第6章第2节 平行四边形的判定
题型1 平行线之间的距离 题型2 平行四边形的判定
▉题型1 平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
1．已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（ ）
A．只有AB B．只有AE
C．AB和CD均可 D．AE和CF均可
2．如图，已知直线a∥直线b，点A，B分别在直线a和直线b上，若AB＝6，∠1＝60°，则直线a与直线b之间的距离是 ．
3．如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B、C在直线l2上，AC⊥l2．如果AB＝5cm，BC＝4cm．那么平行线l1，l2之间的距离为 cm．
4．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 ．
▉题型2 平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边
行ABCD是平行四边形．
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD
B．AB＝BC，AD＝CD
C．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD
D．AO＝CO，BO＝DO
6．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
8．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AC⊥BD，∠A＝∠C B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD∥BC D．AB∥DC，AB＝DC
9．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB∥CD C．∠A＝∠C D．BC＝AD
10．四边形ABCD中，已知AB∥CD，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AD∥BC D．∠A+∠B＝180°
11．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AB＝DC
C．AB∥DC，AD∥BC D．AB＝DC，AD＝BC
12．已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，如果给出条件AB∥CD，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，以下四种说法正确的是（ ）
①如果再加上条件BC＝AD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加上条件∠BAD＝∠BCD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③如果再加上条件AO＝CO，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件∠DBA＝∠CAB，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
A．①④ B．①③④ C．②③ D．②③④
13．已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O，给出条件①AD∥BC且AB＝CD，②AB＝CD且OA＝OC，③∠DAB＝∠DCB且OA＝OC，④∠DAB＝∠DCB且OB＝OD，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
14．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线上一点，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是（ ）
A．BD∥CF B．DF＝BC C．BD＝CF D．∠B＝∠F
15．如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．AD＝BC C．OA＝OC D．AD＝AB
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 ．
17．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ．
18．如图，四边形ABCD，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°
（1）求∠D的度数；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．
求证：四边形ABED是平行四边形．
20．如图，四边形ABCD对角线交于点O，且O为AC中点，AE＝CF，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，，其中BD是AC边上的高．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：
（1）线段BP＝t cm，AM＝ cm（用含t的代数式表示）；
（2）求AD的长；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
22．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：四边形AECF是平行四边形．第6章第2节 平行四边形的判定
题型1 平行线之间的距离 题型2 平行四边形的判定
▉题型1 平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
1．已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（ ）
A．只有AB B．只有AE
C．AB和CD均可 D．AE和CF均可
【答案】C
【解答】解：∵从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，
∴线段AB和CD都可以示直线m与n之间的距离，
故选：C．
2．如图，已知直线a∥直线b，点A，B分别在直线a和直线b上，若AB＝6，∠1＝60°，则直线a与直线b之间的距离是 3 ．
【答案】3．
【解答】解：作AC⊥b于点C，
∵a∥b，∠1＝60°，
∴∠ABC＝∠1＝60°，
∴AC＝AB sin60°＝63，
∴直线a与直线b之间的距离是3．
故答案为：3．
3．如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B、C在直线l2上，AC⊥l2．如果AB＝5cm，BC＝4cm．那么平行线l1，l2之间的距离为 3 cm．
【答案】3
【解答】解：∵AC⊥l2，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝5cm，BC＝4cm．
∴AC3（cm），
∴平行线l1，l2之间的距离为3cm．
故答案为：3．
4．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 10 ．
【答案】10
【解答】解：过点A作AF⊥BD于点F，
∵△ABD的面积为16，BD＝8，
∴BD AF8×AF＝16，
解得AF＝4，
∵AE∥BD，
∴AF的长是△ACE的高，
∴S△ACEAE×45×4＝10．
故答案为：10．
▉题型2 平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边
行ABCD是平行四边形．
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD
B．AB＝BC，AD＝CD
C．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD
D．AO＝CO，BO＝DO
【答案】B
【解答】解：根据平行四边形的判定方法，
A、∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD，推出AB∥CD，AD∥BC，则能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意；
B、AB＝BC，AD＝CD，不能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项错误，符合题意；
C、由∠BAC＝∠ACD，推出AB∥CD，又AB＝CD，能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意；
D、AO＝CO，BO＝DO，能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意；
故选：B．
6．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、由同旁内角互补，两直线平行判定上下一组对边平行，不能判定左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、由同旁内角互补，两直线平行判定左右一组对边平行，不能判定上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意；
C、由同旁内角互补，两直线平行判定上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，判定四边形是平行四边形，故C符合题意；
D、四边形的左右一组对边相等，但上下一组对边不一定相等，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意．
故选：C．
7．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
【答案】C
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形．故本选项符合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AC⊥BD，∠A＝∠C B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD∥BC D．AB∥DC，AB＝DC
【答案】A
【解答】解：A、若AC⊥BD，∠A＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项A符合题意；
B、若AB＝DC，AD＝BC，由两组对边相等的四边形是平行四边形，可判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、若AB∥DC，AD∥BC，由两组对边平行的四边形是平行四边形，可判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、若AB∥DC，AB＝DC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
9．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB∥CD C．∠A＝∠C D．BC＝AD
【答案】A
【解答】解：当BC∥AD，AB＝CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意；
当BC∥AD，∠A＝∠C时，可得AB∥DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故C选项不合题意；
当BC∥AD，BC＝AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意；
故选：A．
10．四边形ABCD中，已知AB∥CD，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AD∥BC D．∠A+∠B＝180°
【答案】B
【解答】解：根据平行四边形的判定，A、C、D均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形．
故选：B．
11．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AB＝DC
C．AB∥DC，AD∥BC D．AB＝DC，AD＝BC
【答案】A
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形．
故选项A不可以判断四边形ABCD是平行四边形
B、根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项B可以判断四边形ABCD是平行四边形；
C、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故选项C可以判断四边形ABCD是平行四边形；
D、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D可以判断四边形ABCD是平行四边形；
故选：A．
12．已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，如果给出条件AB∥CD，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，以下四种说法正确的是（ ）
①如果再加上条件BC＝AD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加上条件∠BAD＝∠BCD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③如果再加上条件AO＝CO，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件∠DBA＝∠CAB，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
A．①④ B．①③④ C．②③ D．②③④
【答案】C
【解答】解：①当BC＝AD时，也可能是等腰梯形，故①错误；
②∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝180°
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确；
③∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，
∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确；
④当∠DBA＝∠CAB时，也可能是等腰梯形，故④错误．
故选：C．
13．已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O，给出条件①AD∥BC且AB＝CD，②AB＝CD且OA＝OC，③∠DAB＝∠DCB且OA＝OC，④∠DAB＝∠DCB且OB＝OD，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解答】解：如图：
①AD∥BC且AB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形；
②AB＝CD且OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形；
③∠DAB＝∠DCB且OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形；
④∠DAB＝∠DCB且OB＝OD不能判定四边形ABCD是平行四边形；
故选：A．
14．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线上一点，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是（ ）
A．BD∥CF B．DF＝BC C．BD＝CF D．∠B＝∠F
【答案】C
【解答】解：A、∵BD∥CF，
∴四边形BCFD为平行四边形；
故此选项不符合题意；
B、∵DF∥BC，
∴四边形BCFD为平行四边形；
故此选项不符合题意；
C、由DF∥BC，BD＝CF，判定四边形BCFD为平行四边形，
故此选项不符合题意；
D、∵DE∥BC，
∴∠B+∠BDF＝180°，
∵∠B＝∠F，
∴∠F+∠BDF＝180°，
∴BD∥CF，
∴四边形BCFD为平行四边形；
故此选项不符合题意；
故选：C．
15．如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．AD＝BC C．OA＝OC D．AD＝AB
【答案】C
【解答】解：可以使四边形ABCD成为平行四边形的是OA＝OC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：C．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 2或3.5 ．
【答案】2或3.5
【解答】解：∵E是BC的中点，
∴BE＝CEBC＝9，
∵AD∥BC，
∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，
则得：9﹣3t＝5﹣t，
解得：t＝2，
②当Q运动到E和B之间时，
则得：3t﹣9＝5﹣t，
解得：t＝3.5；
∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：2或3.5．
17．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解答】解：根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
18．如图，四边形ABCD，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°
（1）求∠D的度数；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵∠D+∠2+∠3＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠2﹣∠3
＝180°﹣40°﹣85°＝55°．
（2）证明：∵AB∥DC，
∴∠2+∠ACB+∠B＝180°．
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠2
＝180°﹣55°﹣40°＝85°．
∵∠ACB＝∠1＝85°，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
或解
∵AB∥DC，
∴∠2＝∠CAB．
又∠B＝∠D＝55°，
AC＝AC，
∴△ACD≌△CAB．
∴AB＝DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．
求证：四边形ABED是平行四边形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
20．如图，四边形ABCD对角线交于点O，且O为AC中点，AE＝CF，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∵DF∥BE，
∴∠E＝∠F，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，，其中BD是AC边上的高．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：
（1）线段BP＝t cm，AM＝ 4t cm（用含t的代数式表示）；
（2）求AD的长；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意，得：BP＝tcm，AM＝4tcm；
故答案为：t，4t；
（2）设AD＝xcm，则：CD＝（10﹣x）cm，
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∴BD2＝AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2，
∴，
解得：x＝6；
∴AD＝6cm；
（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，
由题意得：PQ＝BP＝tcm，AD＝6cm，
∴MD＝AD﹣AM＝（6﹣4t）cm．
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD，即当t＝6﹣4t时，四边形PQDM是平行四边形，
解得t＝1.2；
②当点M在点D的下方时，
根据题意得：PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝6cm，
∴MD＝AM﹣AD＝（4t﹣6）cm．
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，即当t＝4t﹣6时，四边形PQMD是平行四边形，
解得t＝2．
综上所述，当t＝1.2或t＝2时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形．
22．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠FAE∠BAD，∠FCE∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠FCE，∠FAE＝∠AEB，
∴∠FCE＝∠AEB，
∴AE∥CF，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形．
