．已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象；
(3)当时，结合图象，直接写出y的取值范围．
16．已知函数，，函数与组成一个新函数，图像记为．
(1)若点在图像上，求的值；
(2)当时，求函数最大值与最小值的差；
(3)点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图像有三个不同的交点时，设这三个交点的横坐标分别为，，，令，则的取值范围是______．
17．已知二次函数的解析式为．
(1)若，
①直接写出二次函数的顶点坐标；
②过点与x轴平行的直线交抛物线于H，N两点，且点H为线段的中点，求t的值；
(2)当时，函数最大值与最小值的差为9，求m的值．
18．已知二次函数的函数值和自变量的部分对应值如下表所示：
… …
… …
(1)当时，
求该二次函数图象的顶点坐标；
若，求的取值范围；
(2)求证：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．D
4．A
5．D
6．C
7．D
8．D
二、填空题
9．2或
10．
11．
12．②③
三、解答题
13．【详解】（1）解：对称轴为直线，
该抛物线的对称轴为直线；
（2）抛物线经过点，
，
整理，得，
，，，
，，
代数式的值为．
14．【详解】（1）解：，该抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，
对称轴为，
又时，函数值y随x增大而增大，
，
解得：；
（2）解：令，，是一元二次方程的两个实数根，
， ，
，
又，
，
或．
15．【详解】（1）解：∵，
故将化成的形式为；
（2）解：由（1）可得，该二次函数的顶点为，
令，，
解得：或，
故该二次函数与轴的交点为和，
当时，，
故该二次函数与轴的交点为，
∵该二次函数的对称轴为直线，
∴二次函数与轴的交点关于对称轴对称的点的坐标为，
描点、画出函数图象如图所示：
（3）解：当时，结合图象，y的取值范围为．
16．【详解】（1）解：∵点在图像上，且，
∴将代入得；
（2）解：当时，，该二次函数开口向上，对称轴为，
当时，取得最小值，；
当时，；
当时，；
∴在时，的取值范围是；
当时，，该一次函数，随的增大而减小，
当时，取得最小值，；
当趋近于时，趋近于，
∴在时，的取值范围是，
综上，函数在时的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为；
（3）解：设直线的解析式为，
∵直线与图象有三个不同的交点，
∴直线与有两个交点，与有一个交点，
由，其开口向上，顶点坐标为，当时，，
∴当时，与有两个交点，
设这两个交点的横坐标为，，
∵二次函数的对称轴为，
∴根据二次函数的对称性，，
对于，令，得，即，
∵，
∴，解得，
又∵，该条件成立，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：．
17．【详解】（1）解：①当时，，
所以顶点坐标为．
②当时，，对称轴为直线，
∵点在y轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于H，N两点，
∴H，N关于对称轴对称，H，N的纵坐标均为t，
又∵点H为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入，
得：，
∴；
（2）解：，对称轴为直线．
①当，此情况不成立．
②当，即时，在上，当时，y有最大值5；
当时，；
当时，．
若，
即，，解得或（舍去）．
此时最大值与最小值的差为，
即，，
解得或（舍去）．
③当时，对称轴在上的左侧，y随x增大而减小．
所以当时，y有最大值；
当时，y有最小值1．
则，即，
判别式，此方程无实数解．
综上，．
18．【详解】（1）解：当时，
当时，，
当时，，
由二次函数的对称性可知顶点坐标为．
二次函数图象的对称轴为直线，且，开口向上，
离对称轴越远，函数值越大，
，
对应的点比对应的点距离对称轴远，
，即，
或，
解得或，
观察表格可知，，
．
（2）证明：当时，，
，
，
，
．