第5章第1节 分式及其基本性质
题型1 分式的定义 题型2 分式有意义的条件
题型3 分式的值为零的条件 题型4 分式的值
题型5 分式的基本性质 题型6 约分
题型7 最简分式
▉题型1 分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
1．在，a，，这四个代数式中，是分式的是（ ）
A． B．a C． D．
2．下列式子属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中：，，，，，分式的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．在，，，，中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在式子、、、、、中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．下列各式：，，，，，中，是分式的共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
▉题型2 分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
7．下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
8．分式有意义的条件是（ ）
A．x＝﹣1 B．x≠﹣1 C．x＝0 D．x≠0
9．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x＝2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≠2
10．当x 时，分式有意义．
▉题型3 分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
11．如果分式的值为零，那么x应为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
12．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．3 B．3或﹣3 C．﹣3 D．0
13．若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0
14．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
15．分式的值为0，则x的值为 ．
▉题型4 分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
16．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 ﹣4 4 a
分式的值 无意义 0 1
A．n＝4 B．m＝﹣4 C．a＝12 D．n＝﹣8
17．已知a﹣b﹣1＝0，则代数式的值为 ．
18．已知a+b＝﹣3ab，则 ．
19．若a2﹣2a﹣4＝0，则的值为 ．
20．若分式的值为负数，则x的取值范围是 ．
21．阅读下列材料：
我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：．
解答下列问题：
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式可以化为带分式的形式；
（3）如果x为整数，且分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．
▉题型5 分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
22．如果分式中，x，y的值都变为原来的一半，则分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的2倍
C．变为原来的 D．以上都不对
23．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变
24．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．扩大2倍
C．不变 D．缩小到原来的
25．若把分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的 D．不变
▉题型6 约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
26．下列约分结果正确的是（ ）
A．
B．x﹣y
C．m+1
D．
27．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
28．下列各式约分正确的是（ ）
A． B．
C．1 D．1
29．约分：
（1） ；
（2）
30．约分：① ，② ．
31．约分： ．
▉题型7 最简分式
最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
32．下列说法正确的是（ ）
A．分式是最简分式
B．若分式的值为0，则x＝±2
C．根据分式的基本性质，等式成立
D．将分式中的x，y都扩大到原来的3倍，分式的值不变
33．下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
34．下列说法正确的是（ ）
A．代数式是分式
B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C．分式的值为0，则x的值为±3
D．分式是最简分式
35．下列分式为最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．第5章第1节 分式及其基本性质
题型1 分式的定义 题型2 分式有意义的条件
题型3 分式的值为零的条件 题型4 分式的值
题型5 分式的基本性质 题型6 约分
题型7 最简分式
▉题型1 分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
1．在，a，，这四个代数式中，是分式的是（ ）
A． B．a C． D．
【答案】A
【解答】解：A．是分式，故本选项符合题意；
B．a是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
C．是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
D．是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下列式子属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、是分式，故此选项符合题意；
B、是整式，不是分式，故此选项不符合题意；
C、是整式，不是分式，故此选项不符合题意；
D、是整式，不是分式，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．下列各式中：，，，，，分式的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解答】解：分式有：，，共2个，
故选：D．
4．在，，，，中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：分式有，，，共3个，
故选：C．
5．在式子、、、、、中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解：、、9x这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，不是分式．
故选：B．
6．下列各式：，，，，，中，是分式的共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，，分母中含有字母，因此是分式．
故选：B．
▉题型2 分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
7．下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、x＝0时分式无意义，故A错误；
B、无论x取何值，分式总有意义，故B正确；
C、当x＝﹣1时，分式无意义，故C错误；
D、当x＝0时，分式无意义，故D错误；
故选：B．
8．分式有意义的条件是（ ）
A．x＝﹣1 B．x≠﹣1 C．x＝0 D．x≠0
【答案】B
【解答】解：由题意可知：x+1≠0，
∴x≠﹣1，
故选：B．
9．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x＝2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≠2
【答案】D
【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0，
∴x≠2，
故选：D．
10．当x ≠5 时，分式有意义．
【答案】≠5
【解答】解：根据题意得：x﹣5≠0，解得：x≠5．
故答案为：≠5．
▉题型3 分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
11．如果分式的值为零，那么x应为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【答案】A
【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴x＝1．
故选：A．
12．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．3 B．3或﹣3 C．﹣3 D．0
【答案】A
【解答】解：根据题意，得
，即，
解得x＝3．
故选：A．
13．若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0
【答案】B
【解答】解：依题意，得
x2﹣4＝0，且x+2≠0，
解得，x＝2．
故选：B．
14．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【答案】A
【解答】解：根据题意，得|x|﹣1＝0且x2﹣3x+2≠0，
所以|x|＝1且（x﹣1）（x﹣2）≠0．
解得x＝﹣1．
故选：A．
15．分式的值为0，则x的值为 4 ．
【答案】4
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得x＝4．
故答案为：4．
▉题型4 分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
16．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 ﹣4 4 a
分式的值 无意义 0 1
A．n＝4 B．m＝﹣4 C．a＝12 D．n＝﹣8
【答案】A
【解答】解：当x＝﹣4时，分式无意义，
即﹣4﹣m＝0，
∴m＝﹣4，
当x＝4时，分式的值为零，
即2×4+n＝0，
∴n＝﹣8，
∴该分式为，
令1，
解得：x＝12，即a＝12，
故选：A．
17．已知a﹣b﹣1＝0，则代数式的值为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
＝3．
故答案为：3．
18．已知a+b＝﹣3ab，则 ．
【答案】
【解答】解：，
把a+b＝﹣3ab代入分式，得
．
故答案为：．
19．若a2﹣2a﹣4＝0，则的值为 ．
【答案】．
【解答】解：∵a2﹣2a﹣4＝0，
∴a2﹣2a＝4，
∴，
故答案为：．
20．若分式的值为负数，则x的取值范围是x＜1且x≠0 ．
【答案】x＜1且x≠0
【解答】解：由题意得，x2≠0，
∴x≠0，
∵的值为负数，
∴x﹣1＜0，
∴x＜1，
所以x＜1且x≠0．
21．阅读下列材料：
我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：．
解答下列问题：
（1）分式是 真分式 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式可以化为带分式的形式；
（3）如果x为整数，且分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．
【答案】（1）真分式；
（2）；
（3）0或6或﹣2或﹣8．
【解答】解：（1）分式是真分式，
故答案为：真分式；
（2）原式
；
（3）
，
∵x为整数，分式的值为整数，
∴x+1＝±1或±7，
解得：x＝0或6或﹣2或﹣8．
▉题型5 分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
22．如果分式中，x，y的值都变为原来的一半，则分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的2倍
C．变为原来的 D．以上都不对
【答案】B
【解答】解：新分式为：，
∴分式的值是原来的2倍．
故选：B．
23．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变
【答案】A
【解答】解：把原分式中的x换成3x，把y换成3y，那么
3．
故选：A．
24．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．扩大2倍
C．不变 D．缩小到原来的
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，，
∴分式的值缩小到原来的．
故选：A．
25．若把分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的 D．不变
【答案】C
【解答】解：由题意得：
，
∴若把分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值缩小为原来的，
故选：C．
▉题型6 约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
26．下列约分结果正确的是（ ）
A．
B．x﹣y
C．m+1
D．
【答案】C
【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、m+1，正确；
D、分式的分子、分母都是两数和的形式，没有公因式，不能进行约分，错误．
故选：C．
27．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、不能再计算，故A错误；
B、1，故B正确；
C、，故C错误；
D、a+b，故D错误；
故选：B．
28．下列各式约分正确的是（ ）
A． B．
C．1 D．1
【答案】A
【解答】解：A．，正确，符合题意；
B．的分子分母没有公因式，已经是最简分式，不用约分，错误，不符合题意；
C． 1≠1，错误，不符合题意；
D． 的分子分母没有公因式，已经是最简分式，不用约分，错误，不符合题意．
故选：A．
29．约分：
（1） ；
（2） 2x﹣2y ．
【答案】（1）；（2）2x﹣2y．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式2（x﹣y）＝2x﹣2y；
故答案为：；2x﹣2y；
30．约分：① ，② ．
【答案】；
【解答】解：①；
②．
31．约分： ．
【答案】
【解答】解：．
故答案为．
▉题型7 最简分式
最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
32．下列说法正确的是（ ）
A．分式是最简分式
B．若分式的值为0，则x＝±2
C．根据分式的基本性质，等式成立
D．将分式中的x，y都扩大到原来的3倍，分式的值不变
【答案】A
【解答】解：根据分式的值为零的条件以及分式的基本性质，最简分式的定义逐项分析判断如下：
A，分式是最简分式，正确；
B，分式的值为零，则x的值为2，故此选项错误；
C，根据分式的基本性质，当x≠0时，等式成立，故此选项错误；
D，将分式中的x，y都扩大3倍，分式的值扩大为3倍，故此选项错误；
故选：A．
33．下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、原式，不符合题意；
B、原式x+1，不符合题意；
C、原式为最简分式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：C．
34．下列说法正确的是（ ）
A．代数式是分式
B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C．分式的值为0，则x的值为±3
D．分式是最简分式
【答案】D
【解答】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项说法错误，不符合题意；
B、分式中x，y都扩大3倍后的值为3，即分式的值扩大3倍，故本选项说法错误，不符合题意；
C、分式的值为0时，x2﹣9＝0且x﹣3≠0，解得x＝﹣3，故本选项说法不正确，C不符合题意；
D、分式是最简分式，故本选项说法正确，符合题意．
故选：D．
35．下列分式为最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：根据最简分式的定义逐项化简分析判断如下：
A、，故此选项不是最简分式，不符合题意；
B、，故此选项不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、，故此选项不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
