第6章第3节 三角形的中位线
题型1 三角形中位线定理
▉题型1 三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
1．如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝6，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（ ）
A． B．3 C． D．4
2．如图是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝40cm，则B，C两点的距离为（ ）
A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm
3．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE＝16米，则A、B两点间的距离为（ ）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．有下列4个结论：①ED⊥CA；②EF＝EG；③；④，其中说法正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在四边形ABCD中，点M是AD上动点，点N是CD上一定点，点E、F分别是BM、NM的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是（ ）
A．线段EF的长度逐渐减小
B．线段EF的长度逐渐增大
C．线段EF的长度不改变
D．线段EF的长度不能确定
7．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∠ABC的平分线交DE于点F，AB＝10，BC＝12，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
8．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝2，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC边的中点，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC＝8，则DE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，点D是△ABC内一点，且BD⊥CD，连接AD．若点E、F、G、H分别为线段AB、AC、CD、BD的中点，且AD＝13，CD＝6，BD＝8，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为 ．
14．如图，D是△ABC内一点，AD＝7，BC＝6，若E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 ．
15．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，延长DE至点F，使，若BC＝8，则DF的长为 ．
16．如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条OA、OB的端点O连在一起，点C、D分别是OA、OB的中点．经测得CD＝5.5cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm．
17．如图，为了测量池塘B，C两地的距离，圆圆在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并分别取AB，AC的中点M，N，连接MN．若测得MN的长为5米，则池塘B，C两地的距离为 米．
18．如图，在△ABC中，BD垂直平分AC，点F在BC，连结AF，E为AF的中点，连结DE，若AB＝9，BF＝DE，则DE的长为 ．
19．如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠BAC，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为 ．
20．如图，在△ABC中，AB＝6，点D、E分别是AB、AC的中点，点M在DE上，且ME，当AM⊥BM时，则BC的长为 ．
21．【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
22．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．第6章第3节 三角形的中位线
题型1 三角形中位线定理
▉题型1 三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
1．如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝6，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】D
【解答】解：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，
∴，OB＝OD，
∵CE＝1，
∴OE＝OC﹣CE＝3﹣1＝2，
∵OB＝OD，EF＝DE，
∴OE是△DBF的中位线，
∴BF＝2OE＝4．
故选：D．
2．如图是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝40cm，则B，C两点的距离为（ ）
A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm
【答案】D
【解答】解：连接BC，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，
∴BC＝2DE，
∵DE＝40cm，
∴BC＝80cm，
∴B，C两点的距离为80cm．
故选：D．
3．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE＝16米，则A、B两点间的距离为（ ）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
【答案】B
【解答】解：∵D、E分别是AC、BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEAB，
∵DE＝16米，
∴AB＝32米，
∴A、B两点间的距离为32米．
故选：B．
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．有下列4个结论：①ED⊥CA；②EF＝EG；③；④，其中说法正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2DO．
∵BD＝2AD，
∴DO＝AD．
∵E为OA中点，
∴ED⊥CA．
故①正确．
②∵ED⊥CA，G是CD中点，
∴．
∵E、F分别是OA、OB中点，
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD．
∴EF＝EG．
故②正确．
如图所示，连结FG和BE．
③如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵E、F分别是OA、OB中点，
∴AB∥EF．
∴CD∥EF，即EF∥DG．
∵，，
∴EF＝DG．
∴四边形EFGD是平行四边形．
∴．
故③正确．
④∵四边形EFGD是平行四边形，
∴S△EFD＝S△EDG，
又∵G为CD的中点，
∴，故④正确
故选：D．
5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵BC＝10，BF＝4，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣4＝6，
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DEFC6＝3．
故选：B．
6．如图，在四边形ABCD中，点M是AD上动点，点N是CD上一定点，点E、F分别是BM、NM的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是（ ）
A．线段EF的长度逐渐减小
B．线段EF的长度逐渐增大
C．线段EF的长度不改变
D．线段EF的长度不能确定
【答案】C
【解答】解：连接NB，如图所示，
∵点E、F分别是BM、NM的中点，
∴，
∵点N是CD上一定点，B是定点，BN的长度不变，
∴EF的长度不改变，
故选：C．
7．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∠ABC的平分线交DE于点F，AB＝10，BC＝12，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】A
【解答】解：∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，AB＝10，BC＝12，
∴，，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝DB＝5，
∴EF＝DE﹣DF＝6﹣5＝1；
故选：A．
8．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝2，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC边的中点，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设BD的中点为M，连接EM，FM，如图所示：
∵点E，F分别是AD，BC边的中点，
∴ME是△ABD的中位线，NF为△BCD的中位线，
∴MEAB，ME∥AB，MFCD，MF∥CD，
∵AB＝2，CD＝2，
∴ME，MF，
∵ME∥AB，MF∥CD，
∴∠EMD＝∠ABD，∠DMF+∠BDC＝180°，
又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，
∴∠EMD＝30°，∠DMF＝60°，
∴∠EMF＝∠EMD+∠DMF＝90°，
在Rt△MEF中，由勾股定理得：EF2√2．
故选：A．
9．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC＝8，则DE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴，
∵BC＝8，
∴DE＝4．
故选：A．
10．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AB＝10，BC＝16，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，
∵∠AFB＝90°，点D为AB的中点，
∴，
∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3，
故选：B．
11．如图，点D是△ABC内一点，且BD⊥CD，连接AD．若点E、F、G、H分别为线段AB、AC、CD、BD的中点，且AD＝13，CD＝6，BD＝8，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】A
【解答】解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
由勾股定理得：BC10，
∵点E、F、G、H分别为线段AB、AC、CD、BD的中点，
∴EF、FG、GH、EH分别为△ABC、△ADC、△BDC、△ABD的中位线，
∴EFBC＝5，FGAD，GHBC＝5，EHAD，
∴阴影部分的周长为：EF+FG+GH+EH＝5523，
故选：A．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，
理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
∴AC BC，
∴，
∴CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DECM，
即DE的最小值是，
故选：B．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∵D、E分别为CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DEAB，
∴∠DFA＝∠FAB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DF＝ADAC3．
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故答案为：1．
14．如图，D是△ABC内一点，AD＝7，BC＝6，若E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 13 ．
【答案】13．
【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，AD＝7，BC＝6，
∴，．
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC．
∴四边形EFGH的周长＝AD+BC＝7+6＝13．
故答案为：13．
15．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，延长DE至点F，使，若BC＝8，则DF的长为 6 ．
【答案】6．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC8＝4，
∵EFDF，
∴DEDF，
∴DF＝6．
故答案为：6．
16．如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条OA、OB的端点O连在一起，点C、D分别是OA、OB的中点．经测得CD＝5.5cm，则该工件内槽宽AB的长为 11 cm．
【答案】11
【解答】解：∵把两根钢条OA、OB的端点O连在一起，点C、D分别是OA、OB的中点，CD＝5.5cm，
∴CD是△OAB的中位线，
∴AB＝2CD＝2×5.5＝11（cm）．
故答案为：11．
17．如图，为了测量池塘B，C两地的距离，圆圆在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并分别取AB，AC的中点M，N，连接MN．若测得MN的长为5米，则池塘B，C两地的距离为 10 米．
【答案】10．
【解答】解：∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝2×5＝10（米），
故答案为：10．
18．如图，在△ABC中，BD垂直平分AC，点F在BC，连结AF，E为AF的中点，连结DE，若AB＝9，BF＝DE，则DE的长为 3 ．
【答案】3
【解答】解：∵BD垂直平分AC，
∴AB＝BC＝9，且D为AC中点．
∵E为AF的中点，
∴DE是△ACF的中位线，
∴CF＝2DE，
∵BF＝DE，
∴BC＝BF+CF＝DE+2DE＝9，
∴DE＝3．
故答案为：3．
19．如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠BAC，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为 5 ．
【答案】5
【解答】解：延长BP与AC相交于D，
因为∠BAP＝∠DAP，AP⊥BD，AP＝AP
所以△ABP≌△APD（ASA），
于是AB＝AD＝12，BP＝PD
又∵M是BC边的中点
故PM∥AC
所以PM＝DC10＝5
故MP的长为5．
故答案为5．
20．如图，在△ABC中，AB＝6，点D、E分别是AB、AC的中点，点M在DE上，且ME，当AM⊥BM时，则BC的长为 8 ．
【答案】8．
【解答】解：∵AM⊥BM，
∴∠AMB＝90°，
∵点D是AB的中点，AB＝6，
∴DMAB6＝3，
∵MEDM，
∴ME＝1，
∴DE＝DM+ME＝3+1＝4，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝8，
故答案为：8．
21．【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DEBC；
理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DEBC；
【应用】连接BD，如图所示，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°；
【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH．
∵M、H分别是AD、DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH∥AC且MHAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
同理可得NH∥BD且NHBD．
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠EGF，
∵MH∥AC，NH∥BD，
∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，
∴∠HMN＝∠HNM，
∴MH＝NH，
∴AC＝BD．
22．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DEBC，
∵CFBC，
∴DE＝CF．
（2）∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD2，
∵DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD＝2．
（3）过点D作DH⊥BC于H．
∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，
∴DHDC，
∵DE＝CF＝2，
∴S四边形DEFC＝CF DH＝22．
