第四章第三节 探究三角形全等的条件
题型1 全等三角形的判定与性质 题型2 作图—基本作图
题型1．全等三角形的判定与性质（共30小题）
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
1．如图，已知∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论：①EM＝FN；②CM＝EM；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴△AEB≌△AFC（AAS），
∴∠EAB＝∠FAC，
∴∠FAN＝∠EAM，
故③符合题意；
∵∠E＝∠F＝90°，AE＝AF，∠FAN＝∠EAM，
∴△AEM≌△AFN（ASA），
∴EM＝FN，
故①符合题意；
由△AEM≌△AFN（ASA），得到EM＝FN，得不到EM＝CM，
故②不符合题意；
∵△AEB≌△AFC（AAS），
∴AC＝AB，
∵∠C＝∠B，∠CAN＝∠BAM，
∴△ACN≌△ABM（ASA），
故④符合题意，
∴正确的有3个．
故选：C．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，BE平分∠ABD，点F在BD上，连接EF并延长交BC于点G，若BG＝EG，∠A＝2∠DEF，有下列结论：①∠DEF＝∠CBD；②∠ABE+∠CBD＝45°； ③EG⊥BC； ④BF＝CE．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAH，
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠C＝∠CAH+∠C＝90°，
∴∠CAH＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠CBD，
∵∠BAC＝2∠DEF，
∴∠DEF＝∠CBD，故①正确；
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠CBD＝∠BAC，
∴∠ABE+∠CBD＝（∠ABD+∠BAC），
∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠CBD＝×90°＝45°，故②正确；
∵∠FBG＝∠CEG，∠BFG＝∠EFD，
∴∠FGB＝∠EDF＝90°，
∴EG⊥BC，故③正确；
∵EG⊥BC，
∴∠BGF＝∠EGC＝90°，
在△BFG和△ECG中，
，
∴△BFG≌△ECG（ASA），
∴BF＝CE，故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，
故选：B．
3．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
4．如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFD的度数等于（ ）
A．30° B．32° C．33° D．35°
【答案】B
【解答】解：在△BDE和△BCA中，
，
∴△BDE≌△BCA（SAS），
∴∠BDE＝∠CBA＝75°，
∴∠C＝62°，
∴∠A＝180°﹣75°﹣62°＝43°，
∴∠AFD＝∠BDE﹣∠A＝75°﹣43°＝32°．
故选：B．
5．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．105° B．120° C．115° D．135°
【答案】D
【解答】解：∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵AD＝MD，∠ADM＝90°，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故选：D．
6．如图，把两个45°角的直角三角板放在一起，点B在CE上，A、C、D三点在一条直线上，连接AE，DB延长线交AE于点F．若AE＝8，DF＝11.2，则△ABE的面积为（ ）
A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6
【答案】B
【解答】解：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，EC＝DC，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠AEC＝∠BDC，AE＝BD＝8，
∴∠DFE＝∠EAC+∠BDC＝∠EAC+∠AEC＝90°，
∴BF⊥AE，
∵DF＝11.2，
∴BF＝DF﹣BD＝11.2﹣8＝3.2，
∴S△ABE＝AE BF＝×8×3.2＝12.8，
故选：B．
7．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，就可以知道射线OC是∠AOB的角平分线．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
【答案】D
【解答】解：∵角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合
∴CM＝CN，
在△OCM和△OCN中，
，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠MOC＝∠NOC，
即OC平分∠AOB，
∴依据的数学基本事实是三边分别相等的两个三角形全等．
故选：D．
8．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．50 B．62 C．65 D．68
【答案】A
【解答】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH，
∴∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°，
∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠EAF＝∠ABG，
在△EFA和△AGB中，
，
∴△EFA≌△AGB（AAS），
∴AF＝BG，AG＝EF．
同理证得△BGC≌△CHD得GC＝DH，CH＝BG．
故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16
故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．
故选：A．
9．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边距离相等
【答案】A
【解答】解：连接NC，MC，
在△ONC和△OMC中
，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
故选：A．
10．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，故②正确
∴∠EAB＝∠FAC＝40°，故①正确，
∴∠C＝∠AFC＝∠AFE＝70°，
∴∠EFB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故⑤正确，
∵AE＝AB，∠EAB＝40°，
∴∠AEB＝∠ABE＝70°，
若∠EBC＝110°，则∠ABC＝40°＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴AE∥BC，显然与题目条件不符，故③错误，
若AD＝AC，则∠ADF＝∠AFD＝70°，
∴∠DAF＝40°，这个显然与条件不符，故④错误．
故选：C．
11．如图，要判断一块纸带的两边a，b相互平行，甲、乙、丙三人的折叠与测量方案如下：
下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙能得到a∥b，丙不能
B．甲、丙能得到a∥b，乙不能
C．乙、丙能得到a∥b，甲不能
D．甲、乙、丙均能得到a∥b
【答案】B
【解答】解：甲、∵∠1＝∠2，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
乙、由∠1＝∠2，不能判定a∥b，
丙、在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠CAO＝∠DBO，
∴a∥b，
故选：B．
12．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论：
①EM＝FN，②CD＝DN，③∠FAN＝∠EAM．④△ACN≌△ABM．
其中正确的有 ①③④ ．
【答案】①③④
【解答】解：在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠BAE＝∠CAF，BE＝CF，AB＝AC，
∴∠BAE﹣∠BAC＝∠CAF﹣∠BAC，
即∠1＝∠2，故③正确；
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA），故④正确；
∴CN＝BM．∵CF＝BE，
∴EM＝FN，故①正确，
CD与DN的大小无法确定，故②错误．
故答案为①③④．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③DE＝CE+2BE；④若CD∥AB，则AE⊥AD，其中正确的有 ①③④ ．
【答案】①③④．
【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，，
∵，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，故③是正确的，
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴④是正确的；
故正确的有①③④，
故答案为：①③④．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：
①∠DEC＝∠BDA；
②若AB＝DC，则AD＝DE；
③当DE⊥AC时，则D为BC中点；
④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°．
正确的有 ①②③ ．（填序号）
【答案】①②③．
【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴由三角形内角和定理知：∠DEC＝∠BDA，故①正确；
②∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
由①知：∠DEC＝∠BDA，
∵AB＝DC，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴AD＝DE，故②正确；
③∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠CDE＝50°，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴D为BC中点，故③正确；
④∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE或AD＝DE，
当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
当AD＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BAD＝30°，
故④不正确．
∴正确的有①②③，
故答案为：①②③．
15．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD＝ 40° ．
【答案】40°
【解答】解：∵∠B＝∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴ED＝FD；
又∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD为公共边，
∴△AED≌△AFD，
∴∠EAD＝∠FAD，即AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝×（180°﹣50°﹣50°）＝40°．
故答案填：40°．
16．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）解：结论DE＝BD+CE成立；理由如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CEA中，，
∴△ABD≌△CEA（AAS），
∴S△ABD＝S△CEA，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h，
∴S△ABC＝BC h＝12，S△ACF＝CF h，
∵BC＝2CF，
∴S△ACF＝6，
∵S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝S△CEF+S△ABD＝6，
∴△ABD与△CEF的面积之和为6．
17．问题情境：
已知：射线AB和射线CB相交于点B．点D在射线CB上，作射线AD，在射线AD上取一点E，连接CE，使∠AEC＝∠ABC．
任务一：当点D在线段CB上时，
（1）如图1，请写出∠A与∠C的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当∠AEC＝∠ABC＝90°，AB＝CB时，连接BE．在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF．
①判断BF与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
②∠AEB的度数为 45° ；
任务二：当点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合）．
（3）如图3，当AB＝CB，∠AEC＝∠ABC＝α（90°＜α＜180°），且AF＝CE时，请直接写出∠AEB的度数（用含α的式子表示）．
【答案】（1）∠A＝∠C，理由见解析；
（2）①BF＝BE，BF⊥BE，理由见解析；
②45°；
（3）∠AEB的度数为90°﹣α或90°+α．
【解答】解：（1）∠A＝∠C；
理由：∵∠C+∠AEC+∠CDE＝180°，∠A+∠ABC+∠ADB＝180°，
又∵∠ABC＝∠AEC＝a，∠ADB＝∠CDE，
∴∠A＝∠C；
（2）①BF＝BE，BF⊥BE，理由如下：
由（1）知：∠A＝∠C，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，
又∵∠ABC＝a＝90°＝∠ABF+∠FBC，
∴∠CBE+∠FBC＝90°，
即∠FBE＝90°，
∴BF⊥BE；
②∵△ABF≌△CBE，
∴BF＝BE，
∴∠ABF＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠ABC＝90°，
∴∠AEB＝45°，
故答案为：45°；
（3）∠AEB＝90°﹣α或90°+α，理由如下：
当点D在线段BC上时，如图3，在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF，
由（1）知：∠A＝∠C，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，
又∵∠ABC＝a＝∠ABF+∠FBC，
∴∠CBE+∠FBC＝α，
即∠FBE＝α，
∴∠AEB＝∠EFB＝＝90°﹣α；
当点D在CB的延长线上时，在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF，如图4，
由（1）知：∠BAF＝∠ECB，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，
又∵∠ABC＝a＝∠ABF+∠FBC，
∴∠CBE+∠FBC＝α，
即∠FBE＝α，
∴∠BEF＝∠BFE＝，
∴∠AEB＝180°﹣∠BEF＝180°﹣＝90°+α，
综上所述，∠AEB的度数为90°﹣α或90°+α．
18．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE＝AF，
∵AC＝20，CF＝BE＝4，
∴AE＝AF＝20﹣4＝16，
∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12．
19．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数．
【答案】（1）见解答；
（2）∠A＝65°．
【解答】（1）证明：在△AED和△CEF中
，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ACF，∠ABC+∠BCF＝180°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠BCF＝130°，
∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF＝65°，
∴∠A＝∠ACF＝65°．
20．如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，试说明：AB＝CD．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵∠AOD＝∠COB，
∴∠AOD﹣∠BOD＝∠COB﹣∠BOD，
即∠AOB＝∠COD．
在△AOB 和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD．
21．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，求证：BE＝DC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC+60°，
∠BAE＝∠BAC+60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝DC．
22．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，BE平分∠ABC交CD于点E，EF∥AC交AB于点F．已知∠A＝∠BCD．
（1）试说明：EF＝EC；
（2）若∠BEF＝110°，求∠ACD的度数．
【答案】（1）说明过程见解答；
（2）∠ACD的度数为40°．
【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AC∥EF，
∴∠A＝∠DFE，
∵∠A＝∠BCD，
∴∠DFE＝∠BCD，
∵BE＝BE，
∴△BEF≌△BEC（AAS），
∴EF＝EC；
（2）∵△BEF≌△BEC，
∴∠BEC＝∠BEF＝110°，
∴∠CEF＝360°﹣∠BEC﹣∠BEF＝140°，
∵AC∥EF，
∴∠ACD＝180°﹣∠CEF＝40°，
∴∠ACD的度数为40°．
23．如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A、D、C、F在同一条直线上，且AF＝DC，BC＝EF，BC∥EF．
（1）求证：AB∥DE；
（2）若∠A＝20°，∠AFE＝102°，求∠E的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC即AC＝DF，
∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴AB∥DE；
（2）解：∵∠D＝∠A＝20°，∠AFE＝102°，
∴∠EFD＝180°﹣102°＝78°，
∴∠E＝180°﹣20°﹣78°＝82°．
24．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD平分∠BAE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴BC＝CA，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE．
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BDP＝∠ADC，
∴∠BPD＝∠DCA＝90°，
∵AB＝AE，
∴AD平分∠BAE．
（3）AD⊥BE不发生变化．
如图2，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BFP＝∠AFC，
∴∠BPF＝∠ACF＝90°，
∴AD⊥BE．
25．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．
（1）求BO的长；
（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
【答案】（1）6；
（2）t＝1.2或2．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，
∴∠ACD＝∠AOE，
∴∠BOD＝∠ACD．
又∵∠BDO＝∠ADC＝90°，AD＝BD，
∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS），
∴BO＝AC＝6．
（2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．
∵OP＝t，CQ＝6﹣4t，
∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2．
②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．
∵OP＝t，CQ＝4t﹣6，
∴t＝4t﹣6，解得t＝2．
综上，t＝1.2或2．
26．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B与∠C的大小关系如何？为什么？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∠B＝∠C，理由如下：
∵∠FDC＝∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
即∠FDE+∠EDC＝∠B+∠DFB．
又∵∠FDE＝∠B（已知），
∴∠DFB＝∠EDC．
在△DFB和△EDC中，
，
∴△DFB≌△EDC（SAS）．
∴∠B＝∠C．
27．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，连接AD，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝26°，则∠DCE＝ 26° ．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】（1）26°；
（2）①α＝β；
②α＝β或α+β＝180°．
【解答】解：（1）如图1所示：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝（180°﹣26°）＝77°，BD＝CE，
∴BC+DC＝CE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝26°，
∴∠DCE＝26°，
故答案为：26°；
（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，
∴α＝β；
②分三种情况：
（Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β＝180°，如图2所示，理由如下：
同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，
∵∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，
∴α+β＝180°；
（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α＝β，如图3所示，理由如下：
同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，
∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，
∴α＝β；
（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α＝β；
综上所述，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°．
28．填空：（将下面的推理过程补充完整）
已知：△ABC的高AD与高BE相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．如图，若∠ABC＝45°．
求证：（1）△BDF≌△ADC；
（2）FG+DC＝AD．
证明：（1）∵AD，BE为△ABC的高，
∴AD ⊥BC，BE⊥AC．
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝ ∠BEA ．
∴∠ABD+∠BAD＝90°．
∠DAC+∠C＝90°．
∠CBE+ ∠C ＝90°．
∴∠DAC＝∠CBE．
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣45°＝45°＝∠ABC ．
∴BD＝AD．
在△FDB和△CDA中，，
∴△FDB≌△CDA（ASA）．
（2）△FDB≌ △CDA ．
∴DF＝DC ．
∵GF∥BC，
∴∠AGF＝ ∠ABD ＝45°．
∴∠AGF＝∠FAG．
∴FA＝FG．
∴FG+DC＝AF +FD ＝AD．
【答案】（1）AD，∠BEA，∠C，ABC，BD＝AD；
（2）△CDA，DC，∠ABD，AF，FD．
【解答】证明：（1）∵AD，BE为△ABC的高，
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝∠BEA，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∠DAC+∠C＝90°，
∠CBE+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠CBE，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣45°＝45°＝∠ABC，
∴BD＝AD，
在△FDB和△CDA中，
，
∴△FDB≌△CDA（ASA），
（2）△FDB≌△CDA，
∴DF＝DC，
∵GF∥BC，
∴∠AGF＝∠ABD＝45°，
∴∠AGF＝∠FAG，
∴FA＝FG，
∴FG+DC＝AF+FD＝AD．
故答案为：
（1）AD，∠BEA，∠C，ABC，BD＝AD；
（2）△CDA，DC，∠ABD，AF，FD．
29．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA，
即∠BCA＝∠DCE，
在△BCA和△DCE中，
，
∴△BCA≌△DCE（ASA），
∴BC＝DC；
（2）∵△BCA≌△DCE，
∴∠B＝∠D＝15°，
∵∠A＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝140°．
30．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE．
如图2，
证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
．
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（3）如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝GNI＝90°
由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN
∴EM＝GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点．
题型2．作图—基本作图（共30小题）
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
31．用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．作图步骤如下：
①作射线CQ；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（ ）
A．④③②① B．④③①② C．②③④① D．②④③①
【答案】D
【解答】解：正确的排序为：②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q．
①作射线CQ；
故选：D．
32．已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠ABC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：选项B中，由作图可知点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DB＝DA，
∴∠BAD＝∠ABC．
故选：B．
33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAD B．∠AED＝∠C C．AE＝BE D．∠BDE＝∠BAC
【答案】C
【解答】解：∵根据尺规作图的痕迹，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴∠BAD＝∠CAD，∠AED＝∠C＝90°，DE＝DC，
∴∠BDE＝90°﹣∠B，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°﹣∠B，
∴∠BDE＝∠BAC，
无法证明AE＝BE，
所以选项A、B、D一定正确，不符合题意，选项C不一定正确，符合题意，
故选：C．
34．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD．若∠AOB＝32°，则∠BOD的度数为（ ）
A．32° B．54° C．64° D．68°
【答案】C
【解答】解；根据作图过程可知：OF＝OD，EF＝DE，
在△EOF和△DOE中，
，
∴△EOF≌△DOE（SSS），
∴∠DOE＝∠AOB＝32°，
∴∠BOD＝∠DOE+∠AOB＝64°，
故选：C．
35．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】B
【解答】解：由作法得BP平分∠ABN，
∴∠PBN＝∠ABN＝×140°＝70°，
∵OG平分∠MON，
∴∠BOP＝∠MON＝×50°＝25°，
∵∠PBN＝∠POB+∠OPB，
∴∠OPB＝70°﹣25°＝45°．
故选：B．
36．在△ABC中，作BC边上的高，以下作图正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：BC边上的高应从点A向BC引垂线，
只有选项D符合条件，
故选：D．
37．如图①，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP，射线BP即为所求．
下列叙述不正确的是（ ）
A．a＞0
B．作图的原理是构造SSS三角形全等
C．由第二步可知，DP＝EP
D．的长
【答案】D
【解答】解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于DE，否则没有交点，
故选：D．
38．按下列语句画图：点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a、b、c两两相交，下列图形符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a、b、c两两相交，
∴点M是直线a与直线b的交点，是直线c外的一点，
∴图形符合题意的是选项B．
故选：B．
39．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【答案】D
【解答】解：根据题意，所作出的是∠BCN＝∠AOB，
根据作一个角等于已知角的作法，是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
40．如图，用直尺和圆规作∠PCD＝∠AOB，作图痕迹中，弧是（ ）
A．以点C为圆心，OE为半径的弧
B．以点C为圆心，EF为半径的弧
C．以点G为圆心，OE为半径的弧
D．以点G为圆心，EF为半径的弧
【答案】D
【解答】解：∵以点O为圆心，以任意长为半径画圆，交OB，OA于点E，F，再以点C为圆心，以OE为半径画圆，交CD于点G，以点G为圆心，EF的长为半径画圆，两弧相交于点P，连接CP即可．
∴弧是以点G为圆心，EF为半径的弧．
故选：D．
41．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：
（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q
（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D
（3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F
（4）作 ，∠DEF即为所求作的角
A．●表示点E B．◎表示PQ
C．⊙表示OQ D． 表示射线EF
【答案】D
【解答】解：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
所以A，B，C选项都错误，D选项正确．
故选：D．
42．如图，小亮和小明分别用尺规作∠APB的平分线PQ，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（ ）
A．小亮、小明均正确 B．只有小明正确
C．只有小亮正确 D．小亮、小明均不正确
【答案】A
【解答】解：如图，PE＝PF，EC＝FC，PC＝PC，
∴△EPC≌△FPC（SSS），
∴∠EPC＝∠FPC；
∴小亮作图正确；
由作图可知PE＝PF，
∵C是线段PE，PF垂直平分线，
∴PC＝CE＝CF，
∴△EPC≌△FPC（SSS），
∴∠EPC＝∠FPC，
小明作图正确；
故选：A．
43．已知三边作三角形，所用到的知识是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．在射线上截取一线段等于已知线段
C．平分一个已知角
D．作一条直线的垂线
【答案】B
【解答】解：根据三边作三角形用到的基本作图是：在射线上截取一线段等于已知线段，
故选：B．
44．如图，在△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为 65° ．
【答案】65°
【解答】解：解法一：连接EF．
∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，
∴AF＝AE；
∴△AEF是等腰三角形；
又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
∴AG是线段EF的垂直平分线，
∴AG平分∠CAB，
∵∠ABC＝40°
∴∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，
∵∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
故答案为：65°．
45．如图，点P在射线BA上，使用尺规作图法在BC上求一点D，使∠BPD＝∠B．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析．
【解答】解：如图所示．
46．如图，在△ABC中，BC＝6．
（1）尺规作图：请在图中AB的左侧作∠BAE＝∠B．（保留作图痕迹，不作写法）
（2）在（1）的条件下，在射线AE上取点D，连结CD交AB于点O，若点O是AB的中点，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）6．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）∵点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
在△ADO与△BCO中，
，
∴△ADO≌△BCO（ASA），
∴AD＝BC＝6．
47．如图，线段AB＝2．
（1）尺规作图：在AB的延长线上截取线段BC，使BC＝2AB．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）在所画图形中，若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）2．
【解答】解：（1）如图所示，在AB的延长线上截取线段BC，使BC＝2AB，线段BC即为所求．
（2）由（1）知BC＝2AB＝4，
AC＝AB+BC＝2+4＝6，
∵D是AB的中点，
∴，
∵E是AC的中点
∴，
∴DE＝AE﹣AD＝3﹣1＝2，
∴DE的长为2．
48．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，且AB＝AD．
（1）用尺规作图法，作∠BAC的平分线AP，交BC于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，连接PD、求证：PD＝PB．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：如图，AP为所作；
（2）证明：∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠DAP，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴PB＝PD．
49．作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
已知：如图，线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．
【答案】作图见解答过程．
【解答】解：如图：
△ABC即为所求．
50．读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，
根据下列语句画图：
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（2）如图所示；
（3）∠PQC＝60°
∵PQ∥CD
∴∠DCB+∠PQC＝180°
∵∠DCB＝120°
∴∠PQC＝180°﹣120°＝60°．
51．（1）如图1，过线段AB外一点M作AB的垂线；
（2）如图2，过A，B分别作OB，OA的垂线．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示．
52．命题：平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行．画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明．
【答案】见解答过程．
【解答】已知：a⊥b，a⊥c，
求证：b∥c，
证明：∵a⊥b，
∴∠1＝90°．
∵a⊥c，
∴∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴b∥c．
53．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）猜想：线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC ．（用“＜”号连接）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（2）所画图形如下所示；
（3）在Rt△OPC中，∵∠OPC＝90°，
∴PC＜OC，
在Rt△PHC中，∵∠PHC＝90°，
∴PH＜PC，
∴PH＜PC＜OC．
54．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段AB的延长线上，点E是AC中点，点F是BC边上一点．请利用无刻度直尺和圆规作出点G，使AG∥CF且AG＝CF（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析．
【解答】解：如图，AG即为所求，
．
55．如图，已知△ABC，利用尺规作图法作∠B的平分线BD，交AC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，BD为所作．
56．尺规作图：已知∠α，求作：∠A使∠A＝∠α．（不写作法，保留痕迹）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图∠A即为所求．
57．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q．
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）、（2）如图所示．
58．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示：PQ即为所求；
（2）如图所示：PR即为所求；
（3）∠PQC＝60°
理由：∵PQ∥CD，
∴∠DCB+∠PQC＝180°，
∵∠DCB＝120°，
∴∠PQC＝180°﹣120°＝60°．
59．如图，直线AB、CD相交于O，P是CD上一点按要求画图并回答问题：
（1）过P点画AB的垂线段PE，垂足为E；
（2）过P点画CD的垂线段，与AB相交于F；
（3）说明线段PE、PO、FO三者的大小关系，其依据是什么？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，垂线段PE即为所求；
（2）如图，垂线段PF即为所求；
（3）PE＜PO＜FO，
∵PE⊥AB，
∴PE＜PO，
∵OP⊥PF，
∴PO＜OF，
∴PE＜PO＜FO．
60．读下列语句，并画出图形：
（1）射线OP的端点是直线m与直线n的交点，且点P不在直线m、n上；
（2）直线AB，CD是相交直线，点P是直线AB，CD外一点，直线EF经过点P且与直线AB平行，与直线CD相交于E．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示：第四章第三节 探究三角形全等的条件
题型1 全等三角形的判定与性质 题型2 作图—基本作图
题型1．全等三角形的判定与性质（共30小题）
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
1．如图，已知∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论：①EM＝FN；②CM＝EM；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，BE平分∠ABD，点F在BD上，连接EF并延长交BC于点G，若BG＝EG，∠A＝2∠DEF，有下列结论：①∠DEF＝∠CBD；②∠ABE+∠CBD＝45°； ③EG⊥BC； ④BF＝CE．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
3．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFD的度数等于（ ）
A．30° B．32° C．33° D．35°
5．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．105° B．120° C．115° D．135°
6．如图，把两个45°角的直角三角板放在一起，点B在CE上，A、C、D三点在一条直线上，连接AE，DB延长线交AE于点F．若AE＝8，DF＝11.2，则△ABE的面积为（ ）
A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6
7．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，就可以知道射线OC是∠AOB的角平分线．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
8．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．50 B．62 C．65 D．68
9．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边距离相等
10．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，要判断一块纸带的两边a，b相互平行，甲、乙、丙三人的折叠与测量方案如下：
下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙能得到a∥b，丙不能
B．甲、丙能得到a∥b，乙不能
C．乙、丙能得到a∥b，甲不能
D．甲、乙、丙均能得到a∥b
12．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论：
①EM＝FN，②CD＝DN，③∠FAN＝∠EAM．④△ACN≌△ABM．
其中正确的有 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③DE＝CE+2BE；④若CD∥AB，则AE⊥AD，其中正确的有 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：
①∠DEC＝∠BDA；
②若AB＝DC，则AD＝DE；
③当DE⊥AC时，则D为BC中点；
④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°．
正确的有 ．（填序号）
15．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD＝ ．
16．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．
17．问题情境：
已知：射线AB和射线CB相交于点B．点D在射线CB上，作射线AD，在射线AD上取一点E，连接CE，使∠AEC＝∠ABC．
任务一：当点D在线段CB上时，
（1）如图1，请写出∠A与∠C的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当∠AEC＝∠ABC＝90°，AB＝CB时，连接BE．在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF．
①判断BF与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
②∠AEB的度数为 ；
任务二：当点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合）．
（3）如图3，当AB＝CB，∠AEC＝∠ABC＝α（90°＜α＜180°），且AF＝CE时，请直接写出∠AEB的度数（用含α的式子表示）．
18．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
19．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数．
20．如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，试说明：AB＝CD．
21．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，求证：BE＝DC．
22．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，BE平分∠ABC交CD于点E，EF∥AC交AB于点F．已知∠A＝∠BCD．
（1）试说明：EF＝EC；
（2）若∠BEF＝110°，求∠ACD的度数．
23．如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A、D、C、F在同一条直线上，且AF＝DC，BC＝EF，BC∥EF．
（1）求证：AB∥DE；
（2）若∠A＝20°，∠AFE＝102°，求∠E的度数．
24．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD平分∠BAE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．
25．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．
（1）求BO的长；
（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
26．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B与∠C的大小关系如何？为什么？
27．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，连接AD，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝26°，则∠DCE＝ ．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
28．填空：（将下面的推理过程补充完整）
已知：△ABC的高AD与高BE相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．如图，若∠ABC＝45°．
求证：（1）△BDF≌△ADC；
（2）FG+DC＝AD．
证明：（1）∵AD，BE为△ABC的高，
∴ ⊥BC，BE⊥AC．
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝ ．
∴∠ABD+∠BAD＝90°．
∠DAC+∠C＝90°．
∠CBE+ ＝90°．
∴∠DAC＝∠CBE．
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣45°＝45°＝∠ ．
∴BD＝AD．
在△FDB和△CDA中，，
∴△FDB≌△CDA（ASA）．
（2）△FDB≌ ．
∴DF＝ ．
∵GF∥BC，
∴∠AGF＝ ＝45°．
∴∠AGF＝∠FAG．
∴FA＝FG．
∴FG+DC＝ + ＝AD．
29．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．
30．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
题型2．作图—基本作图（共30小题）
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
31．用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．作图步骤如下：
①作射线CQ；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（ ）
A．④③②① B．④③①② C．②③④① D．②④③①
32．已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠ABC的是（ ）
A． B．
C． D．
33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAD B．∠AED＝∠C C．AE＝BE D．∠BDE＝∠BAC
34．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD．若∠AOB＝32°，则∠BOD的度数为（ ）
A．32° B．54° C．64° D．68°
35．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
36．在△ABC中，作BC边上的高，以下作图正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
37．如图①，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP，射线BP即为所求．
下列叙述不正确的是（ ）
A．a＞0
B．作图的原理是构造SSS三角形全等
C．由第二步可知，DP＝EP
D．的长
38．按下列语句画图：点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a、b、c两两相交，下列图形符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
39．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
40．如图，用直尺和圆规作∠PCD＝∠AOB，作图痕迹中，弧是（ ）
A．以点C为圆心，OE为半径的弧
B．以点C为圆心，EF为半径的弧
C．以点G为圆心，OE为半径的弧
D．以点G为圆心，EF为半径的弧
41．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：
（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q
（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D
（3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F
（4）作 ，∠DEF即为所求作的角
A．●表示点E B．◎表示PQ
C．⊙表示OQ D． 表示射线EF
42．如图，小亮和小明分别用尺规作∠APB的平分线PQ，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（ ）
A．小亮、小明均正确 B．只有小明正确
C．只有小亮正确 D．小亮、小明均不正确
43．已知三边作三角形，所用到的知识是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．在射线上截取一线段等于已知线段
C．平分一个已知角
D．作一条直线的垂线
44．如图，在△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为 ．
45．如图，点P在射线BA上，使用尺规作图法在BC上求一点D，使∠BPD＝∠B．（不写作法，保留作图痕迹）
46．如图，在△ABC中，BC＝6．
（1）尺规作图：请在图中AB的左侧作∠BAE＝∠B．（保留作图痕迹，不作写法）
（2）在（1）的条件下，在射线AE上取点D，连结CD交AB于点O，若点O是AB的中点，求AD的长．
47．如图，线段AB＝2．
（1）尺规作图：在AB的延长线上截取线段BC，使BC＝2AB．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）在所画图形中，若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长．
48．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，且AB＝AD．
（1）用尺规作图法，作∠BAC的平分线AP，交BC于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，连接PD、求证：PD＝PB．
49．作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
已知：如图，线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．
50．读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，
根据下列语句画图：
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．
51．（1）如图1，过线段AB外一点M作AB的垂线；
（2）如图2，过A，B分别作OB，OA的垂线．
52．命题：平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行．画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明．
53．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）猜想：线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 ．（用“＜”号连接）
54．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段AB的延长线上，点E是AC中点，点F是BC边上一点．请利用无刻度直尺和圆规作出点G，使AG∥CF且AG＝CF（保留作图痕迹，不写作法）．
55．如图，已知△ABC，利用尺规作图法作∠B的平分线BD，交AC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）
56．尺规作图：已知∠α，求作：∠A使∠A＝∠α．（不写作法，保留痕迹）
57．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q．
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．
58．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．
59．如图，直线AB、CD相交于O，P是CD上一点按要求画图并回答问题：
（1）过P点画AB的垂线段PE，垂足为E；
（2）过P点画CD的垂线段，与AB相交于F；
（3）说明线段PE、PO、FO三者的大小关系，其依据是什么？
60．读下列语句，并画出图形：
（1）射线OP的端点是直线m与直线n的交点，且点P不在直线m、n上；
（2）直线AB，CD是相交直线，点P是直线AB，CD外一点，直线EF经过点P且与直线AB平行，与直线CD相交于E．
