第1章第2节 等腰三角形
题型1 等腰三角形的性质 题型2 等边三角形的性质
题型3 含30度角的直角三角形 题型4 反证法
▉题型1 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
1．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：当AC＝AB＝3时，△ABC为等腰三角形，
当AC＝BC＝4时，在△ADC中，AC＜AD+CD，即AC＜4，此种情况不成立，
故选：B．
2．已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（ ）
A．40° B．80° C．100° D．40°或100°
【答案】D
【解答】解：①若40°是顶角，则底角70°；
②若40°是底角，那么顶角＝180°﹣2×40°＝100°．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【解答】解：△ABC中，
∵AB＝AD＝CD，∠B＝70°，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，
∴∠C35°，
故选：A．
4．等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：当相等的两边是3时，3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；
当相等的两边是7时，能够组成三角形，此时周长是7+7+3＝17．
故选：B．
5．如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（ ）
A．18° B．20° C．30° D．36°
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠C＝90°﹣∠B＝∠BAD+∠B，
∵∠B＝2∠BAD，
∴4∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∴∠BAD＝18°，
故选：A．
6．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
【答案】C
【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于2+2＜5，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．
故选：C．
7．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）
A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
【答案】D
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：D．
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠DEC等于（ ）
A．90° B．95° C．100° D．110°
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，
∴∠DAC∠BAC＝40°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED70°，
∴∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣70°＝110°，
故选：D．
9．如果一个等腰三角形的两边长分别是4cm和8cm，那么此三角形的周长是（ ）
A．12cm B．16cm
C．20cm D．16cm或20cm
【答案】C
【解答】解：①4cm是腰长时，三角形的三边分别为4cm、4cm、8cm，
∵4+4＝8，无法组成三角形，
∴此情况错误，不符合题意，舍去；
②4cm是底边时，三角形的三边分别为4cm、8cm、8cm，
能组成三角形，周长为4+8+8＝20cm．
综上所述，此三角形的周长是20cm，
故选：C．
10．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．7cm B．9cm
C．12cm或者9cm D．12cm
【答案】D
【解答】解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
∴其周长是12cm．
故选：D．
11．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．69° C．76° D．88°
【答案】D
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝69°，
∴∠ODC＝23°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝111°，
∴∠CDE＝111°﹣∠ODC＝88°，
故选：D．
12．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，现将一含30°角的三角板（∠DAE＝90°，∠E＝30°）的直角顶点与点A重合，并绕着点A在平面内顺时针转动，当DE∥BC时，∠BAE的度数为 40°或140° ．
【答案】40°或140°
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠B＝∠C70°，
分两种情况：
当DE在点A下方时，设DE交AB于点F，如图：
∵DE∥BC，
∴∠AFD＝∠B＝70°，
∵∠AFD是△AEF的一个外角，
∴∠BAE＝∠AFD﹣∠E＝70°﹣30°＝40°；
当DE在点A上方时，延长CA交DE于点F，如图：
∵DE∥BC，
∴∠EFC＝∠C＝70°，
∵∠EAC是△AEF的一个外角，
∴∠EAC＝∠E+∠EFC＝70°+30°＝100°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝100°+40°＝140°；
综上所述，∠BAE的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则等腰三角形顶角的度数是 50或130 °．
【答案】50或130
【解答】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故答案为：50或130．
▉题型2 等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
14．如图，△ABD是等边三角形，AC＝AD，∠CBD＝15°，则∠BDC的度数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】D
【解答】解：∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD，∠ABD＝∠BAD＝∠ADB＝60°，
∵∠CBD＝15°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝45°，
∵AC＝AD，
∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°+75°＝135°．
故选：D．
15．如图是由四个大小不同的等边三角形和三个大小不同的圆组成的图案．已知最大等边三角形的面积为128，则图中最小等边三角形（阴影部分）的面积是（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】A
【解答】解：1282．
故选：A．
16．等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（ ）
A．（24﹣12）m B．（24﹣8）m
C．（24﹣6）m D．（24﹣4）m
【答案】D
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝12，BD＝6，
∴CD，
∵∠BED＝60°，
∴DE，BE＝AE，
∴减少用钢为（AB+AC+BC+CD）﹣（AE+BE+AB+DE）＝AC+BC+CD﹣AE﹣BE﹣DE＝24（cm），
故选：D．
17．如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠BDE＝（ ）
A．120° B．110° C．100° D．140°
【答案】A
【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD∠ABC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠DEC＝∠CBD＝30°，
∴∠BDE＝180°﹣∠DBE﹣∠E＝120°，
故选：A．
18．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝8，延长BA至点D，连接CD，∠ADC＝45°，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，连接DP，取DP的中点M，分别连接ME、MF，过C作CH⊥BD交BD于H．
∵PE⊥AB，PF⊥CD，
∴点P，F，D，E四点共圆，
∴ME＝FEPD．
∵∠ADC＝45°，
∴∠EMF＝90°，
∴当MF取最小值时，EF也取最小值，
∴DP⊥BC时，DP取最小值．
∵BC＝8，
∴CH＝DH＝4，BH＝4，
∴BD＝4+4，
∵CH×BD＝DP×BC，
∴DP＝26，
∴FM＝EM，
∴EF＝（）3，
即EF的最小值为3．
故选：C．
20．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD∠ABC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠DEC＝∠CBD＝30°，
故选：C．
21．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A．4 B． C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：∵等边三角形高线即中点，AB＝2，
∴BD＝CD＝1，
在Rt△ABD中，AB＝2，BD＝1，
∴AD，
∴S△ABCBC AD2，
故选：B．
22．以下叙述中不正确的是（ ）
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
【答案】C
【解答】解：A，正确，符合等边三角形三线合一性质；
B，正确，符合等边三角形的判定；
C，不正确，也可能是钝角或等腰直角三角形；
D，正确，符合等边对等角及等角对等边的性质．
故选：C．
23．等边三角形的边长为2，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，边长为2，
∴BD＝CD1，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD，
∴△ABC的面积是，
故选：A．
24．已知等边三角形的边长为6，则这个三角形的面积为（ ）
A．9 B． C． D．18
【答案】B
【解答】解：已知等边△ABC，过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
则点D为BC的中点，
∵等边三角形的边长为6，
∴AB＝6，BD＝3，
根据勾股定理，得AD，
∴△ABC的面积为，
故选：B．
25．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3 …在射线ON上，点B1、B2、B3 …在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A4B4A5的边长是 16． ．
【答案】16．
【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，
∴∠OA1B1＝180°﹣∠B1A1A2＝120°，
又∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝180°﹣∠OA1B1﹣∠MON＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠MON＝∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝A1A2＝2，
∴△A1B1A2的边长为2，
同理：△A2B2A3的边长为4，△A3B3A4的边长为8，△A4B4A5的边长为16．
故答案为：16．
26．三个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝80°，则∠1+∠2＝ 100 °．
【答案】100
【解答】解：∵图中是三个等边三角形，∠3＝80°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，
∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴40°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°，
∴∠1+∠2＝100°．
故答案为：100．
27．图中的三十六个小等边三角形面积都等于2，则△ABC的面积为 42 ．
【答案】42．
【解答】解：△ABD、△BCE和△CAF是全等的，其中两个三角形放在一起得到一个平行四边形，
∵这样的平行四边形的面积＝10个小等边三角形的面积的和＝10×2＝20，
∴△ABD的面积＝△BCE的面积＝△CAF的面积＝10，
∵△DEF的面积＝2×36＝72，
∴△ABC的面积＝72﹣10×3＝42．
故答案为：42．
28．如图，在等边三角形ABC中AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，则BE的长为 3 ．
【答案】3
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝2，
∵BD是∠ABC的高线，
∴D为AC的中点，
∴AD＝CDAC，
∵CE＝CD，
∴CEAC＝1，
∴BE＝BC+CE＝2+1＝3．
故答案为：3．
29．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝15cm，当衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，此时A，B两点之间的距离是 15 cm．
【答案】15．
【解答】解：连接AB，如图所示：
∵OA＝OB＝15cm，∠A＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB＝OA＝15cm．
故答案为：15．
30．若等边三角形的边长为6，则它的面积为 9 ．
【答案】9．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
根据等边三角形三线合一，即D为BC的中点，
∴BD＝DC＝3，
在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝3，
∴AD3，
∴△ABC的面积为BC AD6×39，
故答案为：9．
31．如图，△MNG中，MN＝5，∠M＝75°，，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 ．
【答案】．
【解答】解：如图，以MG为边作等边△MGD，以OM为边作等边△OME，连接ND，作ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．
∵△MGD和△OME是等边三角形，
∴∠GMO＝∠DME，
在△GMO和△DME中，
，
∴△GMO≌△DME（SAS），
∴OG＝DE，
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO，
∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，
∵∠NMD＝75°+60°＝135°，
∴∠DMF＝180°﹣135°＝45°，
∵，
∴，
∴NF＝MN+MF＝5+3＝8，
∴，
∴MO+NO+GO最小值为．
故答案为：．
32．如图，等边三角形的边长是6．求：
（1）高AD的长；
（2）这个三角形的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）等边三角形高线即中线，故D为BC中点，
∵AB＝6，
∴BD＝3，
∴AD3．
（2）∵BC＝6，AD＝3，
∴等边△ABC的面积BC AD6×39．
▉题型3 含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
33．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解答】解：Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8．
故选：A．
34．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC．如果DE＝2，那么BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴CD＝DA，∠DEC＝90°，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∵DE＝2，
∴CD＝2DE＝4，
∵∠B＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠BAD＝∠CAB﹣∠CAD＝30°，
∴BDAD＝2，
∴BC＝BD+CD＝2+4＝6，
故选：C．
35．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠BDC＝30°，BC＝1，则AD的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵∠C＝90°，∠BDC＝30°，BC＝1，
∴BD＝2BC＝2×1＝2，
∵∠A＝15°，∠BDC＝30°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝30°﹣15°＝15°，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD＝2．
故选：B．
36．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°，DE＝2，则BC的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【解答】解：∵DE垂直平分AB，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，
∴EC＝ED＝2，
∵DE垂直平分AB，
∴∠BDE＝90°．
在△BDE 中，
∵∠BDE＝90°．∠B＝30°．
∴BE＝2DE＝4．
∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，
故选：D．
37．如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD＝∠CEF＝90°，
∴∠ADF＝∠CFE＝30°，
∴AFAD，CECF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝1，
∴AF，CF，CE，
∴BE＝BC﹣CE＝2，
故选：C．
38．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，若FC＝6，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：连接AF，
∵AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，FC＝6，
∴AF＝CF＝6，
∵∠C＝30°，
∴∠C＝∠CAF＝30°，
∴∠AFD＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAF＝30°，
∴DFAF＝3，ADDF＝3，
∵AD⊥BC，∠B＝45°，
∴BD＝AD＝3．
故选：C．
39．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝3，则OM的长是（ ）
A．2 B．3.5 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：作PH⊥MN于H，如图，
∵PM＝PN，
∴，
在Rt△POH中，
∵∠POH＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴，
∴OM＝OH﹣MH＝5﹣1.5＝3.5．
故选：B．
40．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则CD的长为（ ）cm
A．10 B．8 C．5 D．
【答案】D
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，
∴AD＝BD＝10 cm，∠DBA＝∠BAD＝15°，
∴∠ADC＝30°，
∴ACAD＝5（cm），CD（cm）．
故选：D．
41．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝10cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，t的值为 3或4.8 ．
【答案】3或4.8
【解答】解：在△ABC中，AB＝12cm，AC＝10cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，设运动时间为t秒，
∴BP＝2tcm，AQ＝tcm，
∴AP＝AB﹣BP＝（12﹣2t）cm，
∵△APQ为直角三角形，∠A＝60°，
∴当∠AQP＝90°时，则∠APQ＝30°，
∴，
∴，
解得：t＝3，
当∠APQ＝90°时，则∠AQP＝30°，
∴，
∴，
解得：t＝4.8，
综上，当t的值为3或4.8时，△APQ为直角三角形，
故答案为：3或4.8．
▉题型4 反证法
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
42．用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先应该假设（ ）
A．∠B≥90° B．∠B＞90°
C．AB≠AC D．AB≠AC且∠B≥90°
【答案】A
【解答】解：用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先假设∠B≥90°，
故选：A．
43．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（ ）
A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC
【答案】A
【解答】解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°．
故选：A．
44．用反证法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠ABC＜90°”时，应先假设（ ）
A．∠ABC≠90° B．AB≠AC C．∠ABC＞90° D．∠ABC≥90°
【答案】D
【解答】解：反证法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠ABC＜90°”时，应先假设∠ABC≥90°，
故选：D．
45．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）
A．∠A＝∠B B．AB＝BC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C
【答案】C
【解答】解：∠B≠∠C的反面是∠B＝∠C．
故可以假设∠B＝∠C．
故选：C．
46．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于或等于60°
B．三角形中有两个内角小于或等于60°
C．三角形中有三个内角小于或等于60°
D．三角形中没有一个内角小于或等于60°
【答案】D
【解答】解：用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
第一步应先假设三角形中没有一个内角小于或等于60°，
故选：D．
47．下列说法，错误的是（ ）
A．三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等
B．有两个角都是60°的三角形是等边三角形
C．三角形的三边分别为a、b、c，若满足a2﹣b2＝c2，那么该三角形是直角三角形
D．用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的三个内角中没有直角”
【答案】D
【解答】解：A、三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等，说法正确；
B、有两个角都是60°的三角形是等边三角形，说法正确；
C、三角形的三边分别为a、b、c，若满足a2﹣b2＝c2，那么该三角形是直角三角形，说法正确；
D、用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的三个内角中有两个或三个直角”，所以D选项说法错误．
故选：D．
48．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．③假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．④则三角形的三个内角的和大于180°．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③②①
【答案】C
【解答】解：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°，
则三角形的三个内角的和大于180°，
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°，
所以这四个步骤正确的顺序是③④①②，
故选：C．
49．用反证法证明“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（ ）
A．a，b都小于0 B．a，b不都小于0
C．a，b都不小于0 D．a，b都大于0
【答案】A
【解答】解：“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0”第一步应假设：a，b都小于0．
故选：A．
50．下列说法中，正确的结论有（ ）个．
①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等；
③“对顶角相等”的逆命题是真命题；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设这个三角形中最小角大于60°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，说法正确；
②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，说法正确；
③“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，则这两个角为对顶角，此命题为假命题，本小题说法错误；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”先应假设这个三角形中最小角大于60°，说法正确；
故选：C．
51．用反证法证明命题“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”，首先应假设（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AB≥AC D．∠B≤∠C
【答案】A
【解答】解：反证法证明命题“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”时，
首先假设AB＝AC，
故选：A．第1章第2节 等腰三角形
题型1 等腰三角形的性质 题型2 等边三角形的性质
题型3 含30度角的直角三角形 题型4 反证法
▉题型1 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
1．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（ ）
A．40° B．80° C．100° D．40°或100°
3．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
4．等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．不能确定
5．如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（ ）
A．18° B．20° C．30° D．36°
6．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
7．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）
A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠DEC等于（ ）
A．90° B．95° C．100° D．110°
9．如果一个等腰三角形的两边长分别是4cm和8cm，那么此三角形的周长是（ ）
A．12cm B．16cm
C．20cm D．16cm或20cm
10．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．7cm B．9cm
C．12cm或者9cm D．12cm
11．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．69° C．76° D．88°
12．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，现将一含30°角的三角板（∠DAE＝90°，∠E＝30°）的直角顶点与点A重合，并绕着点A在平面内顺时针转动，当DE∥BC时，∠BAE的度数为 ．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则等腰三角形顶角的度数是 °．
▉题型2 等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
14．如图，△ABD是等边三角形，AC＝AD，∠CBD＝15°，则∠BDC的度数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
15．如图是由四个大小不同的等边三角形和三个大小不同的圆组成的图案．已知最大等边三角形的面积为128，则图中最小等边三角形（阴影部分）的面积是（ ）
A．2 B． C．4 D．8
16．等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（ ）
A．（24﹣12）m B．（24﹣8）m
C．（24﹣6）m D．（24﹣4）m
17．如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠BDE＝（ ）
A．120° B．110° C．100° D．140°
18．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝8，延长BA至点D，连接CD，∠ADC＝45°，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
21．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A．4 B． C．2 D．3
22．以下叙述中不正确的是（ ）
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
23．等边三角形的边长为2，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
24．已知等边三角形的边长为6，则这个三角形的面积为（ ）
A．9 B． C． D．18
25．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3 …在射线ON上，点B1、B2、B3 …在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A4B4A5的边长是 ．
26．三个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝80°，则∠1+∠2＝ °．
27．图中的三十六个小等边三角形面积都等于2，则△ABC的面积为 ．
28．如图，在等边三角形ABC中AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，则BE的长为 ．
29．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝15cm，当衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，此时A，B两点之间的距离是 cm．
30．若等边三角形的边长为6，则它的面积为 ．
31．如图，△MNG中，MN＝5，∠M＝75°，，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 ．
32．如图，等边三角形的边长是6．求：
（1）高AD的长；
（2）这个三角形的面积．
▉题型3 含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
33．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8 B．1 C．2 D．4
34．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC．如果DE＝2，那么BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
35．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠BDC＝30°，BC＝1，则AD的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
36．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°，DE＝2，则BC的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
37．如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
38．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，若FC＝6，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
39．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝3，则OM的长是（ ）
A．2 B．3.5 C．6 D．8
40．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则CD的长为（ ）cm
A．10 B．8 C．5 D．
41．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝10cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，t的值为 ．
▉题型4 反证法
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
42．用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先应该假设（ ）
A．∠B≥90° B．∠B＞90°
C．AB≠AC D．AB≠AC且∠B≥90°
43．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（ ）
A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC
44．用反证法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠ABC＜90°”时，应先假设（ ）
A．∠ABC≠90° B．AB≠AC C．∠ABC＞90° D．∠ABC≥90°
45．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）
A．∠A＝∠B B．AB＝BC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C
46．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于或等于60°
B．三角形中有两个内角小于或等于60°
C．三角形中有三个内角小于或等于60°
D．三角形中没有一个内角小于或等于60°
47．下列说法，错误的是（ ）
A．三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等
B．有两个角都是60°的三角形是等边三角形
C．三角形的三边分别为a、b、c，若满足a2﹣b2＝c2，那么该三角形是直角三角形
D．用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的三个内角中没有直角”
48．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．③假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．④则三角形的三个内角的和大于180°．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③②①
49．用反证法证明“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（ ）
A．a，b都小于0 B．a，b不都小于0
C．a，b都不小于0 D．a，b都大于0
50．下列说法中，正确的结论有（ ）个．
①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等；
③“对顶角相等”的逆命题是真命题；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设这个三角形中最小角大于60°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
51．用反证法证明命题“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”，首先应假设（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AB≥AC D．∠B≤∠C
