第4章第2节 提公因式法
题型1 公因式 题型2 因式分解-提公因式法
▉题型1 公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
1．多项式4x3yz2﹣8x2yz4+12x4y2z3的公因式是（ ）
A．4x3yz2 B．﹣8x2yz4 C．12x4y2z3 D．4x2yz2
2．把多项式12ab3+8a3b分解因式，应提的公因式是（ ）
A．ab B．4ab C．2ab D．4a2b
3．多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（ ）
A．4a2 B．4abc C．2a2 D．4ab
4．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3
5．多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（ ）
A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z
6．整式n2﹣1与n2+n的公因式是（ ）
A．n B．n2 C．n+1 D．n﹣1
7．代数式15a3b3（a﹣b），5a2b（b﹣a），﹣120a3b3（a2﹣b2）中的公因式是（ ）
A．5ab（b﹣a） B．5a2b2（b﹣a）
C．5a2b（b﹣a） D．120a3b3（b2﹣a2）
8．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
9．多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（ ）
A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1
10．式子x（y﹣1）与﹣18（y﹣1）的公因式是 ．
11．24m2n+18n的公因式是 ．
12．a2﹣2ab+b2、a2﹣b2的公因式是 ．
▉题型2 因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
13．将多项式﹣4a3+16a2+12a分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．4a3 B．4a2 C．﹣4a2 D．﹣4a
14．把多项式﹣7ab﹣14abx+49aby分解因式，提公因式﹣7ab后，另一个因式是（ ）
A．1+2x﹣7y B．1﹣2x﹣7y C．﹣1+2x+2y D．﹣1﹣2x+7y
15．把多项式12ab+3ab3分解因式，应提的公因式是（ ）
A．12ab B．4ab C．3ab D．3ab3
16．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）
A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1）
C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）
17．计算1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣[（1﹣a）2014﹣3]的结果为（ ）
A．3 B．1
C．（1﹣a）2015 D．（1﹣a）2015+3
18．把多项式6a2b﹣3ab2+12a2b2分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．ab B．3ab2 C．3ab D．12a2b2
19．分解因式：12x3y﹣18x2y2+24xy3＝6xy（ ）．
20．一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，则a2b+ab2的值为 ．
21．分解因式：x2+3x＝） ．
22．因式分解．
（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）；
（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．第4章第2节 提公因式法
题型1 公因式 题型2 因式分解-提公因式法
▉题型1 公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
1．多项式4x3yz2﹣8x2yz4+12x4y2z3的公因式是（ ）
A．4x3yz2 B．﹣8x2yz4 C．12x4y2z3 D．4x2yz2
【答案】D
【解答】解：多项式4x3yz2﹣8x2yz4+12x4y2z3的公因式是4x2yz2．
故选：D．
2．把多项式12ab3+8a3b分解因式，应提的公因式是（ ）
A．ab B．4ab C．2ab D．4a2b
【答案】B
【解答】解：12ab3+8a3b＝4ab（3b2+2a2），则多项式12ab3+8a3b分解因式，应提的公因式是4ab，
故选：B．
3．多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（ ）
A．4a2 B．4abc C．2a2 D．4ab
【答案】D
【解答】解：多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是4ab，
故选：D．
4．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3
【答案】A
【解答】解：系数最大公约数是﹣3，
相同字母的最低指数次幂是a2、b2，
应提取的公因式是﹣3a2b2．
故选：A．
5．多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（ ）
A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z
【答案】C
【解答】解：多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是3x2y2，
故选：C．
6．整式n2﹣1与n2+n的公因式是（ ）
A．n B．n2 C．n+1 D．n﹣1
【答案】C
【解答】解：n2﹣1＝（n+1）（n﹣1），n2+n＝n（n+1），所以整式n2﹣1与n2+n的公因式是（n+1），
故选：C．
7．代数式15a3b3（a﹣b），5a2b（b﹣a），﹣120a3b3（a2﹣b2）中的公因式是（ ）
A．5ab（b﹣a） B．5a2b2（b﹣a）
C．5a2b（b﹣a） D．120a3b3（b2﹣a2）
【答案】C
【解答】解：因为5a2b（b﹣a）＝﹣5a2b（a﹣b），﹣120a3b3（a2﹣b2）＝﹣120a3b3（a+b）（a﹣b），
所以代数式15a3b3（a﹣b），5a2b（b﹣a），﹣120a3b3（a2﹣b2）中的公因式是5a2b（b﹣a）．
故选：C．
8．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
【答案】A
【解答】解：①2x2﹣x＝x（2x﹣1）；
②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4＝（x﹣3）2；
③（x+1）2﹣4x（x+1）+4无法分解因式；
④﹣4x2﹣1+4x＝﹣（4x2﹣4x+1）＝﹣（2x﹣1）2．
所以分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④．
故选：A．
9．多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（ ）
A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1
【答案】D
【解答】解：多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是4xmyn﹣1．
故选：D．
10．式子x（y﹣1）与﹣18（y﹣1）的公因式是 y﹣1 ．
【答案】y﹣1
【解答】解：式子x（y﹣1）与﹣18（y﹣1）的公因式是y﹣1，
故答案为：y﹣1．
11．24m2n+18n的公因式是 6n ．
【答案】6n
【解答】解：原式＝6n 4m2+6n 3＝6n（4m2+3）．
所以公因式为6n．
12．a2﹣2ab+b2、a2﹣b2的公因式是a﹣b ．
【答案】a﹣b
【解答】解：∵a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣2ab+b2、a2﹣b2的公因式是：a﹣b．
故答案为：a﹣b．
▉题型2 因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
13．将多项式﹣4a3+16a2+12a分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．4a3 B．4a2 C．﹣4a2 D．﹣4a
【答案】D
【解答】解：﹣4a3+16a2+12a
＝﹣4a（a2﹣4a﹣3）．
故选：D．
14．把多项式﹣7ab﹣14abx+49aby分解因式，提公因式﹣7ab后，另一个因式是（ ）
A．1+2x﹣7y B．1﹣2x﹣7y C．﹣1+2x+2y D．﹣1﹣2x+7y
【答案】A
【解答】解：﹣7ab﹣14abx+49aby
＝﹣7ab（1+2x﹣7y）．
故选：A．
15．把多项式12ab+3ab3分解因式，应提的公因式是（ ）
A．12ab B．4ab C．3ab D．3ab3
【答案】C
【解答】解：12ab+3ab3＝3ab（4+b2），
∴多项式12ab+3ab3分解因式，应提的公因式是3ab，
故选：C．
16．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）
A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1）
C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）
【答案】B
【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），
＝b（x﹣3）（b+1）．
故选：B．
17．计算1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣[（1﹣a）2014﹣3]的结果为（ ）
A．3 B．1
C．（1﹣a）2015 D．（1﹣a）2015+3
【答案】A
【解答】解：1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣[（1﹣a）2014﹣3]
＝1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣（1﹣a）2014+3
＝（1﹣a）2﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣（1﹣a）2014+3
＝（1﹣a）2013﹣a（1﹣a）2013﹣（1﹣a）2014+3
＝（1﹣a）2014﹣（1﹣a）2014+3
＝3．
故选：A．
18．把多项式6a2b﹣3ab2+12a2b2分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．ab B．3ab2 C．3ab D．12a2b2
【答案】C
【解答】解：6a2b﹣3ab2+12a2b2＝3ab（2a﹣b+4ab）．
故选：C．
19．分解因式：12x3y﹣18x2y2+24xy3＝6xy（ 2x2﹣3xy+4y2 ）．
【答案】2x2﹣3xy+4y2
【解答】解：原式＝6xy（2x2﹣3xy+4y2），
故答案为：2x2﹣3xy+4y2．
20．一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，则a2b+ab2的值为 35 ．
【答案】35．
【解答】解：∵长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，
∴2（a+b）＝14，ab＝5，
故a+b＝7，ab＝5，
则a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝5×7
＝35．
故答案为：35．
21．分解因式：x2+3x＝x（x+3） ．
【答案】x（x+3）
【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．
22．因式分解．
（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）；
（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．
【答案】（1）（y﹣z）（2a+3b）；
（2）（x+1）2（x﹣1）2．
【解答】解：（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）
＝（y﹣z）（2a+3b）．
（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9
＝[（x2+2）﹣3]2
＝（x2﹣1）2
＝（x+1）2（x﹣1）2．
