第三章第二节 频率的稳定性
题型1 利用频率估计概率
题型1．利用频率估计概率（共60小题）
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
1．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
2．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28
3．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小李帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为18cm2，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为（ ）
A．10.8cm2 B．9.6cm2 C．7.2cm2 D．11.2cm2
4．在一个不透明的布袋中装有蓝色、白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在38%左右，则口袋中蓝色球个数最接近（ ）
A．9个 B．19个 C．25个 D．38个
5．随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示：
投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
“正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598
“正面向上”的频率 0.520 0.511 0.529 0.518 0.522 0.519 0.521 0.520
下面有3个推断：
①抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．
其中所有合理推断的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③
6．九年级三班的学生为估计某个随机事件发生概率时，整理多次重复试验的频率数据并绘制出统计图（如图），则这个随机事件可能是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数为3
B．在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母，这个字母为辅音字母
C．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽出的牌的花色是梅花
D．从一个装有10个白球和5个红球（所有球除颜色外无其他差别）的不透明袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球
7．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92
A．0.92 B．0.905 C．0.903 D．0.9
8．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃
C．一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球
D．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是5
9．如图1，长为10cm，宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．32cm2 B．24cm2 C．16cm2 D．8cm2
10．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（ ）（精确到0.1）
A．0.4 B．0.5 C．0.55 D．0.6
11．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801
可以估计，该运动员在此条件下射击一次，命中9环以上的概率（结果保留小数点后一位）为（ ）
A．0.8 B．0.9 C．0.7 D．0.6
12．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2%左右，则鱼塘中估计有鱼（ ）条．
A．4000 B．5000 C．10000 D．2000
13．通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可估计钉尖朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．下列说法中，正确的是（ ）
A．东边日出西边雨是不可能事件
B．抛掷一枚硬币10次，6次正面朝上，则抛掷硬币正面朝上的概率为0.6
C．投掷一枚质地均匀的硬币50000次，正面朝上的次数一定为25000次
D．小红和同学一起做“钉尖向上”的实验，发现该事件发生的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618
15．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000
落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503
落在“心形线”内部的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61
16．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）
A．频率等于概率
B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．实验得到的频率与概率不可能相等
17．下面四个实验中，实验结果概率最小的是（ ）
A．如（1）图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率
B．如（2）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率
C．如（3）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率
D．有7张卡片，分别标有数字1，2，3；4，6，8，9；将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率
18．如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A．2m2 B．5m2 C．6m2 D．7m2
19．下列随机事件的概率，既可以用例举法求得，又可以用频率估计获得的是（ ）
A．某运动员在某种条件下“射中9环以上”的概率
B．投掷一枚均匀的骰子，朝上一面点数为奇数的概率
C．某种柑橘在某运输过程中的损坏率
D．某种幼苗在一定条件的移植成活率
20．某人在做掷硬币实验时，抛掷m次，正面朝上的有n次（即正面朝上的频率）．则下列说法中正确的是（ ）
A．f一定等于
B．f一定不等于
C．多投一次，f更接近
D．抛掷次数逐渐增加，f稳定在附近
21．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃
C．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数
22．某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 704
转动转盘一次，获得铅笔的概率约是（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
23．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
24．小明练习射击，共射击60次，其中有38次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率是（ ）
A．38% B．60% C．约63% D．无法确定
25．某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如表所示；
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 87 279 535 887 6337 13581
成活的频率（保留小数点后三位） 0.870 0.930 0.892 0.887 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为 （精确到0.1）．
26．如图是福州城市形象logo，为了估算出图案面积（含文字），兴趣小组先将图片打印在面积为20cm×10cm的长方形纸片上，再利用计算机软件进行随机投点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在图案上（含文字）的频率稳定在0.35左右，据此估计在该图中，此logo中图案（含文字）的面积约为 平方厘米．
27．“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880
合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0960
如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为 ．（精确到0.01）
28．如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（精确到0.001）
29．1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为k（k＜a）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计π的近似值，他们取，得到试验数据如下：
试验次数 500 相交频数 105 相交频率 0.21
由此估计π的近似值为 （精确到0.01）．
30．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562
“有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是 ．
31．为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示：
移植总数n 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数m 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1）．
32．在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：
试种数量 200 500 1000 1500 2000
发芽的频率 0.67 0.73 0.69 0.70 0.71
在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为 ．（结果精确到0.1）
33．如图，某幅画的总面积为4m2，该幅画平铺在地面上被墨汁污染了一部分，向画内随机投掷骰子（假设骰子落在画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计画上被污染部分的面积约为 ．
34．某班的一个数学兴趣小组为了考查某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是 （结果保留小数点后一位）．
排查车辆数n 20 40 100 200 400 1000
能礼让的车辆数m 15 32 82 158 324 800
能礼让的频率 0.75 0.80 0.82 0.79 0.81 0.80
35．某企业对其生产的产品进行抽检，抽检结果如下表：
抽检件数 5 50 100 500 1000 2000 3000 5000
不合格件数 0 3 6 29 61 120 180 300
不合格频率 0 0.06 0.06 0.058 0.061 0.06 0.06 0.06
则该产品不合格的概率约为 ．
36．在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是 ．
37．为了测试某种光刻机制作2nm芯片电路图案的不良率，以此判断产生不良电路图案的原因，设计团队开展实验，如表记录了截至目前的实验数据：
累计不良电路图案数（单位：块） 1 4 6 8 10 12 14
累计试验芯片数（单位：千块） 0.9 5.5 8 10 12 14 16
如果需要30块不良电路图案，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断还要准备的试验芯片数（单位：千块）： （结果保留整数）．
38．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果．
投壶次数n 50 100 150 200 250 300 400 500
投中次数m 28 46 72 104 125 153 200 250
投中频率 0.56 0.46 0.48 0.52 0.50 0.51 0.50 0.50
根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为 （结果精确到0.1）．
39．某养殖专业户为了估计鱼塘中鱼的数量，第一次随机从鱼塘中打捞了200条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回鱼塘．一周后，再从鱼塘中随机进行打捞，通过多次试验发现有标记的鱼出现的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中大约有 条鱼．
40．某种油菜籽在相同条件下进行了10次独立的发芽试验，结果如表：
每批粒数n 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000
发芽的粒数m 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715
发芽的频率 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905
则估计该种油菜籽发芽的概率为 ．（精确到0.1）
41．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考查某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
移植总数 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数量 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活频率 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
估计树苗移植成活的概率是 （结果保留小数点后一位）．
42．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是 ．
43．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有 只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
44．一抹“凉都绿”，一杯生态茶．凉都茶叶因其得天独厚的生长条件，具有早采、富硒、有机的天然品质，凉都具备发展优质茶产业的先天地理优势，茶产业已成为六盘水农业特色产业之一，下表是我市某茶叶种植合作社脱贫攻坚期间茶树种植成活情况统计表：
种植茶树棵数 3000 5000 8000 10000 20000 …
成活棵树 2690 4507 7195 9003 17998 …
成活率 0.8967 0.9014 0.8993 0.9003 0.8999 …
根据这个表格，请估计这个合作社茶树种植成活的概率为 （结果保留一位小数）．
45．如图是一幅总面积为3m2的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为 m2．
46．扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数m 19 47 91 184 462 921 1379 1846
优等品的频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 ．（精确到0.01）
47．某水果公司购进10 000kg苹果，公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干进行统计，部分结果如下表：
苹果总质量n（kg） 100 200 300 400 500 1000
损坏苹果质量m（kg） 10.50 19.42 30.63 39.24 49.54 101.10
苹果损坏的频率（结果保留小数点后三位） 0.105 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101
估计这批苹果损坏的概率为 （结果保留小数点后一位），损坏的苹果约有 kg．
48．在对某次实验数据整理过程中，某个事件出现的频率随实验次数变化折线图如图所示，曲线变化特点是频率会趋近于 ．
49．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 ．
50．THEMONSTERS（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩IP，主要角色为LABUBU、ZIMOMO、MOKOKO、TYCOCO等．
某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到LABUBU获得的数据如下：
抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000
抽到LABUBU的次数m 11 20 b 79 128 161
抽到LABUBU的频率 a 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161
（1）表中的a＝ ，b＝ ．
（2）“抽到LABUBU”的概率的估计值是 （精确到0.01）；
（3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除LABUBU外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到ZIMOMO的次数是多少个？
51．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观，为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，我校学生会在寒假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取一些学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位，min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．如图1、2是其中的部分信息：（其中A组为10≤x＜20，B组为20≤x＜30，C组为30≤x＜40，D组为40≤x＜50，E组为50≤x＜60，F组为60≤x＜70）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）①这次抽取的学生总人数是 ；
②估计这些随机抽取的学生每日平均家务劳动时长；
（2）学生会准备将每日平均家务劳动时长不少于50min的学生评为“家务小能手”，在本校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”．请估计事件A的概率．
52．【问题提出】
共享单车不仅极大地方便人们的短途出行，而且低碳环保，受到用户的喜爱．某社区周边有5个共享单车停车区，总计投放180辆的共享单车，某数学兴趣小组发现每天早高峰期间经常会出现有些停车区的单车不够用，而有些停车区的单车使用率低的现象，为探究早高峰期间共享单车的合理投放方案，同学们展开了研究．
【开展研究】
该数学兴趣小组分工合作在早高峰期间到每个停车区对行人使用共享单车的情况、人流量进行数据收集，结果如表．
表一：经过停车区的行人使用单车情况的抽样调查数据
停车区 经过停车区的人数 使用共享单车的人数
1号区 60 3
2号区 100 4
3号区 90 9
4号区 120 18
5号区 70 7
表二：每日早高峰期间的平均人流量
停车区 1号区 2号区 3号区 4号区 5号区
人流量（单位：人） 240 300 160 400 200
【问题解决】
（1）记事件A为：经过1号区的行人使用共享单车．估计事件A的概率；
（2）为应对早高峰期间共享单车的使用需求，请你为该社区设计一个合理的共享单车投放方案，并说明理由．
53．阅读下列材料，回答问题：
任务1：估计不规则封闭图形的面积
如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）：
有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 …
绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 149 …
0.200 0.233 0.257 0.248 …
（1）当有效丢掷绿豆总次数m＝1000时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是 ；
A．105
B．249
C．518
D．815
（2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为 （精确到0.01）；
（3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积；
任务2：估计圆周率π的大小
关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，请借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率π的实验，写出相应的步骤，以及需要记录的数量（具体数值）或数据（用字母a，b，c，…，表示），画出示意图，并写出π的计算公式．
54．每年6月14日是“世界献血日”，某地组织居民开展义务献血活动．参与的所有献血者的血型检测结果有“A”、“B”、“AB”、“O”4种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了两幅不完整的统计表．
血型 A B AB O
人数 a 10 5 b
（1）这次随机抽取的献血者人数为 人，m＝ ；
（2）上表中的a＝ ，b＝ ；
（3）若活动中该地有4000人参与义务献血，根据抽样结果回答：从所有献血者中任抽取一人，估计其血型是O型的概率是多少？并估计这4000人中大约有多少人是O型血？
55．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量（单位：m）和使用了节水龙头50天的日用水量，得到频数分布表如下：
表1未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量x 0≤x＜0.1 0.1≤x＜0.2 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4 0.4≤x＜0.5 0.5≤x＜0.6 0.6≤x＜0.7
频数 1 3 2 4 9 26 5
表2使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量x 0≤x＜0.1 0.1≤x＜0.2 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4 0.4≤x＜0.5 0.5≤x＜0.6
频数 1 5 13 10 16 5
（1）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3m3的概率；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表．）
56．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x（℃）及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下：
x（℃） 15≤x＜20 20≤x＜25 25≤x＜30 30≤x≤35
天数 6 10 11 3
y（瓶） 270 330 360 420
以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率．
（1）试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；
（2）根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？
57．某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
最高气温T（单位：℃） 需求量（单位：杯）
T＜25 200
25≤T＜30 250
T≥30 400
（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足25≤T＜30（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？
58．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了 名学生；若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生共有 名；
（2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 ；
（3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是 ．
59．一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将 它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实 验数据如表：
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面朝上频数 14 a 38 47 52 66 78 88
相应频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 b 0.56 0.55
（1）请直接写出a，b的值：
（2）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少；
（3）如果做这种实验2000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少？
60．一只不透明的口袋中放有若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，将袋中的球摇均匀．每次从口袋中取出一只球记录颜色后放回再摇均匀，经过大量的试验，得到取出红球的频率是，求：
（1）取出白球的概率是多少？
（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？第三章第二节 频率的稳定性
题型1 利用频率估计概率
题型1．利用频率估计概率（共60小题）
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
1．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
【答案】B
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小小明随机出的是“石头”的概率为，不符合题意；
D、袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率，不符合题意；
故选：B．
2．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】B
【解答】解：根据题意知20%，
解得a＝20，
经检验：a＝20是原分式方程的解，
故选：B．
3．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小李帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为18cm2，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为（ ）
A．10.8cm2 B．9.6cm2 C．7.2cm2 D．11.2cm2
【答案】A
【解答】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，
∴点落在黑色区域的频率稳定在1﹣0.4＝0.6左右，
∴估计此二维码中黑色区域的面积为18×0.6＝10.8cm2．
故选：A．
4．在一个不透明的布袋中装有蓝色、白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在38%左右，则口袋中蓝色球个数最接近（ ）
A．9个 B．19个 C．25个 D．38个
【答案】B
【解答】解：利用频率估计概率，可估计摸到蓝色球的概率为38%，
∴口袋中蓝色球个数最接近50×38%＝19（个）．
故选：B．
5．随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示：
投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
“正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598
“正面向上”的频率 0.520 0.511 0.529 0.518 0.522 0.519 0.521 0.520
下面有3个推断：
①抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．
其中所有合理推断的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③
【答案】B
【解答】解：①抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511，不合理；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，判断合理；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，判断合理，
故选：B．
6．九年级三班的学生为估计某个随机事件发生概率时，整理多次重复试验的频率数据并绘制出统计图（如图），则这个随机事件可能是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数为3
B．在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母，这个字母为辅音字母
C．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽出的牌的花色是梅花
D．从一个装有10个白球和5个红球（所有球除颜色外无其他差别）的不透明袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球
【答案】D
【解答】解：A、投掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数为3的概率是，故选项不符合题意；
B、在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母，这个字母为辅音字母的概率为，故选项不符合题意；
C、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽出的牌的花色是梅花的概率为，故选项不符合题意；
D、从一个装有10个白球和5个红球（所有球除颜色外无其他差别）的不透明袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率为，故选项符合题意．
故选：D．
7．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92
A．0.92 B．0.905 C．0.903 D．0.9
【答案】A
【解答】解：随着累计抽测学生数的增大，体质健康合格的学生数与n的比值逐渐稳定于0.92，
所以对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是0.92，
故选：A．
8．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃
C．一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球
D．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是5
【答案】D
【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，错误，不符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃的概率是：，错误，不符合题意；
C、一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球的概率为，错误，不符合题意；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为0.17，正确，符合题意．
故选：D．
9．如图1，长为10cm，宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．32cm2 B．24cm2 C．16cm2 D．8cm2
【答案】B
【解答】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3，
∴不规则图案的面积大约为0.3，
设不规则图案的面积为xcm2，
∵长方形的面积为10×8＝80（cm2），
∴0.3，
解得x＝24，
故选：B．
10．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（ ）（精确到0.1）
A．0.4 B．0.5 C．0.55 D．0.6
【答案】B
【解答】解：根据题意得：
28÷50＝0.56，
60÷100＝0.6，
78÷150＝0.52，
104÷200＝0.52，
124÷250＝0.496，
153÷300＝0.51，
252÷500＝0.504，
由此，估计这位同学投篮一次，投中的概率约是0.5，
故选：B．
11．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801
可以估计，该运动员在此条件下射击一次，命中9环以上的概率（结果保留小数点后一位）为（ ）
A．0.8 B．0.9 C．0.7 D．0.6
【答案】A
【解答】解：由题意可知射击1000次时，运动员射击一次时射中“9环以上”的频率为，
∴用频率估计概率为0.80，
故选：A．
12．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2%左右，则鱼塘中估计有鱼（ ）条．
A．4000 B．5000 C．10000 D．2000
【答案】B
【解答】解：鱼塘中鱼的数量约为100÷2%＝5000（条），
故选：B．
13．通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可估计钉尖朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，
∴可估计钉尖朝上的概率为．
故选：C．
14．下列说法中，正确的是（ ）
A．东边日出西边雨是不可能事件
B．抛掷一枚硬币10次，6次正面朝上，则抛掷硬币正面朝上的概率为0.6
C．投掷一枚质地均匀的硬币50000次，正面朝上的次数一定为25000次
D．小红和同学一起做“钉尖向上”的实验，发现该事件发生的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618
【答案】D
【解答】解：A、东边日出西边雨是随机事件，错误，不符合题意；
B、抛掷一枚硬币10次，6次正面朝上，则抛掷硬币正面朝上的概率不一定为0.6，故原命题错误，不符合题意；
C、投掷一枚质地均匀的硬币5000次，正面朝上的次数不一定为2500次，故原命题错误，不符合题意；
D、小红和同学一起做“钉尖向上”的实验，发现该事件发生的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，正确，符合题意．
故选：D．
15．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000
落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503
落在“心形线”内部的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61
【答案】B
【解答】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近，
则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50．
故选：B．
16．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）
A．频率等于概率
B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．实验得到的频率与概率不可能相等
【答案】B
【解答】解：A、频率只能估计概率；
B、正确；
C、概率是定值；
D、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．
故选：B．
17．下面四个实验中，实验结果概率最小的是（ ）
A．如（1）图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率
B．如（2）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率
C．如（3）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率
D．有7张卡片，分别标有数字1，2，3；4，6，8，9；将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率
【答案】C
【解答】解：A、如（1）图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率为 0.4．
B、如（2）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为0.33．
C、如（3）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率为0.2．
D、有7张卡片，分别标有数字1，2，3；4，6，8，9；将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率为0.28，
因为0.2最小，
故选：C．
18．如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A．2m2 B．5m2 C．6m2 D．7m2
【答案】C
【解答】解：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.3，长方形的面积为5×4＝20m2，
设不规则图案的面积为xm2，
则，
解得：x＝6，
∴不规则图案的面积大约为6m2．
故选：C．
19．下列随机事件的概率，既可以用例举法求得，又可以用频率估计获得的是（ ）
A．某运动员在某种条件下“射中9环以上”的概率
B．投掷一枚均匀的骰子，朝上一面点数为奇数的概率
C．某种柑橘在某运输过程中的损坏率
D．某种幼苗在一定条件的移植成活率
【答案】B
【解答】解：A、某运动员在某种条件下“射出9环以上”的概率，只能用频率估计，不能用列举法；故不符合题意；
B、∵一枚均匀的骰子只有六个面，即：只有六个数，不是奇数，便是偶数，
∴能一一的列举出来，
∴既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得概率；故符合题意；
C、某种柑橘在某运输过程中的损坏率，只能用列举法，不能用频率求出；故不符合题意；
D、某种幼苗在一定条件下的移植成活率，只能用频率估计，不能用列举法；故不符合题意；
故选：B．
20．某人在做掷硬币实验时，抛掷m次，正面朝上的有n次（即正面朝上的频率）．则下列说法中正确的是（ ）
A．f一定等于
B．f一定不等于
C．多投一次，f更接近
D．抛掷次数逐渐增加，f稳定在附近
【答案】D
【解答】解：某人在做掷硬币实验时，抛掷m次，正面朝上的有n次（即正面朝上的频率），则抛掷次数逐渐增加时，f稳定在左右．
故选：D．
21．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃
C．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数
【答案】D
【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任意抽出一张的花色是红桃的概率为，不符合题意；
C、袋子中有1个红球和2个黄球，它们除颜色外都相同，从中任取一球是黄球的概率为，不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，符合题意；
故选：D．
22．某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 704
转动转盘一次，获得铅笔的概率约是（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
【答案】B
【解答】解：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701
当n很大时，频率将会接近（68+111+136+345+564+701）÷（100+150+200+500+800+1000）＝0.7；
故选：B．
23．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
【答案】D
【解答】解：∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，
∴D选项说法正确．
故选：D．
24．小明练习射击，共射击60次，其中有38次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率是（ ）
A．38% B．60% C．约63% D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵小明练习射击，共射击60次，其中有38次击中靶子，
∴射中靶子的频率0.63，
故小明射击一次击中靶子的概率是约63%．
故选：C．
25．某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如表所示；
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 87 279 535 887 6337 13581
成活的频率（保留小数点后三位） 0.870 0.930 0.892 0.887 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为 0.9 （精确到0.1）．
【答案】0.9．
【解答】解：由表格数据，移植棵数为100时，成活频率为0.870；
移植棵数为300时，成活频率为0.930；
移植棵数为600时，成活频率为0.892；
移植棵数为1000时，成活频率为0.887；
移植棵数为7000时，成活频率为0.905；
移植棵数为15000时，成活频率为0.905．
随着移植棵数增加，成活频率逐渐稳定在0.905附近，
因此估计银杏树苗移植成活的概率为0.905，
精确到0.1为0.9．
故答案为：0.9．
26．如图是福州城市形象logo，为了估算出图案面积（含文字），兴趣小组先将图片打印在面积为20cm×10cm的长方形纸片上，再利用计算机软件进行随机投点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在图案上（含文字）的频率稳定在0.35左右，据此估计在该图中，此logo中图案（含文字）的面积约为 70 平方厘米．
【答案】70．
【解答】解：根据题意，此logo中图案（含文字）的面积约为20×10×0.35＝70（平方厘米）．
故答案为：70．
27．“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880
合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0960
如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为 0.96 ．（精确到0.01）
【答案】0.96．
【解答】解：观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥1000时，合格头盔的频率稳定在0.960附近，所以可取p＝0.96作为该型号的合格率．
故答案为：0.96．
28．如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618 ．（精确到0.001）
【答案】0.618．
【解答】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．
故答案为：0.618．
29．1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为k（k＜a）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计π的近似值，他们取，得到试验数据如下：
试验次数 500 相交频数 105 相交频率 0.21
由此估计π的近似值为 3.17 （精确到0.01）．
【答案】3.17．
【解答】解：∵，，
∴，
则，
∴π≈3.17，
∴π的近似值为3.17，
故答案为：3.17．
30．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562
“有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是 0.78 ．
【答案】0.78．
【解答】解：“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78．
故答案为：0.78．
31．为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示：
移植总数n 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数m 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是 0.9 （结果精确到0.1）．
【答案】0.9．
【解答】解：∵根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右，
∴这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9；
故答案为：0.9．
32．在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：
试种数量 200 500 1000 1500 2000
发芽的频率 0.67 0.73 0.69 0.70 0.71
在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为 0.7 ．（结果精确到0.1）
【答案】0.7
【解答】解：估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为0.71≈0.7．
故答案为：0.7．
33．如图，某幅画的总面积为4m2，该幅画平铺在地面上被墨汁污染了一部分，向画内随机投掷骰子（假设骰子落在画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计画上被污染部分的面积约为 2.4m2 ．
【答案】2.4m2．
【解答】解：∵长方形的总面积为4m2，骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，
∴宣传画上图案的面积约为：4×0.6＝2.4（m2）．
故答案为：2.4m2．
34．某班的一个数学兴趣小组为了考查某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是 0.8 （结果保留小数点后一位）．
排查车辆数n 20 40 100 200 400 1000
能礼让的车辆数m 15 32 82 158 324 800
能礼让的频率 0.75 0.80 0.82 0.79 0.81 0.80
【答案】0.8．
【解答】解：根据题意得：能主动给行人让路的频率稳定在0.80的附近，
∴能主动给行人让路的概率约是0.8．
故答案为：0.8．
35．某企业对其生产的产品进行抽检，抽检结果如下表：
抽检件数 5 50 100 500 1000 2000 3000 5000
不合格件数 0 3 6 29 61 120 180 300
不合格频率 0 0.06 0.06 0.058 0.061 0.06 0.06 0.06
则该产品不合格的概率约为 0.06 ．
【答案】0.06
【解答】解：该产品不合格的概率约为0.06，
故答案为：0.06．
36．在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是 ．
【答案】
【解答】解：如果试验的次数增多，出现数字“6”的频率的变化趋势是接近．
故答案为：．
37．为了测试某种光刻机制作2nm芯片电路图案的不良率，以此判断产生不良电路图案的原因，设计团队开展实验，如表记录了截至目前的实验数据：
累计不良电路图案数（单位：块） 1 4 6 8 10 12 14
累计试验芯片数（单位：千块） 0.9 5.5 8 10 12 14 16
如果需要30块不良电路图案，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断还要准备的试验芯片数（单位：千块）： 16 （结果保留整数）．
【答案】16．
【解答】解：∵根据如表的数据，随着实验数量的增加，可知每增加2块不良电路图案，试验芯片数就增加2千块，
∴根据实验次数越多频率越稳定，即可估计产生不良电路图案的概率为：，
∴估计他们还需要准备用以辐射的种子数为（30﹣14）16（千块）．
故答案为：16．
38．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果．
投壶次数n 50 100 150 200 250 300 400 500
投中次数m 28 46 72 104 125 153 200 250
投中频率 0.56 0.46 0.48 0.52 0.50 0.51 0.50 0.50
根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为 0.5 （结果精确到0.1）．
【答案】0.5
【解答】解：由频率分布表可知，随着投壶次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.5附近，
∴这组游戏参与者投中的概率约为0.5，
故答案为：0.5．
39．某养殖专业户为了估计鱼塘中鱼的数量，第一次随机从鱼塘中打捞了200条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回鱼塘．一周后，再从鱼塘中随机进行打捞，通过多次试验发现有标记的鱼出现的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中大约有 2000 条鱼．
【答案】2000
【解答】解：设鱼塘中有鱼x条，
根据题意得200÷0.1＝x，
解得x＝2000，
所以估计鱼塘中有鱼2000条．
故答案为：2000．
40．某种油菜籽在相同条件下进行了10次独立的发芽试验，结果如表：
每批粒数n 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000
发芽的粒数m 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715
发芽的频率 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905
则估计该种油菜籽发芽的概率为 0.9 ．（精确到0.1）
【答案】0.9．
【解答】解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.9附近，则估计这种油菜籽发芽的概率是0.9．
故答案为：0.9．
41．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考查某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
移植总数 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数量 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活频率 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
估计树苗移植成活的概率是 0.9 （结果保留小数点后一位）．
【答案】0.9
【解答】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9，
故答案为：0.9．
42．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是 20 ．
【答案】20
【解答】解：根据题意得30%，解得n＝20，
所以这个不透明的盒子里大约有20个除颜色外其他完全相同的小球．
故答案为20．
43．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有 0.8a 只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
【答案】0.8a，．
【解答】解：若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有0.8a只，活到25岁的只数为0.5a，
故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为，
故答案为：0.8a，．
44．一抹“凉都绿”，一杯生态茶．凉都茶叶因其得天独厚的生长条件，具有早采、富硒、有机的天然品质，凉都具备发展优质茶产业的先天地理优势，茶产业已成为六盘水农业特色产业之一，下表是我市某茶叶种植合作社脱贫攻坚期间茶树种植成活情况统计表：
种植茶树棵数 3000 5000 8000 10000 20000 …
成活棵树 2690 4507 7195 9003 17998 …
成活率 0.8967 0.9014 0.8993 0.9003 0.8999 …
根据这个表格，请估计这个合作社茶树种植成活的概率为 0.9 （结果保留一位小数）．
【答案】0.9
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种茶树种植成活的概率为0.9．
故答案为：0.9．
45．如图是一幅总面积为3m2的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为 1.8 m2．
【答案】1.8
【解答】解：∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，
∴世界杯图案占长方形世界杯宣传画的60%，
∴世界杯图案的面积约为：3×60%＝1.8m2，
故答案为：1.8．
46．扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数m 19 47 91 184 462 921 1379 1846
优等品的频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 0.92 ．（精确到0.01）
【答案】0.92
【解答】解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92，
故答案为0.92．
47．某水果公司购进10 000kg苹果，公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干进行统计，部分结果如下表：
苹果总质量n（kg） 100 200 300 400 500 1000
损坏苹果质量m（kg） 10.50 19.42 30.63 39.24 49.54 101.10
苹果损坏的频率（结果保留小数点后三位） 0.105 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101
估计这批苹果损坏的概率为 0.1 （结果保留小数点后一位），损坏的苹果约有 1000 kg．
【答案】0.1；1000
【解答】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左右，所以可估计苹果损坏率大约是0.1；
根据题意得：
10000×0.1＝1000（kg）
答：损坏的苹果约有1000kg．
故答案为：0.1，1000．
48．在对某次实验数据整理过程中，某个事件出现的频率随实验次数变化折线图如图所示，曲线变化特点是频率会趋近于 50% ．
【答案】50%
【解答】解：在对某次实验数据整理过程中，某个事件出现的频率随实验次数变化折线图如图所示，
根据折线统计图得：曲线变化特点是频率会趋近于50%，
故答案为：50%
49．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 10 ．
【答案】10
【解答】解：由题意可得，0.2，
解得，n＝10，
经检验得：n是原方程的解，
故估计n大约有10个．
故答案为：10．
50．THEMONSTERS（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩IP，主要角色为LABUBU、ZIMOMO、MOKOKO、TYCOCO等．
某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到LABUBU获得的数据如下：
抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000
抽到LABUBU的次数m 11 20 b 79 128 161
抽到LABUBU的频率 a 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161
（1）表中的a＝ 0.11 ，b＝ 33 ．
（2）“抽到LABUBU”的概率的估计值是 0.16 （精确到0.01）；
（3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除LABUBU外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到ZIMOMO的次数是多少个？
【答案】（1）0.11，33；
（2）0.16；
（3）560个．
【解答】解：（1）表中的a0.11，b＝200×0.165＝33；
故答案为：0.11，33；
（2）大量重复实验下，“抽到LABUBU”的概率的估计值是0.16；
故答案为：0.16；
（3）∵“抽到LABUBU”的概率为0.16，抽到其他三种角色的概率相同，
∴抽到ZIMOMO的概率为0.28，
∴2000×0.28＝560（个），
答：抽到ZIMOMO的次数是560个．
51．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观，为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，我校学生会在寒假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取一些学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位，min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．如图1、2是其中的部分信息：（其中A组为10≤x＜20，B组为20≤x＜30，C组为30≤x＜40，D组为40≤x＜50，E组为50≤x＜60，F组为60≤x＜70）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）①这次抽取的学生总人数是 90人 ；
②估计这些随机抽取的学生每日平均家务劳动时长；
（2）学生会准备将每日平均家务劳动时长不少于50min的学生评为“家务小能手”，在本校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”．请估计事件A的概率．
【答案】（1）①90人；②42min；（2）．
【解答】解：（1）①这次抽取的学生总人数是9÷10%＝90（人）；
②C组人数为90﹣（9+12+24+21+9）＝15（人），
则这些随机抽取的学生每日平均家务劳动时长约为（15×9+25×12+35×15+45×24+55×21+65×9）＝42（min）；
故答案为：90人；
（2）在本校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”．
则事件A的概率约为．
52．【问题提出】
共享单车不仅极大地方便人们的短途出行，而且低碳环保，受到用户的喜爱．某社区周边有5个共享单车停车区，总计投放180辆的共享单车，某数学兴趣小组发现每天早高峰期间经常会出现有些停车区的单车不够用，而有些停车区的单车使用率低的现象，为探究早高峰期间共享单车的合理投放方案，同学们展开了研究．
【开展研究】
该数学兴趣小组分工合作在早高峰期间到每个停车区对行人使用共享单车的情况、人流量进行数据收集，结果如表．
表一：经过停车区的行人使用单车情况的抽样调查数据
停车区 经过停车区的人数 使用共享单车的人数
1号区 60 3
2号区 100 4
3号区 90 9
4号区 120 18
5号区 70 7
表二：每日早高峰期间的平均人流量
停车区 1号区 2号区 3号区 4号区 5号区
人流量（单位：人） 240 300 160 400 200
【问题解决】
（1）记事件A为：经过1号区的行人使用共享单车．估计事件A的概率；
（2）为应对早高峰期间共享单车的使用需求，请你为该社区设计一个合理的共享单车投放方案，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）1号区投放18辆；2号区投放18辆；3号区投放24辆；4号区投放90辆；5号区投放30辆．
【解答】解：（1）由表格数据知，经过1号区的行人有60人，使用共享单车有3人，
则估计事件A的概率是；
（2）故计5个共享单车停车区每天早高峰期间的共享单车平均使用次数分别是
24012，30012，16016，40060，20020，
所以每天早高峰期间的共享单车总使用次数估算为：12+12+16+60+20＝120（次），
所以5个共享单车停车区180辆共享单车的投放方案为：
1号区投放共享单车18018（辆）；
2号区投放共享单车18018（辆）；
3号区投放共享单车18024（辆）；
4号区投放共享单车18090（辆）；
5号区投放共享单车18030（辆）．
53．阅读下列材料，回答问题：
任务1：估计不规则封闭图形的面积
如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）：
有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 …
绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 149 …
0.200 0.233 0.257 0.248 …
（1）当有效丢掷绿豆总次数m＝1000时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是 B ；
A．105
B．249
C．518
D．815
（2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为 0.25 （精确到0.01）；
（3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积；
任务2：估计圆周率π的大小
关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，请借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率π的实验，写出相应的步骤，以及需要记录的数量（具体数值）或数据（用字母a，b，c，…，表示），画出示意图，并写出π的计算公式．
【答案】任务1：（1）B；（2）0.25；（3）1平方米；
任务2：设计实验见解析，．
【解答】解：任务1：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在0.25，
∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25；
当掷绿豆所落的总次数m＝1000时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能为1000×0.25＝250，只有249比较接近，
故答案为：B；
（2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25，
故答案为：0.25；
（3）设封闭图形的面积为a，
根据题意得：，
解得：a＝1，
即：估计整个不规则封闭图形的面积约是1平方米．
任务2：如图，地面上有一个边长为2米的正方形，在此正方形内画出一个半径为1米的圆．
在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下：
有效丢掷绿豆总次数m a …
绿豆落在圆内 （含圆的边）的次数n b …
…
当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，
所以如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为；
则，
∴．
54．每年6月14日是“世界献血日”，某地组织居民开展义务献血活动．参与的所有献血者的血型检测结果有“A”、“B”、“AB”、“O”4种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了两幅不完整的统计表．
血型 A B AB O
人数 a 10 5 b
（1）这次随机抽取的献血者人数为 50 人，m＝ 20 ；
（2）上表中的a＝ 12 ，b＝ 23 ；
（3）若活动中该地有4000人参与义务献血，根据抽样结果回答：从所有献血者中任抽取一人，估计其血型是O型的概率是多少？并估计这4000人中大约有多少人是O型血？
【答案】（1）50，20；
（2）12，23；
（3）46%，1840．
【解答】解：这次随机抽取的献血者人数为：5÷10%＝50（人），
∴m%＝10÷50×100%＝20%，
∴m＝20；
故答案为50，20；
（2）O型献血的人数为：b＝46%×50＝23（人），
A型献血的人数为a＝50﹣10﹣5﹣23＝12（人），
故答案为：12，23；
（3）从所有献血者中任抽取一人，估计其血型是O型的概率为＝46%，
估计这4000人中O型血的人数大约有4000×＝1840（人）．
55．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量（单位：m）和使用了节水龙头50天的日用水量，得到频数分布表如下：
表1未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量x 0≤x＜0.1 0.1≤x＜0.2 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4 0.4≤x＜0.5 0.5≤x＜0.6 0.6≤x＜0.7
频数 1 3 2 4 9 26 5
表2使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量x 0≤x＜0.1 0.1≤x＜0.2 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4 0.4≤x＜0.5 0.5≤x＜0.6
频数 1 5 13 10 16 5
（1）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3m3的概率；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表．）
【答案】（1）；
（2）47.45 m3．
【解答】解：（1）由表2可知，使用后，50天日用水量少于0.3的频数＝1+5+13＝19，
50天日用水量少于0.3的频概率，从而以此频率估计该家庭情况．
（2）该家庭未使用节水龙头50天日用水量平均数：（0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5）＝0.48（m3），
该家庭使用节水龙头50天日用水量平均数：（0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5）＝0.35（m3），
∴估计使用节水龙头后，一年可节水：（0.48﹣0.35）×365＝47.45 （m3）．
56．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x（℃）及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下：
x（℃） 15≤x＜20 20≤x＜25 25≤x＜30 30≤x≤35
天数 6 10 11 3
y（瓶） 270 330 360 420
以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率．
（1）试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；
（2）根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？
【答案】（1）0.9；
（2）今年六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大．
【解答】解：（1）根据题意可知：
今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率为：
0.9；
（2）根据题意可知：
该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降价处理一瓶亏2元，
设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为W元，则
当n＝100时，
W＝100×2＝200，
当n＝200时，
W＝200×2＝400；
当n＝300时，
W[（30﹣6）×300×2+6×270×2﹣6×（300﹣270）×2]＝576；
当n＝400时，
W[6×270×2+10×330×2+11×360×2+3×400×2﹣6×（400﹣270）×2﹣10（400﹣330）×2﹣11（400﹣360）×2]＝544；
当n≥500时，与n＝400时比较，
六月份增订的部分，亏本售出的比正常售出的多，
所以其每天的平均利润比n＝400时平均每天利润少．
综上所述：n＝300时，W的值达到最大，
即今年六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶时，
平均每天销售这种酸奶的利润最大．
57．某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
最高气温T（单位：℃） 需求量（单位：杯）
T＜25 200
25≤T＜30 250
T≥30 400
（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足25≤T＜30（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于30℃的天数为6+2＝8（天）；
（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为；
（3）250×8﹣350×4+100×1＝700（元），
答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为700元．
58．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了 100 名学生；若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生共有 600 名；
（2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 108° ；
（3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%
∴共调查人数为：40÷40%＝100（人），
爱好运动的学生人数所占的百分比为40%，
∴全校爱好运动的学生共大约有：1500×40%＝600（人）；
故答案为：100，600；
（2）爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10＝30（人），
补全条形统计图，如图所示，
阅读部分圆心角是360°108°，
故答案为：108°；
（3）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，
∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为；
故答案为：．
59．一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将 它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实 验数据如表：
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面朝上频数 14 a 38 47 52 66 78 88
相应频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 b 0.56 0.55
（1）请直接写出a，b的值：
（2）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少；
（3）如果做这种实验2000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少？
【答案】（1）18，0.55；
（2）0.55；
（3）1100．
【解答】解：（1）a＝40×0.45＝18；b＝66÷120＝0.55；
（2）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，故估计概率的大小为0.55．
（3）朝上的概率接近于0.55，所以抛掷2000次，朝上的次数为2000×0.55＝1100（次），
∴“兵”字面朝上的次数大约是1100次．
60．一只不透明的口袋中放有若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，将袋中的球摇均匀．每次从口袋中取出一只球记录颜色后放回再摇均匀，经过大量的试验，得到取出红球的频率是，求：
（1）取出白球的概率是多少？
（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？
【答案】（1）；
（2）6只．
【解答】解：（1）取出白球与取出红球为对立事件，概率之和为1．
故P（取出白球）＝1﹣P（取出红球）
＝1
；
（2）设袋中的红球有x只，则有，
，
解得x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解．
所以袋中的红球有6只．
