18.3正方形 课后培优提升训练（含答案）华东师大版2025—2026学年八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 18.3正方形 课后培优提升训练（含答案）华东师大版2025—2026学年八年级数学下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 896.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-14 00:00:00 | ||
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文档简介
18.3正方形课后培优提升训练华东师大版2025—2026学年八年级数学下册
一、选择题
1．在下列命题中，正确的是（ ）
A．有一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
2．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．已知边长为3的正方形，E在边上，且，H为边的中点，F、G分别为边、边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形中，点F为边的中点，连接，将绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，过点A作的垂线，垂足为G，连接，如果，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接并延长交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（ ）
A．5 B．7 C．6 D．8
二、填空题
9．如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为 ．
10．如图，正方形的边长为3，点O是对角线、的交点，点E在上，且，过点B作，垂足为F，连接，则的长为 ．
11．如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，交于点．若，则的面积为 ．
12．如图所示，在正方形中，为正方形外部一点，连接，，，，．的长为 ．
三、解答题
13．如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知．
(1)求证：；
(2)求的长．
14．如图，点P是正方形内一点，连接，，，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，．已知，，．
（1）线段的长为 ；
（2）的面积为 ．
15．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，，将绕点A逆时针旋转，得到．
(1)求证：；
(2)当时，①___________；
②求的长．
16．如图，正方形中，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接．
(1)求证：；
(2)当为直角三角形时，求线段的长．
(3)在（2）的条件下，直接写出此时的长．
17．如图，在正方形中，点E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G，连接．
(1)若，求的长度；
(2)当点E是边的中点时，求证：．
18．已知，四边形为正方形，点在边上，点在边上，连接，过点作的垂线，交于点，垂足为．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若点在上，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，求正方形的面积．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．D
4．D
5．B
6．A
7．C
8．C
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
14．【详解】解：（1）线段绕点C顺时针旋转，得到线段，，
，，
在直角中，；
（2）为正方形，
，，
线段绕点C顺时针旋转，得到线段，，
，，即为等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
，
由（1）得，且，，
，即，
是直角三角形，，
为等腰直角三角形，
，
，
过点D作的延长线于点F，
，，
为等腰直角三角形，，
，即，
，
，
．
15．【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
由旋转的性质可得，，，，
∴，
∴点共线，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①根据旋转可得，，
∵正方形的边长为6，
∴，
故答案为：8；
②由（1）得，令，
则，
由勾股定理得，
即，
解得，
∴的长为5．
16．【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
沿翻折得，
，
，
；
（2）解：过点D作于点G，
∵点在上，点在正方形内，
∴、为锐角，，，
∴当为直角三角形时，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴（）
∴，
设，则，
在中，由勾股定理即，
解得或（舍去），
∴；
（3）解：过点作，于、，连接，
∵，，，，
，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得即，
解得，
∴．
17．【详解】（1）解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴；
（2）证明：∵点E位于线段中点，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴．
18．【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，作于，延长交于，则，
，
四边形为正方形，
，，，
，为等腰直角三角形，
四边形为矩形，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，作于，则，
，
四边形为正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
∵，
，
，，
由（2）可知，，
，即，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得或（不符合题意，舍去），
，
正方形的面积为．
一、选择题
1．在下列命题中，正确的是（ ）
A．有一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
2．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．已知边长为3的正方形，E在边上，且，H为边的中点，F、G分别为边、边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形中，点F为边的中点，连接，将绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，过点A作的垂线，垂足为G，连接，如果，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接并延长交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（ ）
A．5 B．7 C．6 D．8
二、填空题
9．如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为 ．
10．如图，正方形的边长为3，点O是对角线、的交点，点E在上，且，过点B作，垂足为F，连接，则的长为 ．
11．如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，交于点．若，则的面积为 ．
12．如图所示，在正方形中，为正方形外部一点，连接，，，，．的长为 ．
三、解答题
13．如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知．
(1)求证：；
(2)求的长．
14．如图，点P是正方形内一点，连接，，，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，．已知，，．
（1）线段的长为 ；
（2）的面积为 ．
15．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，，将绕点A逆时针旋转，得到．
(1)求证：；
(2)当时，①___________；
②求的长．
16．如图，正方形中，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接．
(1)求证：；
(2)当为直角三角形时，求线段的长．
(3)在（2）的条件下，直接写出此时的长．
17．如图，在正方形中，点E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G，连接．
(1)若，求的长度；
(2)当点E是边的中点时，求证：．
18．已知，四边形为正方形，点在边上，点在边上，连接，过点作的垂线，交于点，垂足为．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若点在上，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，求正方形的面积．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．D
4．D
5．B
6．A
7．C
8．C
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
14．【详解】解：（1）线段绕点C顺时针旋转，得到线段，，
，，
在直角中，；
（2）为正方形，
，，
线段绕点C顺时针旋转，得到线段，，
，，即为等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
，
由（1）得，且，，
，即，
是直角三角形，，
为等腰直角三角形，
，
，
过点D作的延长线于点F，
，，
为等腰直角三角形，，
，即，
，
，
．
15．【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
由旋转的性质可得，，，，
∴，
∴点共线，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①根据旋转可得，，
∵正方形的边长为6，
∴，
故答案为：8；
②由（1）得，令，
则，
由勾股定理得，
即，
解得，
∴的长为5．
16．【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
沿翻折得，
，
，
；
（2）解：过点D作于点G，
∵点在上，点在正方形内，
∴、为锐角，，，
∴当为直角三角形时，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴（）
∴，
设，则，
在中，由勾股定理即，
解得或（舍去），
∴；
（3）解：过点作，于、，连接，
∵，，，，
，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得即，
解得，
∴．
17．【详解】（1）解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴；
（2）证明：∵点E位于线段中点，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴．
18．【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，作于，延长交于，则，
，
四边形为正方形，
，，，
，为等腰直角三角形，
四边形为矩形，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，作于，则，
，
四边形为正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
∵，
，
，，
由（2）可知，，
，即，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得或（不符合题意，舍去），
，
正方形的面积为．