第3章第2节 图形的旋转
题型1 生活中的旋转现象 题型2 旋转的性质
题型3 旋转对称图形 题型4 中心对称
题型5 中心对称图形
▉题型1 生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
1．下列运动属于旋转的是（ ）
A．滚动过程中的篮球的滚动
B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某直线对折的过程
【答案】B
【解答】解：A、滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转；
B、钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；
C、气球升空的运动是平移，不属于旋转；
D、一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转．
故选：B．
2．时钟从上午9时到中午12时，时针沿顺时针方向旋转了 90 度．
【答案】90．
【解答】解：从上午9时到中午12时，时针就从指向9，旋转到指向12，共顺时针转了3个“大格”，
而每个“大格”相应的圆心角为30°，
所以，30°×3＝90°，
故答案为：90．
3．小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印 不能 （填“能”或“不能”）通过旋转与右手手印完全重合在一起．
【答案】不能
【解答】解：不能，因为无论怎么旋转，两个图形都不能重合，
故答案为：不能．
4．钟表上的分针绕其轴心旋转，分针经过15分钟后，分针转过的角度是 90° ．
【答案】90°
【解答】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，
则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60＝6°，
那么15分钟，分针旋转了15×6°＝90°．
故答案为：90°．
▉题型2 旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
5．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【解答】解：如图，
∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，
∴连接PP'、NN'、MM'，
作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
故选：B．
6．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A'B'C'，且点B刚好落在A'B'上．若∠A＝26°，∠BCA'＝44°，则α等于（ ）
A．37° B．38° C．39° D．40°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上，
∴∠A′＝∠A＝26°，∠ABC＝∠B′，CB＝CB′，
∴∠B′＝∠CBB′，
∵∠CBB′＝∠A′+∠BCA′＝26°+44°＝70°，
∴∠B′＝70°，
∴∠BCB′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴α＝40°，
故选：D．
7．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转24°得△A′B′C．若A'B'⊥AC于点D，则∠A＝（ ）
A．66° B．54° C．52° D．48°
【答案】A
【解答】解：由△ABC绕点C按顺时针方向旋转24°得△A′B′C．A'B'⊥AC，
得∠ACA'＝24°，
得∠A＝∠A'＝90﹣∠ACA'＝66°．
故选：A．
8．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△AB'C'，且C'C∥AB，则α的度数为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
【答案】C
【解答】解：∵C'C∥AB，
∴∠CAB＝∠ACC'＝70°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△AB'C'，
∴AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'＝α，
∴∠ACC'＝∠AC'C＝70°，
∴∠CAC'＝40°＝α，
故选：C．
9．如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【解答】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B为旋转中心．
故选：B．
10．如图，在正三角形网格中，将△EFG绕某个点旋转，得到△E'F'G'，则下列四个点中能作为旋转中心的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【解答】解：如图，连接FF'，分别作EE'，FF'的中垂线，交点为点C，即点C是旋转中心，
故选：C．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点D是直角边AC上的一个动点，连结BD，以BD为边向外作等边△BDE，连结CE，在点D运动的过程中，线段CE的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解答】解：延长BC到点F，使FC＝BC，连结AF，FE，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，
∴FC＝BCAB＝2，∠ABF＝90°﹣∠BAC＝60°，
∴FB＝2BC＝4，
∴FB＝AB，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠AFB＝60°，
∵△BDE是等边三角形，
∴EB＝DB，∠DBE＝60°，
∴∠FBE＝∠ABD＝60°﹣∠DBF，
在△FBE和△ABD中，
，
∴△FBE≌△ABD（SAS），
∴∠BFE＝∠BAD＝30°，
∴∠AFE＝∠AFB+∠BFE＝90°，
∴点E在经过点F且与AF垂直的射线FE上运动，
作CH⊥FE交射线FE于点H，则∠CHF＝90°，
∴CHFC＝1，
∵CE≥CH，
∴CE≥1，
∴CE的最小值为1，
故选：B．
▉题型3 旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
12．把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（ ）
A．36° B．72° C．90° D．108°
【答案】B
【解答】解：五角星可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，
因而旋转的角度是360°÷5＝72°，
故选：B．
13．如果一个正多边形绕它的中心旋转60°才和原来的图形重合，那么这个正多边形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】D
【解答】解：A、正三角形绕它的中心旋转能和原来的图形的最小的度数是120度；
B、正方形绕它的中心旋转能和原来的图形的最小的度数是90度；
C、正五边形绕它的中心旋转能和原来的图形的最小的度数是72度；
D、正六边形绕它的中心旋转能和原来的图形的最小的度数是60度．
故选：D．
▉题型4 中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
14．如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，修路的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种
【答案】D
【解答】解：∵正方形是中心对称图形，
∴经过正方形的对称中心作互相垂直的两条直线，
则这两条直线把草地分成的四部分面积相等，
故选：D．
15．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，则线段AB与DE的大小关系是AB＝DE ．
【答案】AB＝DE
【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AB＝DE
故答案为：AB＝DE．
16．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A′是对称点；②BO＝B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正确结论的个数为 3个 ．
【答案】3个．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′，
故①②③正确，
故答案为：3个．
17．△ABC与△A′B′C′关于原点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别是A′、B′、C′，若AB＝3，AC＝1，则B′C′的范围是 2＜B′C′＜4 ．
【答案】2＜B′C′＜4
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于原点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别是A′、B′、C′，AB＝3，AC＝1，
∴A′B′＝3，A′C′＝1，
∴B′C′的范围是：2＜B′C′＜4．
故答案为：2＜B′C′＜4．
▉题型5 中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
18．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
19．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．如意纹 B．冰裂纹
C．盘长纹 D．风车纹
【答案】D
【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；
B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意；
C是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意；
D不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意；
故选：D．
20．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意知，A、C选项中的图形是轴对称图形，D选项中的图形既不是轴对称也不是中心对称图形，B选项是中心对称图形，
故选：B．
21．我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图形“刘徽割圆术”、“杨辉三角”、“赵爽弦图”、“中国七巧板”中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
22．在学习《图形的平移和旋转》时，爱思考的博涵同学发现在下列几种著名的数学曲线中，有一种既是轴对称图形又是中心对称图形，请同学们找出是哪一个？（ ）
A．笛卡尔爱心曲线 B．蝴蝶曲线
C．费马螺线曲线 D．科赫曲线
【答案】D
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．第3章第2节 图形的旋转
题型1 生活中的旋转现象 题型2 旋转的性质
题型3 旋转对称图形 题型4 中心对称
题型5 中心对称图形
▉题型1 生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
1．下列运动属于旋转的是（ ）
A．滚动过程中的篮球的滚动
B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某直线对折的过程
2．时钟从上午9时到中午12时，时针沿顺时针方向旋转了 度．
3．小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印 （填“能”或“不能”）通过旋转与右手手印完全重合在一起．
4．钟表上的分针绕其轴心旋转，分针经过15分钟后，分针转过的角度是 ．
▉题型2 旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
5．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
6．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A'B'C'，且点B刚好落在A'B'上．若∠A＝26°，∠BCA'＝44°，则α等于（ ）
A．37° B．38° C．39° D．40°
7．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转24°得△A′B′C．若A'B'⊥AC于点D，则∠A＝（ ）
A．66° B．54° C．52° D．48°
8．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△AB'C'，且C'C∥AB，则α的度数为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
9．如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
10．如图，在正三角形网格中，将△EFG绕某个点旋转，得到△E'F'G'，则下列四个点中能作为旋转中心的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点D是直角边AC上的一个动点，连结BD，以BD为边向外作等边△BDE，连结CE，在点D运动的过程中，线段CE的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
▉题型3 旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
12．把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（ ）
A．36° B．72° C．90° D．108°
13．如果一个正多边形绕它的中心旋转60°才和原来的图形重合，那么这个正多边形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
▉题型4 中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
14．如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，修路的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种
15．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，则线段AB与DE的大小关系是 ．
16．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A′是对称点；②BO＝B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正确结论的个数为 ．
17．△ABC与△A′B′C′关于原点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别是A′、B′、C′，若AB＝3，AC＝1，则B′C′的范围是 ．
▉题型5 中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
18．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
19．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．如意纹 B．冰裂纹
C．盘长纹 D．风车纹
20．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
21．我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图形“刘徽割圆术”、“杨辉三角”、“赵爽弦图”、“中国七巧板”中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
22．在学习《图形的平移和旋转》时，爱思考的博涵同学发现在下列几种著名的数学曲线中，有一种既是轴对称图形又是中心对称图形，请同学们找出是哪一个？（ ）
A．笛卡尔爱心曲线 B．蝴蝶曲线
C．费马螺线曲线 D．科赫曲线
