第四章第四节 利用三角形全等测距离
题型1 全等三角形的应用
题型1．全等三角形的应用（共48小题）
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
1．现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝12m，BC＝8m，CD＝14m，点E是AB边的中点．甲机器人从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C运动，同时乙机器人从点C出发沿CD向点D运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点P和点Q．如果能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则乙机器人的运动速度为（ ）
A．或 B．2m/s或
C．3m/s或 D．2m/s或3m/s
【答案】D
【解答】解：∵AB＝12m，E是AB边的中点，
∴BE＝6m，
∵∠B＝∠C，且△BEP与△CPQ全等，
∴BP＝CQ，BE＝CP或CP＝BP，BE＝CQ，
当BP＝CQ，BE＝CP时，
∵BE＝6m，BC＝8m，
设运动时间为ts，则8﹣2t＝6，
解得t＝1，
∴CQ＝BP＝2×1＝2（cm），
此时乙机器人的运动速度为：2÷1＝2（m/s）；
当CP＝BP，BE＝CQ时，则，
解得t＝2，
此时CQ＝6，乙机器人的运动速度为：6÷2＝3（m/s），
故选：D．
2．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长为12m．
那么，河的宽度是（ ）
A．8m B．10m C．12m D．15m
【答案】C
【解答】解：从B点沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处，
∴BC＝CD，
由题意知，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
在△ABC和△EDC中，
，
△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED＝12，
即河的宽度是12米，
故选：C．
3．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】C
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
4．如图所示小明设计了一种测零件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，要使DC＝AB，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（ ）
A．AO＝CO B．BO＝DO
C．AC＝BD D．AO＝CO且BO＝DO
【答案】D
【解答】解：如图，连接CD，
已知对顶角∠AOB＝∠COD，
当AO＝CO且BO＝DO时，则AOB≌△COD（SAS），
∴DC＝AB，
故选：D．
5．在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB和△DOC是全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解答】解：在△COD和△BOA中，
，
∴△COD≌△BOA（SAS），
∴AB＝CD，
故选：B．
6．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案：
方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接AO，并延长到点C，使OC＝OA，连接图1BO，并延长到点D，使OD＝OB；③连接DC，测量DC的长度即可．
方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF＝OB，OE＝OA；③连接EF，测量EF的长度即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
【答案】D
【解答】解：方案Ⅰ：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD；
方案Ⅱ：在△AOB与△EOF中，
，
∴△AOB≌△EOF（SAS），
∴AB＝EF，
故选：D．
7．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】B
【解答】解：如图，∠A、AB、∠B都可以测量，
即他的依据是ASA．
故选：B．
8．如图所示的折着凳（图1），图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中登腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，利用你所学的知识求出CB的长度是（ ）
A．36cm B．40cm C．35cm D．30cm
【答案】D
【解答】解：∵登腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，折叠凳宽度AD设计为30cm，
∴AO＝BO，DO＝CO，
在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴CB＝AD＝30cm，
故选：D．
9．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5cm，EF＝6cm，则该圆形容器的壁厚是（ ）
A．1cm B．0.8cm C．0.6cm D．0.5cm
【答案】D
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝5cm，
∵EF＝6cm，
∴圆柱形容器的壁厚是×（6﹣5）＝0.5（cm），
故选：D．
10．如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】D
【解答】解：这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“ASA”重新配一块与原来全等的三角形玻璃．
故选：D．
11．小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为（ ）
A．1m B．1.6m C．1.4m D．1.8m
【答案】D
【解答】解：∵点B距离地面的高度为1.5m，点C距离地面的高度是1.6m，
∴点D距离地面的高度为1.5m，点E距离地面的高度是1.6m，
∴DE＝1.6﹣1.5＝0.1（m），
∵∠BDO＝∠BOC＝90°，
∴∠OBD+∠BOE＝∠BOE+COD＝90°，
∴∠OBD＝∠COD，
又由题意可知，OB＝OC，
∴△OBD≌△COE（AAS），
∴OE＝BD＝1.7m，CE＝OD，
∴CE＝OD＝OE+DE＝1.7+0.1＝1.8（m），
∴点C到OA的距离CE为1.8m，
故选：D．
12．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】B
【解答】解：∵将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
故选：B．
13．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
【答案】B
【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，
∴OA＝OA'，OB＝OB'，
由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB＝A'B'，
即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，
故选：B．
14．如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【答案】A
【解答】解：∵O是AA′，BB′的中点，
∴AO＝A′O，BO＝B′O，
又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角，
∴∠AOB＝∠A′OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
∵，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
∴A′B′＝AB，
∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准，
∴判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS．
故选：A．
15．小良打碎了一块三角形玻璃如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，如果他带了两块玻璃，其中有一块是②，另一块是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【解答】解：已知有一块是②，则带上①可根据ASA得出一块全等的三角形玻璃，而带上③或④均无法得出全等三角形，
故选：A．
16．如图，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS
【答案】A
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：A．
17．如图，要测量河中礁石A离岸边B点的距离，可以采用如下方法：顺着河岸方向任取一条线段BC，作∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA，可得△A′BC≌△ABC，所以A′B＝AB，所以测量A′B的长就是礁石A离岸边B点的距离．判定两个三角形全等的理由是（ ）
A．SSS B．AAS C．SAS D．ASA
【答案】D
【解答】证明：在△A′BC和△ABC中，
，
∴△A′BC≌△ABC（ASA）．
故选：D．
18．如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS
【答案】B
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（SAS），
∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）．
故选：B．
19．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【解答】解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AC就是∠DAB的平分线．
故选：A．
20．为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】A
【解答】解：在△ACB和△ACD中，，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）．
故选：A．
21．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），应该带第 4 块，就能配一块与原来一样大小的三角形．
【答案】4
【解答】解：1、2、3块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第4块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足三角形全等的条件，是符合题意的，
故答案为：4．
22．跷跷板是儿童游乐场里常见的等臂杠杆应用．小明与小敏到游乐场玩跷跷板游戏，如图，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端．已知点O到地面的距离是50cm，当小敏从水平位置CD下降40cm时，小明离地面的高度是 90 cm．
【答案】90．
【解答】解：如图，
由题意可知，OF＝OG，∠FNO＝∠GMO＝90°，
在△FNO和△GMO中，
，
∴△FNO≌△GMO（AAS），
∴FN＝GM，
∵当小敏从水平位置CD下降40cm，即GM＝40cm，
∴CF＝40cm，
又∵点O至地面的距离是50cm，
∴这时小明离地面的高度是50+40＝90（cm），
故答案为：90．
23．如图，为了测量一幢高楼的高度，在木棍CD与高楼AB之间选定一点P，在点P处用测角仪测得木棍顶端C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝19°，测得楼顶A的视线PA与地面的夹角∠BPA＝71°，量得点P到楼底的距离PB与木棍高度相等，都等于5m，量得木棍与高楼之间的距离DB＝23m，则高楼的高度是 18 m．
【答案】18．
【解答】解：由题意得：CD⊥DB，AB⊥BD，
∴∠CDB＝∠ABD＝90°，
∵∠CPD＝19°，
∴∠DCP＝90°﹣∠CPD＝71°，
∵∠APB＝71°，
∴∠APB＝∠DCP＝71°，
∵CD＝PB＝5m，
∴△CDP≌△PBA（ASA），
∴DP＝AB，
∵BD＝23m，
∴DP＝AB＝BD﹣PB＝23﹣5＝18（m），
∴高楼的高度是18m，
故答案为：18．
24．为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，则每层楼的高度大约 3.6 米．
【答案】3.6
【解答】解：由题意得：CD⊥DB，AB⊥DB，∠CDP＝∠ABP＝90°，∠APB＝69°，∠PAB＝90°﹣∠APB＝21°，
∵∠CPD＝21°，
∴∠PAB＝∠CPD＝21°，
∵DB＝30米，PB＝12米，
∴DP＝BD﹣BP＝18（米），
在△BAP和△DPC中，
，
∴△BAP≌△DPC（AAS），
∴DP＝AB＝18米，总高18，6层，实际楼高应该是5，
∴18 5＝3.6（米），
∴每层楼的高度大约为3.6米．
故答案为：3.6．
25．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度 16米 ．
【答案】16米．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABP＝∠CDP，
∵PD⊥CD，
∴∠CDP＝90°，
∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴PD＝PB，
在△ABP与△CDP中，
，
∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴CD＝AB＝16（米），
故答案为：16米．
26．小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 36 cm．
【答案】36．
【解答】解：由题意得AB＝BC，∠ABC＝90°，AD⊥DE，CE⊥DE，AD＝24cm，CE＝12cm，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ABD＝∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BE＝AD＝24cm，DB＝CE＝12cm，
∴DE＝DB+BE＝36cm，
则两堵木墙之间的距离为36cm，
故答案为：36．
27．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM．已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是 SSS ．
【答案】SSS
【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD＝AE，
在△ADM和△AEM中，
．
∴△ADM≌△AEM（SSS），
故答案为：SSS．
28．为了捍卫国家主权，2022年中国人民海军多次在东海进行军事演习．在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且OA＝OB．接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向迅速前进．指挥中心观测到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E、F处，∠EOF＝70°，EF＝180海里，且甲与乙的速度比为2：3，则甲舰艇的速度为 24 海里/小时．
【答案】24
【解答】解：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，延长CB到G，使BG＝AE，
由题意得，∠AON＝30°，
∴∠A＝60°，
∵∠OBC＝70°+50°＝120°，
∴∠OBG＝60°，
∴∠A＝∠OBG，
∵OA＝OB，
∴△AOE≌△BOG（SAS），
∴OE＝OG，∠AOE＝∠BOG，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，
∴∠EOG＝140°，
∵∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠GOF，
∵OF＝OF，
∴△EOF≌△GOF（SAS），
∴EF＝GF＝BG+BF＝AE+BF＝180（海里），
设甲的速度为2x海里/小时，乙的速度为3x海里/小时，
∴AE＝3×2x＝6x海里，BF＝3×3x＝9x海里，
∴9x+6x＝15x＝180，
∴x＝12，
∴2x＝24，
答：甲的速度为24海里/小时，
故答案为：24．
29．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是 90 cm．
【答案】90
【解答】解：在△OCF与△ODG中，，
∴△OCF≌△ODG（AAS），
∴CF＝DG＝40cm，
∴小明离地面的高度是50+40＝90（cm），
故答案为：90．
30．小明利用一根长3 m的竿子来测量路灯AB的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上左右移动，使∠CPD＝20°，此时测得BD＝11.2m．请根据这些数据，计算出路灯AB的高度．
【答案】路灯AB的高度是8.2m．
【解答】解：∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝70°．
在△CPD和△PAB中，
，
∴△CPD≌△PAB（ASA）．
∴DP＝AB．
∵BD＝11.2m，BP＝3m，
∴DP＝BD﹣BP＝8.2m，即AB＝8.2m．
答：路灯AB的高度是8.2m．
31．学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案．
课题 测量河两岸A、B两点间距离
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且CD＝BC； ②测得∠DCB＝100°，∠ADC＝65°； ③在CD的延长线上取点E，使得∠BEC＝15°； ④测得DE的长度为30米.
请你根据以上方案求出A、B两点间的距离AB．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠C＝100°，∠ADC＝65°，
∴∠CAD＝15°，
∴∠CAD＝∠BEC，
在△ACD与△ECB中，
，
∴△ACD≌△ECB（AAS），
∴AC＝CE，
又∵CB＝CD，
∴AB＝DE＝30米．
32．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
方案 方案一 方案二
测量示意图
测量说明 如图①，测量员在地面上找一点C，在BC连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与AB平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出CE的长度 如图②，测量员在地面上找一点C，沿着BC向前走到点D处，使得CD＝AC，沿着AC向前走到点E处，使得CE＝BC，测出D、E两点之间的距离
测量结果 CE＝20m，BD＝CD，CE∥AB AC＝CD，BC＝CE，DE＝20m
（1）经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①SSS；②ASA或AAS；③SAS，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？
答：方案一： ② .方案二： ③ ．
（2）请写出方案一计算水潭的宽度AB的过程．
【答案】（1）②．③；
（2）20m．
【解答】解：（1）方案一：根据平行线的性质可得两组相等的角，再加上已知的一组相等边，由“AAS”可证△BDA≌△CDE，根据全等三角形的性质可测量水潭的宽度；
方案二：有两组相等的边，以及它们对应的夹角相等，由“SAS”可证出△CAB≌△CDE，根据全等三角形的性质可测量水潭的宽度；
所以两种方案都能测量水潭的宽度．
故答案为：②．③；
（2）方案一：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠C，∠A＝∠E，
在△CDE和△BDA中，
，
∴△CDE≌△BDA（AAS），
∴CE＝BA＝20m．
方案二：在△CDE和△CAB中，
，
∴△CDE≌△CAB（SAS），
∴DE＝AB＝20m．
33．小明与爸爸妈妈在操场上荡秋千．小明坐在秋千上的起始位置A处，起始位置OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他，妈妈用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到秋千起始位置OA的水平距离BF，CG分别为1.8m和2.2m，∠BOC＝90°．
（1）△CGO与△OFB全等吗？请说明理由；
（2）请直接写出爸爸在距离地面多高的地方接住小明．
【答案】（1）△COG≌△OBF全等．理由见解析；
（2）爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的．
【解答】解：（1）△CGO与△OFB全等．
理由如下：
由题意可知∠BFO＝∠ODC＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COG+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°．
∴∠COG＝∠OBF，
在△COG和△OBF中，
，
∴△COG≌△OBF（AAS）；
（2）∵△COG≌△OBF，
∴CG＝OF，OG＝BF，
∵BF，CG分别为1.8m和2.2m，
∴FG＝OF﹣OG＝CG﹣BF＝2.2﹣1.8＝0.4（m），
∴AG＝1.2+0.4＝1.6（m），
答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的．
34．如图，四边形ABCD是某校的一块试验田，AC、AE、AF是三条小路（宽度忽略不计），已知∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在BC，DC上，某数学兴趣小组在实践活动测量中发现AE＝AF，CE＝CF，正准备继续测量AB与AD的长度来判断AB与AD是否相等时，小亮却说：不用测量了，AB＝AD．小亮的说法是否正确？请说明理由．
【答案】小亮的说法正确．理由见解析．
【解答】解：小亮的说法正确．
理由：在△ACE和△ACF中，
∵AE＝AF，CE＝CF，AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠ACE＝∠ACF，
∴CA是∠BCD的平分线．
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AB⊥CB，AD⊥CD，
∴AB＝AD．
35．如图，小亮站在河边的点A处，在河的对面（小亮的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30米到达一棵树点C处，接着再向前走了30米到达点D处，然后他左转90°向南直行，当小亮看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线上时，他共走了140米．求小亮在点A处时他与电线塔的距离．
【答案】小亮在点A处时他与电线塔的距离为90米．
【解答】解：根据题意知，AC＝DC＝30米．
∵AC+CD+DE＝140米，
∴DE＝140﹣30﹣30＝90（米）．
在△ABC与△DEC中，
．
∴△ABC≌△DEC（ASA）．
∴AB＝DE＝90米．
答：小亮在点A处时他与电线塔的距离为90米．
36．如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．
【答案】石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．理由见解答部分．
【解答】解：石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
又∵M为BC中点，
∴BM＝MC．
在△BEM和△CFM中，
，
∴△BEM≌△CFM（SAS），
∴ME＝MF．
即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．
37．综合实践：如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．
课题 测凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图（不完整）
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达D点； ③他到达D点后向左转90度直行，当自己、电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处.
测量数据 AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米
根据题意完成下列两个问题：
（1）请你根据题意帮助小明同学将测量方案示意图补充完整；
（2）你认为小明制定的方案正确吗？若正确，求出凉亭与游艇之间的距离．
【答案】（1）见图形；
（2）8米．
【解答】解：（1）测量方案示意图如图所示；
（2）小明制定的方案正确，
∵AC与河岸平行，AB与河岸垂直，∴
∴AB⊥AC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∵AC＝CD＝20米，∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE＝8米，
∴凉亭与游艇之间的距离是8米．
38．综合与实践
【实践背景】“五羊石像”位于广州市越秀公园内的越秀山木壳岗，主羊头部高高昂起，口中衔穗，回眸微笑，其余四羊环绕于主羊周围，姿态各异，造型优美，已经成为广州城市的标志．如图1所示的“五羊石像”，整个石像连基座高11米，A，B两点分别为石像底座的两端（其中A，B两点均在地面上）．
【实践主题】测量“五羊石像”底座的两端A，B的距离．
【实践方案】因为A，B两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
测量方案 图示
甲同学 如图2，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙同学 如图3，先确定直线AB，过点B作射线BE，在射线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交AB的延长线于点C，最后测量BC的长即可．
【实践探索】
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？ 甲 （填“甲”或“乙”）．
（2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：BE⊥AC ，并说明理由．
【答案】（1）甲；
（2）BE⊥AC，理由见解析．
【解答】解：（1）甲同学的方案可行，
理由如下：在△AOB和△COD中，
，
∴△COD≌△AOB（SAS），
∴DC＝AB，
即测出DC的长即为“五羊石像”底座的两端A，B的距离．
乙同学的方案不可行，因为只有两组对边对应相等，缺少证明三角形全等的条件．
故答案为：甲；
（2）如添加BE⊥AC（答案不唯一）．理由如下：
∵BE⊥AC，
∴∠CBD＝∠ABD＝90°，
在Rt△DBA与Rt△DBC中，
，
∴Rt△DBC≌Rt△DBA（HL）．
∴AB＝CB；
或添加∠ADB＝∠CDB，理由如下：
在△DBA与△DBC中，
，
∴△DBA≌△DBC（SAS）．
∴AB＝CB．
39．如图，A、B、C、D是四个村庄，B、D、C三村在一条东西走向公路的沿线上，且D村到B村、C村的距离相等；村庄A、C，A、D间也有公路相连，且公路AD是南北走向；只有村庄A、B之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AC＝3千米，AE＝1.2千米，BF＝0.7千米．试求建造的斜拉桥至少有多少千米？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意，知BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，AD＝AD，
则△ADB≌△ADC，
所以AB＝AC＝3，
故斜拉桥至少有3﹣1.2﹣0.7＝1.1（千米）．
40．如图，A、B、C、D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD＝QC，证明两条直路BP＝AQ且BP⊥AQ．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：由题意可得：AD＝AB＝BC＝DC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵PD＝QC，
∴AP＝DQ，
在△ADQ和△BAP中
，
∴△ADQ≌△BAP（SAS），
∴BP＝AQ，∠APB＝∠AQD，
∵∠DAQ+∠AQD＝90°，
∴∠DAQ+∠APB＝90°，
∴BP⊥AQ，
∴BP＝AQ且BP⊥AQ．
41．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
42．【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 EF＝BE+FD ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：初步探索：EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD，
探索延伸：结论仍然成立，
证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF＝FG，
∴FG＝DG+FD＝BE+DF；
结论运用：解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，
∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
∵OA＝OB，
∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
43．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝10m，BF＝3m，
∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．
44．要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD．如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD的长．你能说明其中的道理吗？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接AB、CD，
在△ABO和△DCO中，，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴AB＝CD．
45．数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A、B、C、D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA＝OB＝OC＝OD，E、F可以在中间的两根木条上滑动，AE＝CE＝BF＝DF．
求证：∠AOE＝∠EOF＝∠FOD．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠AOE＝∠COE，
同理∠COE＝∠FOD，
∴∠AOE＝∠EOF＝∠FOD．
46．如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：此时轮船没有偏离航线．
理由：由题意知：DA＝DB，AC＝BC，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴∠ADC＝∠BDC，
即DC为∠ADB的角平分线，
∴此时轮船没有偏离航线．
47．如图，有两座相同的楼房，两人在六楼A，C上看两楼之间的空地上的一盆花E时，视线与水平方向的夹角（俯角）相等（即∠CAE＝∠ECA），你能判定一盆花E到两座楼的距离相等吗？为什么？
【答案】能判定一盆花E到两座楼的距离相等，理由见解析．
【解答】解：能判定一盆花E到两座楼的距离相等，理由如下：
由题意得CD⊥BD，AB⊥BD，CD＝AB，∠CAE＝∠ECA，
∴CE＝AE，
在Rt△DCE和Rt△BAE中，
，
∴Rt△DCE≌Rt△BAE（HL），
∴ED＝EB，
∴一盆花E到两座楼的距离相等．
48．如图，某村庄有一块五边形的田地，AB＝AE＝CD＝60m，∠ABC＝∠AED＝90°，连接AC，AD，∠BAE＝2∠CAD．
（1）∠BAC，∠DAE与∠CAD之间的数量关系是 ∠BAC+∠DAE＝∠CAD ；
（2）为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，求建造本栅栏共需花费多少元？（提示：延长CB至点G，使BG＝DE）
【答案】（1）∠BAC+∠DAE＝∠CAD；
（2）12000元．
【解答】解：（1）∵∠BAE＝∠BAC+∠CAD+∠DAE，∠BAE＝2∠CAD，
∴∠BAC+∠CAD+∠DAE＝2∠CAD，
∴∠BAC+∠DAE＝∠CAD
故答案为：∠BAC+∠DAE＝∠CAD；
（2）如图，延长CB至点G，使GB＝ED，连接AG．
∴BC+DE＝BC+BG＝GC．
在△AGB与△ADE中，
，∴△AGB≌△ADE（SAS），
∴∠GAB＝∠DAE，AG＝AD．
∵∠BAC+∠DAE＝∠CAD，
∴∠BAC+∠GAB＝∠CAD，即∠GAC＝∠CAD．
在△AGC与△ADC中，
∴△AGC≌△ADC（SAS），
∴GC＝CD，
∴BC+ED＝CD＝60（米）．
五边形ABCDE的周长＝3×60+60＝240（米），240×50＝12000（元）．
答：建造木栅栏共需花费12000元．第四章第四节 利用三角形全等测距离
题型1 全等三角形的应用
题型1．全等三角形的应用（共48小题）
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
1．现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝12m，BC＝8m，CD＝14m，点E是AB边的中点．甲机器人从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C运动，同时乙机器人从点C出发沿CD向点D运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点P和点Q．如果能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则乙机器人的运动速度为（ ）
A．或 B．2m/s或
C．3m/s或 D．2m/s或3m/s
2．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长为12m．
那么，河的宽度是（ ）
A．8m B．10m C．12m D．15m
3．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
4．如图所示小明设计了一种测零件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，要使DC＝AB，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（ ）
A．AO＝CO B．BO＝DO
C．AC＝BD D．AO＝CO且BO＝DO
5．在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB和△DOC是全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案：
方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接AO，并延长到点C，使OC＝OA，连接图1BO，并延长到点D，使OD＝OB；③连接DC，测量DC的长度即可．
方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF＝OB，OE＝OA；③连接EF，测量EF的长度即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
7．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
8．如图所示的折着凳（图1），图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中登腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，利用你所学的知识求出CB的长度是（ ）
A．36cm B．40cm C．35cm D．30cm
9．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5cm，EF＝6cm，则该圆形容器的壁厚是（ ）
A．1cm B．0.8cm C．0.6cm D．0.5cm
10．如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
11．小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为（ ）
A．1m B．1.6m C．1.4m D．1.8m
12．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
13．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
14．如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
15．小良打碎了一块三角形玻璃如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，如果他带了两块玻璃，其中有一块是②，另一块是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
16．如图，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS
17．如图，要测量河中礁石A离岸边B点的距离，可以采用如下方法：顺着河岸方向任取一条线段BC，作∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA，可得△A′BC≌△ABC，所以A′B＝AB，所以测量A′B的长就是礁石A离岸边B点的距离．判定两个三角形全等的理由是（ ）
A．SSS B．AAS C．SAS D．ASA
18．如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS
19．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
20．为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
21．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），应该带第 块，就能配一块与原来一样大小的三角形．
22．跷跷板是儿童游乐场里常见的等臂杠杆应用．小明与小敏到游乐场玩跷跷板游戏，如图，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端．已知点O到地面的距离是50cm，当小敏从水平位置CD下降40cm时，小明离地面的高度是 cm．
23．如图，为了测量一幢高楼的高度，在木棍CD与高楼AB之间选定一点P，在点P处用测角仪测得木棍顶端C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝19°，测得楼顶A的视线PA与地面的夹角∠BPA＝71°，量得点P到楼底的距离PB与木棍高度相等，都等于5m，量得木棍与高楼之间的距离DB＝23m，则高楼的高度是 m．
24．为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，则每层楼的高度大约 米．
25．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度 ．
26．小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm．
27．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM．已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是 ．
28．为了捍卫国家主权，2022年中国人民海军多次在东海进行军事演习．在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且OA＝OB．接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向迅速前进．指挥中心观测到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E、F处，∠EOF＝70°，EF＝180海里，且甲与乙的速度比为2：3，则甲舰艇的速度为 海里/小时．
29．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是 cm．
30．小明利用一根长3 m的竿子来测量路灯AB的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上左右移动，使∠CPD＝20°，此时测得BD＝11.2m．请根据这些数据，计算出路灯AB的高度．
31．学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案．
课题 测量河两岸A、B两点间距离
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且CD＝BC； ②测得∠DCB＝100°，∠ADC＝65°； ③在CD的延长线上取点E，使得∠BEC＝15°； ④测得DE的长度为30米.
请你根据以上方案求出A、B两点间的距离AB．
32．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
方案 方案一 方案二
测量示意图
测量说明 如图①，测量员在地面上找一点C，在BC连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与AB平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出CE的长度 如图②，测量员在地面上找一点C，沿着BC向前走到点D处，使得CD＝AC，沿着AC向前走到点E处，使得CE＝BC，测出D、E两点之间的距离
测量结果 CE＝20m，BD＝CD，CE∥AB AC＝CD，BC＝CE，DE＝20m
（1）经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①SSS；②ASA或AAS；③SAS，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？
答：方案一： .方案二： ．
（2）请写出方案一计算水潭的宽度AB的过程．
33．小明与爸爸妈妈在操场上荡秋千．小明坐在秋千上的起始位置A处，起始位置OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他，妈妈用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到秋千起始位置OA的水平距离BF，CG分别为1.8m和2.2m，∠BOC＝90°．
（1）△CGO与△OFB全等吗？请说明理由；
（2）请直接写出爸爸在距离地面多高的地方接住小明．
34．如图，四边形ABCD是某校的一块试验田，AC、AE、AF是三条小路（宽度忽略不计），已知∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在BC，DC上，某数学兴趣小组在实践活动测量中发现AE＝AF，CE＝CF，正准备继续测量AB与AD的长度来判断AB与AD是否相等时，小亮却说：不用测量了，AB＝AD．小亮的说法是否正确？请说明理由．
35．如图，小亮站在河边的点A处，在河的对面（小亮的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30米到达一棵树点C处，接着再向前走了30米到达点D处，然后他左转90°向南直行，当小亮看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线上时，他共走了140米．求小亮在点A处时他与电线塔的距离．
36．如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．
37．综合实践：如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．
课题 测凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图（不完整）
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达D点； ③他到达D点后向左转90度直行，当自己、电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处.
测量数据 AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米
根据题意完成下列两个问题：
（1）请你根据题意帮助小明同学将测量方案示意图补充完整；
（2）你认为小明制定的方案正确吗？若正确，求出凉亭与游艇之间的距离．
38．综合与实践
【实践背景】“五羊石像”位于广州市越秀公园内的越秀山木壳岗，主羊头部高高昂起，口中衔穗，回眸微笑，其余四羊环绕于主羊周围，姿态各异，造型优美，已经成为广州城市的标志．如图1所示的“五羊石像”，整个石像连基座高11米，A，B两点分别为石像底座的两端（其中A，B两点均在地面上）．
【实践主题】测量“五羊石像”底座的两端A，B的距离．
【实践方案】因为A，B两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
测量方案 图示
甲同学 如图2，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙同学 如图3，先确定直线AB，过点B作射线BE，在射线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交AB的延长线于点C，最后测量BC的长即可．
【实践探索】
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？ （填“甲”或“乙”）．
（2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件： ，并说明理由．
39．如图，A、B、C、D是四个村庄，B、D、C三村在一条东西走向公路的沿线上，且D村到B村、C村的距离相等；村庄A、C，A、D间也有公路相连，且公路AD是南北走向；只有村庄A、B之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AC＝3千米，AE＝1.2千米，BF＝0.7千米．试求建造的斜拉桥至少有多少千米？
40．如图，A、B、C、D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD＝QC，证明两条直路BP＝AQ且BP⊥AQ．
41．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
42．【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
43．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
44．要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD．如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD的长．你能说明其中的道理吗？
45．数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A、B、C、D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA＝OB＝OC＝OD，E、F可以在中间的两根木条上滑动，AE＝CE＝BF＝DF．
求证：∠AOE＝∠EOF＝∠FOD．
46．如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由．
47．如图，有两座相同的楼房，两人在六楼A，C上看两楼之间的空地上的一盆花E时，视线与水平方向的夹角（俯角）相等（即∠CAE＝∠ECA），你能判定一盆花E到两座楼的距离相等吗？为什么？
48．如图，某村庄有一块五边形的田地，AB＝AE＝CD＝60m，∠ABC＝∠AED＝90°，连接AC，AD，∠BAE＝2∠CAD．
（1）∠BAC，∠DAE与∠CAD之间的数量关系是 ；
（2）为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，求建造本栅栏共需花费多少元？（提示：延长CB至点G，使BG＝DE）
