第4章第1节 因式分解
题型1 因式分解的意义
▉题型1 因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a）
2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2
3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．
C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
D．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
4．下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．﹣7ab2c3＝﹣abc 7bc2
C．m（m+3）＝m2+3m D．2x2﹣5x＝x（2x﹣5）
5．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．ab+ac+d＝a（b+c）+d
C．a2+2ab+b2＝（a+b）2 D．12ab2＝3a 4b
6．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+3x＝x（x+3）
B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1
D．6xy2＝3x 2y2
7．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．m3﹣n3＝（m﹣n）（m2+mn+n2）
C．（y+1）（y﹣3）＝﹣（3﹣y）（y+1）
D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z
8．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 B．x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4
C．y2+2y﹣1＝y（y+2）﹣1 D．y2﹣9＝（y+3）（y﹣3）
9．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）
10．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3
C．x2 5x＝5x3 D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
11．下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ）
①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1；
②x3+x＝x（x2+1）；
③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2；
④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．x2+4x+10＝（x+2）2+6
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
D．x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x
13．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x
14．下列从左到右的变形：．其中是因式分解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
15．下列由左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A．（2x+3）（2x﹣3）＝4x2﹣9
B．4x2+18x﹣1＝4x（x+2）﹣1
C．（a﹣b）2﹣9＝（a﹣b+3）（a﹣b﹣3）
D．（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2
16．某同学粗心大意，分解因式时，把等式a4﹣※＝（a2+9）（a+3）（a﹣●）中的两个数弄污了，那么你认为式子中的※和●所对应的一组数是（ ）
A．9，3 B．81，3 C．81，9 D．27，3
17．如果x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，那么m的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2
18．下列由左到右的变形中属于因式分解的是（ ）
A．24x2y＝3x 8xy B．m2﹣2m﹣3＝m（m﹣2）﹣3
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
19．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解： ．
20．下列从左到右的变形：①；②（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；③15x2y＝3x 5xy；④a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．其中是因式分解的是 ．
21．分解因式：x2+ay2在有理数范围内能够分解因式，则a的值可以是 ．（任意写出一个即可）
22．在（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2中，从左向右的变形是 ，从右向左的变形是 第4章第1节 因式分解
题型1 因式分解的意义
▉题型1 因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a）
【答案】B
【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2
【答案】B
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选：B．
3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．
C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
D．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
【答案】D
【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
4．下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．﹣7ab2c3＝﹣abc 7bc2
C．m（m+3）＝m2+3m D．2x2﹣5x＝x（2x﹣5）
【答案】D
【解答】解：A．x2+2x+1＝（x+1）2，故A不符合题意；
B．﹣7ab2c3是单项式，不存在因式分解，故B不符合题意；
C．m（m+3）＝m2+3m是单项式乘多项式，故C不符合题意；
D．2x2﹣5x＝x（2x﹣5）是因式分解，故D符合题意；
故选：D．
5．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．ab+ac+d＝a（b+c）+d
C．a2+2ab+b2＝（a+b）2 D．12ab2＝3a 4b
【答案】C
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是整式乘法，
∴选项A不符合题意；
∵ab+ac+d＝a（b+c）+d不是因式分解，
∴选项B不符合题意；
∵a2+2ab+b2＝（a+b）2是因式分解，
∴选项C符合题意；
∵12ab2＝3a 4b不是因式分解，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
6．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+3x＝x（x+3）
B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1
D．6xy2＝3x 2y2
【答案】A
【解答】解：x2+3x＝x（x+3）符合因式分解的定义，则A符合题意；
（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2是乘法运算，则B不符合题意；
x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1中等号右边不是积的形式，则C不符合题意；
6xy2＝3x 2y2中6xy2是单项式，则D不符合题意；
故选：A．
7．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．m3﹣n3＝（m﹣n）（m2+mn+n2）
C．（y+1）（y﹣3）＝﹣（3﹣y）（y+1）
D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z
【答案】B
【解答】解：根据因式分解的定义得：从左边到右边的变形，是因式分解的是m3﹣n3＝（m﹣n）（m2+mn+n2）．
故选：B．
8．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 B．x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4
C．y2+2y﹣1＝y（y+2）﹣1 D．y2﹣9＝（y+3）（y﹣3）
【答案】D
【解答】解：A、这个等式左边是两个一次多项式的乘积，右边是一个二次多项式．这是一个典型的展开过程，不是因式分解．因此A选项不是因式分解．
B、这个等式右边是一个完全平方公式加上一个常数，它不是一个多项式乘积的形式，所以B选项不是因式分解．
C、这个等式右边是y乘以一个一次多项式再减去一个常数，这也不是一个多项式的乘积形式，因此C选项不是因式分解．
D、y2﹣9＝（y+3）（y﹣3），这个等式左边是一个二次多项式，右边是两个一次多项式的乘积．因此D选项是一个正确的因式分解．
故选：D．
9．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）
【答案】D
【解答】解：A、是单项式乘多项式的运算，不属于因式分解，不符合题意；
B、右边结果不是积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
C、是多项式与多项式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意；
D、x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）属于因式分解，符合题意．
故选：D．
10．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3
C．x2 5x＝5x3 D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
【答案】D
【解答】解：A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．x2 5x＝5x3，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
11．下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ）
①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1；
②x3+x＝x（x2+1）；
③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2；
④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；
②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；
③整式的乘法，故③不是因式分解；
④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；
故选：B．
12．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．x2+4x+10＝（x+2）2+6
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
D．x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x
【答案】C
【解答】解：A、是多项式相乘，错误；
B、右边不是积的形式；错误；
C、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，正确；
D、右边不是积的形式；错误；
故选：C．
13．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【答案】C
【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
14．下列从左到右的变形：．其中是因式分解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】A
【解答】解：①x2+3x+1＝x（x+3）的右边不是整式的积，不是因式分解；
②（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是整式乘法，不是因式分解；
③15x2y＝3x 5xy的左边不是多项式，不是因式分解；
④a2﹣2a+1＝（a﹣1）2是因式分解．
是因式分解的个数是1个，
故选：A．
15．下列由左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A．（2x+3）（2x﹣3）＝4x2﹣9
B．4x2+18x﹣1＝4x（x+2）﹣1
C．（a﹣b）2﹣9＝（a﹣b+3）（a﹣b﹣3）
D．（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2
【答案】C
【解答】解：A、（2x+3）（2x﹣3）＝4x2﹣9，不是因式分解，故本选项错误；
B、4x2+18x﹣1＝4x（x+2）﹣1，不是因式分解，故本选项错误；
C、（a﹣b）2﹣9＝（a﹣b+3）（a﹣b﹣3），是因式分解，正确；
D、（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2不是因式分解，故本选项错误．
故选：C．
16．某同学粗心大意，分解因式时，把等式a4﹣※＝（a2+9）（a+3）（a﹣●）中的两个数弄污了，那么你认为式子中的※和●所对应的一组数是（ ）
A．9，3 B．81，3 C．81，9 D．27，3
【答案】B
【解答】解：由a4﹣※＝（a2+9）（a+3）（a﹣●）得出●＝3，
则（a2+9）（a+3）（a﹣3）＝（a2+9）（a2﹣9）＝a4﹣81，则※＝81．
故选：B．
17．如果x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，那么m的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：设另一个因式是x+a，
则（x﹣2）（x+a）
＝x2+ax﹣2x﹣2a
＝x2+（a﹣2）x﹣2a，
∵x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，
∴a﹣2＝﹣6，
解得：a＝﹣4，
∴m＝﹣2a＝8，
故选：A．
18．下列由左到右的变形中属于因式分解的是（ ）
A．24x2y＝3x 8xy B．m2﹣2m﹣3＝m（m﹣2）﹣3
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
【答案】C
【解答】解：A、24x2y不是多项式，因而不是因式分解，选项错误；
B、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误；
C、是因式分解，选项正确；
D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误．
故选：C．
19．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：x2+6x+8＝（x+2）（x+4） ．
【答案】x2+6x+8＝（x+2）（x+4）
【解答】解：四个独立图形的面积和：x2+2x+4x+4×2＝x2+6x+8，
组合图形面积：（x+2）（x+4），
∴x2+6x+8＝（x+2）（x+4），
故答案为：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）．
20．下列从左到右的变形：①；②（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；③15x2y＝3x 5xy；④a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．其中是因式分解的是 ④ ．
【答案】④．
【解答】解：①中不是整式，它不是因式分解，
②是乘法运算，它不是因式分解，
③中等号左边是单项式，它不是因式分解，
④符合因式分解的定义，它是因式分解，
故答案为：④．
21．分解因式：x2+ay2在有理数范围内能够分解因式，则a的值可以是 ﹣4（答案不唯一） ．（任意写出一个即可）
【答案】﹣4（答案不唯一）．
【解答】解：由题意得当a＝﹣4时，原多项式为x2﹣4y2，分解因式为（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：﹣4（答案不唯一）．
22．在（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2中，从左向右的变形是 整式乘法 ，从右向左的变形是 因式分解
【答案】整式乘法；因式分解
【解答】解：∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
从左向右的变形是两个整式相乘，故是整式乘法；
从右向左的变形是因式分解，
故答案为：整式乘法、因式分解．
