第1章第4节 线段的垂直平分线
题型1 线段垂直平分线的性质 题型2 作图—基本作图
▉题型1 线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．50°
2．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
3．如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（ ）
A．105° B．100° C．110° D．140°
4．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD，DE＝2，EC，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝4AD，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，已知AB＝AC，BC＝6cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，△CBD的周长为14 cm，则△ACB的周长为（ ）
A．22cm B．16cm C．17cm D．20cm
7．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A＝75°，∠ACP＝12°，则∠ABP的度数为 ．
8．如图，依据尺规作图的痕迹，若∠ABD＝25°，则∠BDC的度数为 ．
9．如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC．若∠A＝75°，则∠BPC的度数是 ．
10．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、N，若∠BAC＝70°，则∠EAN＝ °．
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是 ．
12．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
13．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数；
（2）若△DAF的周长为20，求BC的长．
14．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
15．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由．
▉题型2 作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
16．如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
17．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP的过程中，弧①是（ ）
A．以C为圆心，以CD长为半径的弧
B．以C为圆心，以大于CD长为半径的弧
C．以D为圆心，以CD长为半径的弧
D．以D为圆心，以大于CD长为半径的弧
18．如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（ ）
A．ED＝CD B．AC＝AE C．∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B
19．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交该角的两边于A，B两点，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，连接OC，若∠MON＝60°，则∠ACO的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
20．已知线段a，求作以线段a为底的等腰直角三角形．
21．如图，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2．
（1）用尺规作∠A的平分线AD．
（2）角平分线AD交BC于点D，求BD的长．
22．有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：
（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；
（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；
（3）连接AD、BC相交于点E；
（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．
你认为他这种作法对吗？试说明理由．第1章第4节 线段的垂直平分线
题型1 线段垂直平分线的性质 题型2 作图—基本作图
▉题型1 线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．50°
【答案】A
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∵∠B＝60°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，
故选：A．
2．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
【答案】B
【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，
故选：B．
3．如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（ ）
A．105° B．100° C．110° D．140°
【答案】C
【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD＝DB，AE＝EC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠B+∠BAD+∠DAE+∠EAC+∠C＝180°，
∵∠DAE＝40°，
∴2∠BAD+2∠EAC＝180°﹣∠DAE，
∴∠BAD+∠EAC＝70°，
∴∠BAC＝110°，
故选：C．
4．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD，DE＝2，EC，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：连接AD，AE，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∵DE＝2，
∴，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠ADE＝90°，
由勾股定理可得：AC，
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝4AD，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：如图，∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠2＝∠C，
∴BE＝CE，
∵AC﹣CE＝AE，
∴AC﹣BE＝AE，故①正确；
∵BE＝CE，
∴点E在线段BC的垂直平分线上，故②正确；
∵∠1＝∠2＝∠C，
∴∠C＝∠1＝30°，
∴∠AEB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠C，故③正确；
在Rt△BAC中，∠C＝30°，
∴BC＝2AB，
在Rt△BDA中，∠1＝30°，
∴AB＝2AD，
∴BC＝4AD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选：D．
6．如图，已知AB＝AC，BC＝6cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，△CBD的周长为14 cm，则△ACB的周长为（ ）
A．22cm B．16cm C．17cm D．20cm
【答案】A
【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴△CBD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝14cm，
∵BC＝6cm，
∴AC＝14﹣6＝8（cm），
∵AB＝AC，
∴△ACB的周长为：AB+AC+BC＝8+8+6＝22（cm），
故选：A．
7．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A＝75°，∠ACP＝12°，则∠ABP的度数为 31° ．
【答案】31°
【解答】解：∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵PE是线段BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠PCB，
∴∠ABP+∠ABP+∠ABP+12°+75°＝180°，
解得，∠ABP＝31°，
故答案为：31°．
8．如图，依据尺规作图的痕迹，若∠ABD＝25°，则∠BDC的度数为 130° ．
【答案】130°
【解答】解：由作图可知：DE是线段BC的垂直平分线，BF平分∠ABC，
则DB＝DC，∠ABF＝∠CBF，
∴∠DCB＝∠CBF，
∴∠DCB＝∠CBF＝∠ABD＝25°，
∴∠BDC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
故答案为：130°．
9．如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC．若∠A＝75°，则∠BPC的度数是 150° ．
【答案】150°
【解答】解：连接AP，
∵∠A＝75°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝105°，
∵AB，AC的垂直平分线相交于点P，
∴PA＝PB，PA＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA，
∴∠PBA+∠PCA＝∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝75°，
∴∠PBC+∠PCB＝105°﹣75°＝30°，
∴∠BPC＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：150°．
10．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、N，若∠BAC＝70°，则∠EAN＝ 40 °．
【答案】40．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，MN垂直平分AC，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∴∠BAE+∠CAN＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣70°＝110°，
∴∠BAE+∠CAE+∠EAN＝110°，
∴∠BAC+∠EAN＝110°，
∴∠EAN＝110°﹣70°＝40°．
故答案为：40．
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是 20° ．
【答案】20°
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∵MP，NQ分别垂直平分AB，AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝80°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝20°．
故答案为：20°．
12．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE∠DAC＝40°．
13．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数；
（2）若△DAF的周长为20，求BC的长．
【答案】（1）∠DAF＝20°；
（2）BC＝20．
【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；
（2）∵△DAF的周长为20，
∴DA+DF+FA＝20，
由（1）可知，DA＝DB，FA＝FC，
∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．
14．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，OE＝OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD＝OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF，
∴OE＝4EF．
15．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）△AEF是等边三角形，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠DAF，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，
∴∠EDA＝∠EAD，
∴∠DAF＝∠EDA，
∴DE∥AC；
（2）△AEF是等边三角形，理由如下：
∵EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°，
由（1）知：∠OAE＝∠OAF，
∴∠AEO＝∠AFO，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形，
∵DE∥AC，
∴∠EAF＝∠BED＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
▉题型2 作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
16．如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【答案】D
【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
17．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP的过程中，弧①是（ ）
A．以C为圆心，以CD长为半径的弧
B．以C为圆心，以大于CD长为半径的弧
C．以D为圆心，以CD长为半径的弧
D．以D为圆心，以大于CD长为半径的弧
【答案】B
【解答】解：由作图可知，弧①是以C为圆心，以大于CD长为半径的弧．
故选：B．
18．如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（ ）
A．ED＝CD B．AC＝AE C．∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B
【答案】D
【解答】解：∵根据尺规作图的痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，
∴ED＝CD，∠DAC＝∠DAB，∠EDB＝90°﹣∠B，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AC＝AE，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠CAB＝90°﹣∠B，
∴∠EDB＝∠CAB，
∵AB⊥DE，但DE不一定平分AB，
∴∠DAB不一定等于∠B，
∴∠DAC不一定等于∠B，
故选：D．
19．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交该角的两边于A，B两点，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，连接OC，若∠MON＝60°，则∠ACO的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解答】解：由题意可得，OC为∠MON的角平分线，
∵∠MON＝60°，
∴∠AOC＝30°，
∵AC＝AO，
∴∠AOC＝∠ACO＝30°．
故选：B．
20．已知线段a，求作以线段a为底的等腰直角三角形．
【答案】图形见解答．
【解答】解：如图，△ABC为所作．
21．如图，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2．
（1）用尺规作∠A的平分线AD．
（2）角平分线AD交BC于点D，求BD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，AD为所求；
（2）作DE⊥AC于E，如图，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2．
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CDDE，
∵AD为角平分线，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴BD＝BE，
设BD＝x，则CDx，
∴xx＝2，
∴x＝2（1）＝22，
即BD的长为22．
22．有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：
（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；
（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；
（3）连接AD、BC相交于点E；
（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．
你认为他这种作法对吗？试说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：正确，
理由：由题意可得；AO＝BO，CO＝DO，
在△OBC和△OAD中
，
∴△OBC≌△OAD（SAS），
∴∠OCB＝∠ODA，∠OAD＝∠OBC，
∴∠CAE＝∠DBE，
在△CAE和△DBE中
，
∴△CAE≌△DBE（ASA），
∴CE＝ED，
在△OOE和△DOE中
，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠CAE＝∠DOE，
即OE为∠MON的平分线．
