第1章第5节 角平分线
题型1 角平分线的定义
▉题型1 角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
1．下列说法中正确的是（ ）
A．单项式xy2z的系数为1，次数是4
B．若AP＝BP，则点P是线段AB的中点
C．若|a|＝﹣a，则a一定是负数
D．若，则射线OC是∠AOB的平分线
2．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，则∠BOC的大小是（ ）
A．60° B．40° C．35° D．30°
3．如图，一艘轮船行驶在B处，小岛A在B处的北偏西50°，点M在正西方向上，已知BM平分∠ABC，则∠ABC的度数是（ ）
A．80° B．60° C．100° D．120°
4．下列说法正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大
C．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线
D．直线l经过点A，那么点A在直线l上
5．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图，∠AOD＝75°，∠COD＝30°，若OB平分∠AOC，则∠AOB＝（ ）
A．22.5° B．25° C．30° D．3.5°
7．如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，则∠2的度数为（ ）
A．76° B．74° C．64° D．52°
8．下列说法正确的有（ ）
①多项式﹣a2b+2a2b2+ab﹣2是三次四项式；
②数轴上表示+a的点一定在原点的右边；
③连接两点之间的线段，叫做两点间的距离；
④如果线段AB＝BC，则点B是线段AC的中点；
⑤38°15′＝38.25°；
⑥若∠AOB＝2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．将一副含30°和45°的直角三角尺按如图所示的方式放置，若CM平分∠ACD，CN平分∠BCE，则∠MCN的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
10．如图OB是∠AOC内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的边OD平分∠AOB，三角尺的另一边OE也正好平分∠BOC，则∠AOC的度数为（ ）
A．115° B．120° C．130° D．135°
11．下列说法：其中正确的说法是（ ）
①单项式的次数是6；
②如果AC＝BC，那么C是线段AB的中点；
③已知∠AOB为锐角，如果∠AOP∠AOB，那么射线OP是∠AOB的平分线；
④从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得21个锐角；
⑤2时40分，时针与分针的夹角为160°．
A．①② B．②③ C．④⑤ D．③⑤
12．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠EOC＝90°．下列结论错误的是（ ）
A．若∠BOC＝47°40'，则∠AOC＝132°20'
B．若∠BOC＝47°40'，则∠AOE＝42°20'
C．若∠EOD＝25°则∠AOE＝50°
D．若∠EOD＝25°，则∠BOC＝50°
13．如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论：
①以O为顶点的角有15个；
②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD＝5∠COB，则；
③若M为AB的中点，N为CD的中点，则；
④若MC＝CB，MN＝ND，则CD＝2CN．
正确的是 ．
14．若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，则∠AOC＝ °．
15．在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段中点的概念与角平分线的概念相似，甚至它们在题目设计上有类似之处，解题思路可以互相借鉴．
（1）如图1，已知线段AB＝6，C是线段AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点．
①若AC＝2，则MN的长度为 ；
②若AC＝b，则MN的长度为 ；
“创新”小组的同学类比问题（1）想到了一道有关角的问题，如下：
（2）如图2，已知∠AOB＝70°，在角的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OM、ON．
①若∠AOC＝20°，则∠MON的度数为 ；
②若∠AOC＝m°，则∠MON＝ ．
“领航”小组在“创新”小组的基础上提出以下两个问题：
（3）①若C是直线AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点，AB＝a，AC＝b，求MN的长度；
②若∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，且射线OC在∠AOB的外部，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OM、ON，求∠MON的度数？
16．如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF．
（1）若∠BOE＝37°，则∠BOD＝ °．
（2）若∠BOE＝50°，
①求∠AOC的度数；
②求∠EOF的度数．
17．【问题背景】已知OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC．
【问题再现】（1）如图1，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数；
【问题推广】（2）如图2，∠AOB＝90°，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数；
【拓展提升】（3）如图3，在∠AOC的内部作射线OP，在∠BOC的内部作射线OQ．若∠COP：∠BOQ＝1：2，求∠AOP和∠COQ的数量关系．
18．综合与探究
问题情境：如图，将一把含30°角的直角三角板和一把含45°角的直角三角板的直角顶点叠放在点C处，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∠CDE＝∠CED＝45°．两三角板可绕点C旋转．
计算与观察：
（1）①若∠BCD＝120°，则∠ACE的度数为 ；
②若∠ACE＝30°，则∠BCD的度数为 ．
猜想与证明：
（2）猜想∠BCD与∠ACE有何数量关系？请说明理由．
拓展与运用：
（3）若射线CM平分∠BCD，且∠BCD：∠ACE＝4：1，直接写出∠ACM的度数．
19．如图①，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝30°时，则∠DOE的度数为 ；
（2）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系： ．第1章第5节 角平分线
题型1 角平分线的定义
▉题型1 角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
1．下列说法中正确的是（ ）
A．单项式xy2z的系数为1，次数是4
B．若AP＝BP，则点P是线段AB的中点
C．若|a|＝﹣a，则a一定是负数
D．若，则射线OC是∠AOB的平分线
【答案】A
【解答】解：A．单项式xy2z的系数为1，次数是4，该选项正确，符合题意；
B．如图：若AP＝BP，则点不是线段AB的中点，故该选项错误，不符合题意；
C．若|a|＝﹣a，则a≤0，a为0或负数，故该选项错误，不符合题意；
D．如图，若∠AOC∠AOB，
则射线OC不是∠AOB的平分线，故该选项错误，不符合题意；
故选：A．
2．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，则∠BOC的大小是（ ）
A．60° B．40° C．35° D．30°
【答案】D
【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC∠AOB，
∵∠AOB＝60°，
∴∠BOC60°＝30°．
故选：D．
3．如图，一艘轮船行驶在B处，小岛A在B处的北偏西50°，点M在正西方向上，已知BM平分∠ABC，则∠ABC的度数是（ ）
A．80° B．60° C．100° D．120°
【答案】A
【解答】解：一艘轮船行驶在B处，小岛A在B处的北偏西50°，点M在正西方向上，
∵小岛A在B处的北偏西50°，
∴∠ABM＝40°，
又∵BM平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABM＝80°；
故选：A．
4．下列说法正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大
C．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线
D．直线l经过点A，那么点A在直线l上
【答案】D
【解答】解：（1）对于A选项，直线没长度，故A错误．
（2）放大镜能够把一个图形放大，不能够把一个角的度数放大，故B错误．
（3）对于C选项，没有提到所分角的相等，故C错误．
（4）直线过A点，则A一定在直线上．
综上可得只有D正确．
故选：D．
5．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【解答】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴∠COD∠COE，∠BOC∠AOC，
又∵∠AOB＝40°，∠COE＝60°，
∴∠BOC＝40°，∠COD＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°．
故选：C．
6．如图，∠AOD＝75°，∠COD＝30°，若OB平分∠AOC，则∠AOB＝（ ）
A．22.5° B．25° C．30° D．3.5°
【答案】A
【解答】解：∵∠COD＝30°，∠AOD＝75°，
∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝45°，
∵OB平分∠AOC，
∴，
故选：A．
7．如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，则∠2的度数为（ ）
A．76° B．74° C．64° D．52°
【答案】A
【解答】解：∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠1＝2×52°＝104°，
∴∠2＝180°﹣∠AOC＝76°．
故选：A．
8．下列说法正确的有（ ）
①多项式﹣a2b+2a2b2+ab﹣2是三次四项式；
②数轴上表示+a的点一定在原点的右边；
③连接两点之间的线段，叫做两点间的距离；
④如果线段AB＝BC，则点B是线段AC的中点；
⑤38°15′＝38.25°；
⑥若∠AOB＝2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解答】解：①多项式﹣a2b+2a2b2+ab﹣2中最高次项2a2b2的次数为4，则该多项式是四次四项式，①错误，不符合题意；
②当a＜0时，+a表示负数，点在原点左边，②错误，不符合题意；
③两点间的距离是线段的长度，不是线段本身，③错误，不符合题意；
④当A，B，C三点不共线时，即使AB＝BC，点B也不是线段AC的中点，④错误，不符合题意；
⑤15′＝（15÷60）°＝0.25°，则38°15′＝38.25°，⑤正确，符合题意；
⑥若OC不在∠AOB内部，则即使∠AOB＝2∠AOC，OC也不是角平分线，⑥错误，不符合题意；
故选：B．
9．将一副含30°和45°的直角三角尺按如图所示的方式放置，若CM平分∠ACD，CN平分∠BCE，则∠MCN的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】C
【解答】解：设∠ACM＝α，
∵CM平分∠ACD，
∴∠ACD＝2α，
∵∠ECD＝90°，∠BCA＝30°，
∴∠BCE＝∠ECD+∠ACD+∠BCA＝90°+2α+30°＝120°+2α，
∵CN平分∠BCE，
∴∠BCN＝∠BCE＝（120°+2α）＝60°+α，
∴∠MCN＝∠BCN﹣∠ACM﹣∠BCA＝60°+α﹣α﹣30°＝30°．
故选：C．
10．如图OB是∠AOC内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的边OD平分∠AOB，三角尺的另一边OE也正好平分∠BOC，则∠AOC的度数为（ ）
A．115° B．120° C．130° D．135°
【答案】B
【解答】解：由已知条件可知：∠EOB+∠BOD＝60°，
∵OD平分∠AOB，OE也正好平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠EOB，∠AOB＝2∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOC+∠AOB，
∴∠AOC＝2∠EOB+2∠BOD＝2（∠EOB+∠BOD）＝2×60°＝120°，
故选：B．
11．下列说法：其中正确的说法是（ ）
①单项式的次数是6；
②如果AC＝BC，那么C是线段AB的中点；
③已知∠AOB为锐角，如果∠AOP∠AOB，那么射线OP是∠AOB的平分线；
④从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得21个锐角；
⑤2时40分，时针与分针的夹角为160°．
A．①② B．②③ C．④⑤ D．③⑤
【答案】C
【解答】解：单项式的次数是2+3＝5，故①不符合题意；
如果A，B，C在一条直线上，AC＝BC，那么C是线段AB的中点，故②不符合题意；
∵∠AOB为锐角，∴，且OP在∠AOB的内部，
∴射线OP是∠AOB的平分线，故③不符合题意；
从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得：1+2+3+4+5+6＝21（个）锐角，故④符合题意；
2时4（0分），时针与分针的夹角为：，故⑤符合题意；
综上所述，正确的说法是④⑤．
故选：C．
12．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠EOC＝90°．下列结论错误的是（ ）
A．若∠BOC＝47°40'，则∠AOC＝132°20'
B．若∠BOC＝47°40'，则∠AOE＝42°20'
C．若∠EOD＝25°则∠AOE＝50°
D．若∠EOD＝25°，则∠BOC＝50°
【答案】C
【解答】解：若∠BOC＝47°40'，
则∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣47°40'＝132°20'，
故A选项正确，不符合题意；
若∠BOC＝47°40'，
∴∠AOC＝132°20'，
∵∠EOC＝90°，
则∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝42°20'，
故B选项正确，不符合题意；
若∠EOD＝25°，
∵∠EOC＝90°，
∴∠COD＝∠EOC﹣∠EOD＝65°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠COD＝130°，
∴∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝130°﹣90°＝40°，
故C选项错误，符合题意；
若∠EOD＝25°，
∴∠COD＝90°﹣∠EOD＝65°，
∴∠AOC＝2∠COD＝130°，
则∠BOC＝180°﹣∠AOC＝50°，
故D选项正确，不符合题意，
故选：C．
13．如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论：
①以O为顶点的角有15个；
②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD＝5∠COB，则；
③若M为AB的中点，N为CD的中点，则；
④若MC＝CB，MN＝ND，则CD＝2CN．
正确的是 ①②③ ．
【答案】①②③
【解答】解：在①中，以OA为边的角有5个，以OM为边的角右边有4个，左边有1个，以OC为边的角右边有3个，左边有2个，所以以OA、OM、OC、OB、ON、OD为边的角各有5个，一共有5×6÷2＝15个，
故①正确．
在②中，如图，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
可设∠1＝∠2＝α，∠3＝∠4＝β，∠5＝m，
∵∠AOD＝5∠COB，
∴2α+2β+m＝5m，
∴α+β＝2m．
∵∠MON＝∠2+∠5+∠4＝α+β+m＝3m，
（∠MOC+∠BON）（∠2+∠4）（α+β）＝3m，
∴，
故②正确．
在③中，
∵M为AB的中点，N为CD的中点，
∴AMAB，NDCD，
∴MN＝AD﹣AM﹣ND＝AD（AB+CD）＝AD（AC+CB+CD）＝AD（AD+BC）（AD﹣BC），
故③正确．
在④中，
∵MC＝CB，
∴设MC＝CB＝x，
设BN＝y，
∴MN＝ND＝2x+y，
∵CD＝CB+BN+ND＝3x+2y，
2CN＝2（x+y）＝2x+2y，
∴CD≠2CN，
故④错误．
综上所述，正确的①②③，
故答案为：①②③．
14．若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，则∠AOC＝ 60 °．
【答案】60．
【解答】解：∵OC平分∠AOB，∠AOB＝120°，
∴，
故答案为：60．
15．在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段中点的概念与角平分线的概念相似，甚至它们在题目设计上有类似之处，解题思路可以互相借鉴．
（1）如图1，已知线段AB＝6，C是线段AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点．
①若AC＝2，则MN的长度为 3 ；
②若AC＝b，则MN的长度为 3 ；
“创新”小组的同学类比问题（1）想到了一道有关角的问题，如下：
（2）如图2，已知∠AOB＝70°，在角的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OM、ON．
①若∠AOC＝20°，则∠MON的度数为 35° ；
②若∠AOC＝m°，则∠MON＝ 35° ．
“领航”小组在“创新”小组的基础上提出以下两个问题：
（3）①若C是直线AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点，AB＝a，AC＝b，求MN的长度；
②若∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，且射线OC在∠AOB的外部，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OM、ON，求∠MON的度数？
【答案】（1）①3；②3；
（2）①35°；②35°；
（3）①MN的长度为；②∠MON的度数为．
【解答】解：（1）①∵AB＝6，AC＝2，
∴BC＝AB﹣AC＝6﹣2＝4．
由条件可知，，
∴MN＝MC+CN＝1+2＝3；
故答案为：3．
②∵AC＝b，AB＝6，
∴BC＝AB﹣AC＝6﹣b．
由条件可知，，
∴；
故答案为：3．
（2）①∵∠AOB＝70°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣20°＝50°．
由条件可知，，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝10°+25°＝35°；
故答案为：35°；
②∵∠AOC＝m°，∠AOB＝70°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝（70﹣m）°．
由条件可知，，
∴；
故答案为：35°；
（3）①分三种情况讨论：
如图1，当点C在线段AB上时，BC＝AB﹣AC＝a﹣b，
由条件可知，，
∴；
如图2，当点C在线段AB的延长线上时，BC＝AC﹣AB＝b﹣a，
由条件可知，，
∴；
如图3，当点C在线段BA的延长线上时，BC＝AB+AC＝a+b，
由条件可知，，
∴；
综上，MN的长度为．
②如图，∵∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，且OC在∠AOB外部，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝（m+n）°．
由条件可知，，
∴，
故∠MON的度数为．
16．如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF．
（1）若∠BOE＝37°，则∠BOD＝ 53 °．
（2）若∠BOE＝50°，
①求∠AOC的度数；
②求∠EOF的度数．
【答案】（1）53；
（2）①40°；
②130°．
【解答】解：（1）∵∠BOE＝37°，∠DOE＝180°﹣∠COE＝90°，
∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝53°；
故答案为：53；
（2）①∵∠BOE＝50°，∠DOE＝90°，
∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°；
②∵OD平分∠BOF，
∴∠BOF＝2∠BOD＝80°，
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝130°．
17．【问题背景】已知OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC．
【问题再现】（1）如图1，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数；
【问题推广】（2）如图2，∠AOB＝90°，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数；
【拓展提升】（3）如图3，在∠AOC的内部作射线OP，在∠BOC的内部作射线OQ．若∠COP：∠BOQ＝1：2，求∠AOP和∠COQ的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝120°，
∴∠AOC120°＝40°．
又∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，
∴∠AOM∠AOC，∠AON∠AOB，
∴∠AOM＝40°÷2＝20°；
∠AON＝120°÷2＝60°，
∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°﹣20°＝40°．
（2）∵∠AOB＝90°，∠AOB＝3∠AOC，
∴∠AOC＝90°÷3＝30°；
∠BOC＝90°﹣30°＝60°．
∴∠COD＝∠BOC﹣∠AOC＝60°﹣30°＝30°．
又∵OM平分∠COD，
∴∠COMCOD30°＝15°，
∴∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝60°﹣15°＝45°．
（3）设∠COP＝α，则∠BOQ＝2α．
∵∠AOB＝3∠AOC，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝3∠AOC﹣∠BOC，
∴2∠AOC＝∠BOC．
∴2（∠AOP+∠COP）＝∠COQ+∠BOQ，
∴2（∠AOP+α）＝∠COQ+2α，
∴2∠AOP＝∠COQ．
18．综合与探究
问题情境：如图，将一把含30°角的直角三角板和一把含45°角的直角三角板的直角顶点叠放在点C处，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∠CDE＝∠CED＝45°．两三角板可绕点C旋转．
计算与观察：
（1）①若∠BCD＝120°，则∠ACE的度数为 60° ；
②若∠ACE＝30°，则∠BCD的度数为 150° ．
猜想与证明：
（2）猜想∠BCD与∠ACE有何数量关系？请说明理由．
拓展与运用：
（3）若射线CM平分∠BCD，且∠BCD：∠ACE＝4：1，直接写出∠ACM的度数．
【答案】（1）①60°；
②150°；
（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由：∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝180°；
（3）18°．
【解答】解：（1）①∵∠BCD＝120°，∠BCA＝∠ECD＝90°，
∴∠DCA＝∠BCD﹣∠BCA＝120°﹣90°＝30°，
∴∠ACE＝∠ECD﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60°；
②∵∠ACE＝30°，∠BCA＝∠ECD＝90°，
∴∠DCA＝∠ECD﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠DCA＝90°+60°＝150°；
故答案为：150°；
（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝180°；
（3）∵∠BCD：∠ACE＝4：1，
设∠ACE＝x°，则∠BCD＝4x°，
由（2）知x+4x＝180，
∴x＝36，
∠BCD＝4x＝144°，
∵射线CM平分∠BCD，
∴，
∴∠ACM＝∠ACB﹣∠BCM＝90°﹣72°＝18°．
19．如图①，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝30°时，则∠DOE的度数为 15° ；
（2）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系： ∠AOC＝360°﹣2∠DOE ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由已知得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，
又∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD∠BOC＝90°150°＝15°；
（2）∠AOC＝2∠DOE；
理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE，
则得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（90°﹣∠DOE），
所以得：∠AOC＝2∠DOE；
（3）∠AOC＝360°﹣2∠DOE；
理由：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝2∠COE，
则得∠AOC＝180°﹣∠BOE＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（∠DOE﹣90°），
所以得：∠AOC＝360°﹣2∠DOE；
故答案为：（1）15°；（3）∠AOC＝360°﹣2∠DOE．
