第6章第1节 平行四边形的性质
题型1 平行四边形的性质 题型2 直角梯形
题型3 等腰梯形的性质
▉题型1 平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
1．在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝2，AE＝3，则DE的长为（ ）
A．5 B． C． D．2.5
3．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝110°，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F，则∠FDC的度数为（ ）
A．110° B．70° C．55° D．35°
4．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．10 C．15 D．30
5．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1）
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝3，△ACD的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
7．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
8．在 ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
9．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E．已知∠AEB＝40°，则∠D的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
10．在 ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠C的度数为 ．
▉题型2 直角梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．
角：有两个内角是直角．
过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．
11．已知一个直角梯形，一腰长为6，这腰与一底所成的角为30°，那么另一腰的长是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．9
12．如图，四边形ABCD是直角梯形，上底AD是12cm，高CD是8cm，阴影部分的面积是12cm2，则梯形ABCD的面积为 cm2．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．∠A＝90°，∠ABD＝30°，BE垂直平分CD，交CD于点E，若AD＝1，则CE的长为 ．
14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，点E为线段CD的中点，AD＝1，CB＝2，AE＝3，则AB＝ ．
15．直角梯形的一腰长为10cm，其与底边所成的角为45°，那么另一端长为 ．
16．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝4，BC＝6．将腰CD以D为旋转中心逆时针旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是 ．
17．有一个直角梯形零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10cm，∠D＝120°，则该零件另一腰AB的长为 cm．（结果不取近似值）
18．梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝4，AB＝8，BC＝10，则CD＝ ．
▉题型3 等腰梯形的性质
（1）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．
19．等腰梯形两底之差的一半等于它的高，那么此梯形的一个底角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
20．在等腰梯形中，下列结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④同一底上的两内角相等．其中正确的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
21．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AC＝BD B．∠OBC＝∠OCB
C．S△AOB＝S△DOC D．∠BCD＝∠BDC
22．已知等腰梯形的大底等于对角线的长，小底等于高，则该梯形的小底与大底的长度之比是（ ）
A．3：5 B．3：4 C．2：3 D．1：2
23．如图，用三个边长为10的等边三角形拼成如图所示的等腰梯形，现将这个等腰梯形截成四个全等的等腰梯形．然后将其中的一个等腰梯形按照上述方法再截成四个全等的等腰梯形．如此重复下去…则第n 次截得的一个等腰梯形的周长是 ．
24．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为 度．
25．等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为 cm．
26．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝4，BC＝7，求∠B的度数．第6章第1节 平行四边形的性质
题型1 平行四边形的性质 题型2 直角梯形
题型3 等腰梯形的性质
▉题型1 平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
1．在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，
即∠A和∠C的度数相等，∠B和∠D的度数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D，
故选：D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝2，AE＝3，则DE的长为（ ）
A．5 B． C． D．2.5
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2，
∴AD＝BC，CD＝AB＝2，AD∥BC，∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠CED＝∠ADE，∠AEB＝∠DAE，
∵∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，
∴，
∴∠AEB＝∠BAE，∠CED＝∠CDE，
∴CE＝CD＝2，AB＝BE＝2，
∴AD＝BC＝BE+CE＝4，
∴，
∴∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝90°，
∵AE＝3，
∴，
故选：B．
3．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝110°，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F，则∠FDC的度数为（ ）
A．110° B．70° C．55° D．35°
【答案】C
【解答】解：∵在 ABCD中，∠ABC＝110°，AD∥BC，
∴∠ADC＝∠ABC＝110°，∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴，
∵DF∥BE，
∴∠ADF＝∠AEB＝55°，
∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADF＝55°，
故选：C．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【解答】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，
则阴影部分的面积为，
故选：C．
5．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1）
【答案】C
【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），
∴AD＝BC＝2﹣（﹣2）＝4，
∵BC∥x轴，AD∥BC，
∴AD∥x轴，
∴D（4，1），
故选：C．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝3，△ACD的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】A
【解答】解：∵△ACD的周长为10，
∴AD+DC+AC＝10，
∵AC＝3，
∴AD+DC＝7．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝BC，
∴平行四边形的周长为2（AD+DC）＝14．
故选A．
7．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF＝5，AE＝CF，
∴EF＝OE+OF＝5+5＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB，
∵ ABCD的周长为30，
∴2AB+2CB＝30，
∴AB+CB＝15，
∴AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝15+10＝25，
∴四边形ABFE的周长是25，
故选：B．
8．在 ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
【答案】D
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴2∠C＝140°，
∴∠C＝70°，
故选：D．
9．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E．已知∠AEB＝40°，则∠D的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】C
【解答】解：在 ABCD中，
∴∠AEB＝∠EBC＝40°．
∵BE平分∠ABC交AD于点E，
∴∠ABC＝2∠ABE＝80°．
由题意可得：∠ABC＝∠D＝80°．
故选：C．
10．在 ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠C的度数为 55°或35° ．
【答案】55°或35°．
【解答】解：根据平行四边形的性质和题意画出图形，分2种情况：①如图1所示
∵BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，
∴∠BDE＝90°﹣20°＝70°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD（180°﹣70°）＝55°，
∴∠C＝∠A＝55°；
②如图2所示：同①得：∠BDE＝70°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠C＝∠A＝70°÷2＝35°；
上所述：∠C的度数为55°或35°．
▉题型2 直角梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．
角：有两个内角是直角．
过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．
11．已知一个直角梯形，一腰长为6，这腰与一底所成的角为30°，那么另一腰的长是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【解答】解：作DE⊥BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴AB＝DE，
又∠C＝30°，
∴DEDC＝3．
故选：B．
12．如图，四边形ABCD是直角梯形，上底AD是12cm，高CD是8cm，阴影部分的面积是12cm2，则梯形ABCD的面积为 112 cm2．
【答案】112．
【解答】解：∵S△ADF＝S△ABD﹣S△ABF，
∴，
∴，
解得：AF＝6，
∵S△ABE：S△ABF＝AE：AF，
∴S△ABE：12＝8：6，
∴S△ABE＝12×8÷6＝16，
∴梯形ABCD的面积＝16+12×8＝112（cm2）．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．∠A＝90°，∠ABD＝30°，BE垂直平分CD，交CD于点E，若AD＝1，则CE的长为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵AD∥BC．∠A＝90°，∠ABD＝30°，
∴∠ABC＝90°＝∠A，
∴∠DBC＝60°，
∵AD＝1，
∴BD＝2，AB，
∵BE垂直平分CD，
∴BD＝BC，∠DBE＝∠CBE＝30°，∠DEB＝90°，
∴DE＝CE＝1．
故答案为：1．
14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，点E为线段CD的中点，AD＝1，CB＝2，AE＝3，则AB＝ 3 ．
【答案】3
【解答】解：延长AE交BC的延长线于F，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
∵DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD＝1，EF＝AE＝3，
∵BC＝2，
∴BF＝3，AF＝6，
∵∠B＝90°，
∴AB3，
故答案为：3．
15．直角梯形的一腰长为10cm，其与底边所成的角为45°，那么另一端长为 10cm ．
【答案】10cm
【解答】解：作DE⊥BC于E点，
∵梯形ABCD是直角梯形，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE＝AB＝10cm，
∵∠DCE＝45°，DE＝10cm，
∴DE＝EC＝10cm，
∴DC10cm．
故答案为10cm．
16．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝4，BC＝6．将腰CD以D为旋转中心逆时针旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是 4 ．
【答案】4
【解答】解：作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC于点G．如图所示：
∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，
∵AD＝4，BC＝6，
∴DE＝DC，DE⊥DC，∠CDG＝∠EDF，
∴△CDG≌△EDF（AAS），
∴EF＝CG．
又∵DG⊥BC，所以AD＝BG，
∴EF＝CG＝BC﹣AD＝6﹣4＝2，
∴△ADE的面积是：AD EF4×2＝4．
故答案为：4．
17．有一个直角梯形零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10cm，∠D＝120°，则该零件另一腰AB的长为 cm．（结果不取近似值）
【答案】
【解答】解：过点D作DE⊥BC交BC于点E，则DE＝AB，∠EDC＝120﹣90°＝30°，
∵DE＝CD cos30°＝105（cm），
∴AB＝5cm．
故答案为：5．
18．梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝4，AB＝8，BC＝10，则CD＝ 10 ．
【答案】10
【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵∠B＝90°
∴四边形ABDE是矩形
∴BE＝AD＝4，DE＝AB＝8
∴CE＝10﹣4＝6
CD10
▉题型3 等腰梯形的性质
（1）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．
19．等腰梯形两底之差的一半等于它的高，那么此梯形的一个底角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【解答】解：如图，四边形ABCD是等腰梯形，AC＝BD，AB∥CD，AE⊥CD，BF⊥CD，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AB＝EF，
∵CD﹣AB＝CD﹣EF＝CE+DF，CE＝DF，
又∵等腰梯形两底差的一半等于它的高，
∴DF＝BF，
∴∠D＝45°．
故选：B．
20．在等腰梯形中，下列结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④同一底上的两内角相等．其中正确的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：①等腰梯形的两腰相等，故正确；
②等腰梯形的两底平行，故正确；
③等腰梯形的对角线相等；
④等腰梯形的同一底上的两内角相等，故正确．
故选：D．
21．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AC＝BD B．∠OBC＝∠OCB
C．S△AOB＝S△DOC D．∠BCD＝∠BDC
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴AB＝CD，AC＝BD，故A正确；
∵∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠OBC＝∠OCB，故B正确；
∴∠ABO＝∠DCO，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴S△AOB＝S△DOC，故C正确．
利用排除法，即可得D错误．
故选：D．
22．已知等腰梯形的大底等于对角线的长，小底等于高，则该梯形的小底与大底的长度之比是（ ）
A．3：5 B．3：4 C．2：3 D．1：2
【答案】A
【解答】解：设该梯形的小底与大底的长度分别为a，b，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝b，DF＝a，CF（b﹣a），CE＝a，
由勾股定理得DF2+EF2＝DE2，即a2+（）2＝b2，
整理得5a2+2ab﹣3b2＝0，利用十字相乘法分解因式得
（5a﹣3b）（a+b）＝0
∴5a﹣3b＝0
或a+b＝0
即5a＝3b
或a＝﹣b
∵ab为线段的长，∴5a＝3b，即a：b＝3：5，
故选：A．
23．如图，用三个边长为10的等边三角形拼成如图所示的等腰梯形，现将这个等腰梯形截成四个全等的等腰梯形．然后将其中的一个等腰梯形按照上述方法再截成四个全等的等腰梯形．如此重复下去…则第n 次截得的一个等腰梯形的周长是 50 ．
【答案】50
【解答】解：周长：C0＝50，C1＝50，C2＝50，C3＝50，…，Cn＝50．
故答案为50
24．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为 45 度．
【答案】45
【解答】解：过点D作DE∥AB，∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，∴AB＝DE，
∵AB＝CD，∴DE＝CD，
∴△CDE是等腰三角形，又DF⊥CE，
∴EF＝CFCE（BC﹣AD）＝6cm，
∵高DF＝6cm，
∴DF＝CF＝6cm，
而∠DFC＝90°，∴∠DCF＝45°．
25．等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为 24+4 cm．
【答案】24+4
【解答】解：过A，D作下底BC的垂线，
则BE＝CF（14﹣10）＝2cm，
在直角△ABE中根据勾股定理得到：
AB＝CD2，
所以等腰梯形的周长＝10+14+22＝24+4cm．
故答案为：24+4cm．
26．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝4，BC＝7，求∠B的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点A作AE∥DC交BC于E．
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴EC＝AD＝3，DC＝AE．
∴BE＝BC﹣CE＝7﹣3＝4．
∴CD＝AB＝4．
∴AE＝AB＝BE＝4．
∴△ABE是等边三角形．
∴∠B＝60°．
