第一章第二节 整式的乘法
题型1 单项式乘单项式 题型2 单项式乘多项式
题型3 多项式乘多项式
题型1．单项式乘单项式（共20小题）
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
1．已知a、b、c、d均为常数，e、f均为非零常数，若有两个整式A＝x2+ex+f，B＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，下列结论中，正确个数为（ ）
①当A+B为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10；
②当多项式A B乘积不含x4时，则e＝6；
③a+b+c＝19；
④当A能被x﹣2整除时，2e+f＝﹣4；
⑤若x＝2m或m﹣2时，无论e和f取何值，A值总相等，则m＝﹣2．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．下列计算正确的是（ ）
A．2a 4a＝8a B．a3 a4＝a7 C．a8÷a4＝a2 D．（a3）4＝a7
3．长方形的长为6x2y，宽为3xy，则它的面积为（ ）
A．9x3y2 B．18x3y2 C．18x2y D．6xy2
4．一个长方形的宽是1.5×102cm，长是宽的6倍，则这个长方形的面积（用科学记数法表示）是（ ）
A．13.5×104 cm2 B．1.35×105 cm2
C．1.35×104 cm2 D．1.35×103 cm2
5．下列算式：①3a3 （2a2）2＝12a12；②（2×103）（103）＝106；③﹣3xy （﹣2xyz）2＝12x3y3z2；④4x3 5x4＝9x12．其中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如果“□×2ab＝2a2b”，那么“□”内应填的代数式是（ ）
A．ab B．2ab C．a D．2a
7．下列运算正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9
B．2a3×3a5＝5a9
C．（a﹣b）3 （b﹣a）2＝（a﹣b）5
D．（﹣xy2z）2＝﹣x2y4z2
8．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．2a2 3a3＝5a5 B．﹣3a2 （﹣2a）＝﹣6a3
C．2a3 5a2＝10a5 D．（﹣a）2 （﹣a）3＝a5
9．下列计算中，错误的是（ ）
A．（2xy）3（﹣2xy）2＝32x5y5
B．（﹣2ab2）2（﹣3a2b）3＝﹣108a8b7
C．
D．
10．（﹣2x3）3 （x2）2＝ ．
11．湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ．
账号：shulishijie [x19y8z8]＝1988 [x2yz x3y]＝521 [（x5）5y4z6÷x5y2z]＝密码
12．若（am+1bn+2） （a2n﹣1bn）＝a5b3，则m+n的值为 ．
13．计算： ．
14．计算式子（4×106）×（﹣8×108）的结果用科学记数法表示为 ．
15．计算5x2y （﹣3xy3）＝ ．
16．计算：
（1）﹣4xy2 （xy2）2 （﹣2x2）3；
（2）（﹣a3b6）2+（﹣a2b4）3．
17．计算：
（1）（n﹣m）3（m﹣n）2﹣（m﹣n）5；
（2）（﹣0.25）12×413；
（3）2x5 x5+（﹣x）2 x（﹣x）7；
（4）（﹣2a2b3）4+（﹣a）8 （b4）3．
18．计算：
（1）x2y （﹣2x3y）2；
（2）（﹣a2b）3+a4b （﹣2ab）2．
19．计算：
20．计算：
（1）2x3y2 （﹣2xy2z）2；
（2）（﹣2x2）3+x2 x4﹣（﹣3x3）2．
题型2．单项式乘多项式（共20小题）
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
21．已知x2+2x﹣1＝0，则代数式4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
22．定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（ ）
A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2
C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2
23．要使﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，则a等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．如果计算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的结果不含x5项，那么m的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
25．计算（﹣m2）3 （2m+1）的结果是（ ）
A．﹣2m7﹣m6 B．﹣2m6+m6 C．﹣2m7﹣m5 D．﹣2m6﹣m5
26．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a3）3＝﹣a6 B．3a2 2a3＝6a5
C．﹣a（﹣a+1）＝﹣a2+a D．a2+a3＝a5
27．化简5a （2a2﹣ab），结果正确的是（ ）
A．﹣10a3﹣5ab B．10a3﹣5a2b
C．﹣10a2+5a2b D．﹣10a3+5a2b
28．已知ab2＝﹣1，则﹣ab（a2b5﹣ab3﹣b）的值等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定
29．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy
30．已知M＝x2﹣ax+3，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5且M N+P的值与x2的取值无关，则a的值为 ．
31．计算：a（a+3）＝ ．
32．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了．
x（x+2）﹣3（◆） ＝x2+2x﹣6x+3 ＝■
（1）被污染的整式◆＝ ；■＝ ；
（2）已知x≠1，判断整式◆与■的和与1的大小关系，并说明理由．
33．已知x2﹣2＝y，求x（x﹣3y）+y（3x﹣1）﹣2的值．
34．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽（a+2b）米，坝高米．
（1）求防洪堤坝的横断面积；
（2）如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
35．计算：
（1）（2ab）2﹣4a2b（b+1）；
（2）（﹣2x2）3+x2 x4﹣（﹣3x3）2．
36．张老师让同学们计算“当a＝0.25，b＝﹣0.37时，a2+a（a+b）﹣2a2﹣ab的值”．小刚说，不用条件就可以求出结果．你认为他说得对吗？
37．计算：a（a+2b）﹣2ab．
38．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（xy）＝3x2y﹣xy2xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x，y，求所捂多项式的值．
39．当m、n为何值时，x[x（x+m）+nx（x+1）+m]的展开式中，不含有x2和x3的项？
40．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？
题型3．多项式乘多项式（共20小题）
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
41．如果（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
42．若关于x的多项式（x2+ax+1）（x﹣3）展开合并后不含x2项，则a的值是（ ）
A．3 B． C．0 D．﹣2
43．观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣9x+14，则a，b的值可能分别是（ ）
A．﹣2，﹣7 B．﹣2，7 C．2，﹣7 D．2，7
44．已知a+b＝2，ab＝3，则（1﹣a）（1﹣b）＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．2
45．已知m+n＝2，mn＝﹣1，则（m﹣2）（n﹣2）的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣5
46．如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则（a+1）（b+1）的值为（ ）
A．27 B．30 C．33 D．36
47．若（x2+px+8）（x2﹣3x﹣q）乘积中不含x2和x3项，则p＝（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．
48．根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）
A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2
C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2
D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2
49．现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各15张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为（5x+4y）和（3x+y）的长方形．下列判断正确的是（ ）
A．甲种纸片剩余7张
B．丙种纸片剩余10张
C．乙种纸片缺少2张
D．甲种和乙种纸片都不够用
50．若关于x的多项式（2x+4）（x﹣k）展开后不含有x一次项，则实数k的值为 ．
51．已知m+n＝2，mn＝﹣4，则（1﹣m）（1﹣n）＝ ．
52．若（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项，则代数式mn的值为 ．
53．从前，一位农场主把一块长a米、宽b米（b＞5）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，还是长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏！”，则第二年张老汉的租地面积是 米2，相比第一年的租地面积 ．（填：变大、变小或没有变化）
54．如果多项式ax+b与2x+1的乘积展开式中不含x的一次项且常数项为6，则a+b的值为 ．
55．如图，这是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
（1）多项式A为 ，多项式B为 ，例题的计算结果为 ；
（2）计算：A B+A2．
56．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）
（2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
57．小诚计算（3x﹣3a）（5x+a）时，由于把第一个多项式中的“﹣3a”看成了“+3a”，得到的结果为．
（1）求a的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
58．八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】．
【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘．
【核心概念】
素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”．
素材2：我们知道，（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2．利用多项式的乘法运算，还可以得到：（a+b）3＝（a+b）（a2+2ab+b2）＝a3+3a2b+3ab2+b3．当a+b≠0时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：
【任务规划】
（1）任务：请根据素材1和素材2直接写出：
①（a+b）4展开式中a3b的系数是 ；
②（a+b）10展开式中所有项的系数和为 ；
【项目成效】
（2）成果展示：若，求a1+a2+a3+ +a2024+a2025的值．
【拓展应用】
（3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记an，求的值．
59．（1）已知关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，则ab的值？
（2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
60．有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．
（1）①计算：S甲＝ ，S乙＝ ；
②用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲 S乙．
（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．
①该正方形的边长是 （用含m的代数式表示）；
②小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．第一章第二节 整式的乘法
题型1 单项式乘单项式 题型2 单项式乘多项式
题型3 多项式乘多项式
题型1．单项式乘单项式（共20小题）
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
1．已知a、b、c、d均为常数，e、f均为非零常数，若有两个整式A＝x2+ex+f，B＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，下列结论中，正确个数为（ ）
①当A+B为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10；
②当多项式A B乘积不含x4时，则e＝6；
③a+b+c＝19；
④当A能被x﹣2整除时，2e+f＝﹣4；
⑤若x＝2m或m﹣2时，无论e和f取何值，A值总相等，则m＝﹣2．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：∵A＝x2+ex+f，B＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，
∴A+B＝（5x3﹣6x2+10）+（x2+ex+f）＝5x3﹣5x2+ex+10+f，
∵e为非零常数，
∴10+f＝0，即f＝﹣10；
故说法①正确；
A B＝（5x3﹣6x2+10）×（x2+ex+f）
＝5x5+5ex4+5fx3﹣6x4﹣6ex3﹣6fx2+10x2+10ex+10f
＝5x5+（5e﹣6）x4+（5f﹣6e）x3+（10﹣6f）x2+10ex+10f
∵多项式A B乘积不含x4，
∴5e﹣6＝0，解得：，故说法②错误；
∵B＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，
当x＝1时，B＝5×13﹣6×12+10＝a（1﹣1）3+b（1﹣1）2+c（1﹣1）+d，
即d＝9，
当x＝2时，B＝5×23﹣6×22+10＝a（2﹣1）3+b（2﹣1）2+c（2﹣1）+d，
即a+b+c+d＝26，
∴a+b+c＝26﹣d＝17，故③说法错误；
∵A能被x﹣2整除，
∴可设A＝（x﹣2）（x+n），
∵A＝x2+ex+f
∴（x﹣2）（x+n）＝x2+ex+f，
令x＝2得：（2﹣2）（2+n）＝22+2e+f，即4+2e+f＝0
∴2e+f＝﹣4，故④说法正确；
当x＝2m时，A＝（2m）2+e×2m+f＝4m2+2me+f，
当x＝m﹣2时，A＝（m﹣2）2+（m﹣2）e+f，
∵当x＝2m或m﹣2时，无论e和f取何值，A值总相等，
∴4m2＝（m﹣2）2且2m＝m﹣2，
解得：m＝﹣2，故⑤说法正确；
正确的有：①④⑤，共3个．
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．2a 4a＝8a B．a3 a4＝a7 C．a8÷a4＝a2 D．（a3）4＝a7
【答案】B
【解答】解：A．原式＝8a2，故本选项不符合题意；
B．原式＝a7，故本选项符合题意；
C．原式＝a4，故本选项不符合题意；
D．原式＝a12，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．长方形的长为6x2y，宽为3xy，则它的面积为（ ）
A．9x3y2 B．18x3y2 C．18x2y D．6xy2
【答案】B
【解答】解：∵长方形的长为6x2y，宽为3xy，
∴长方形的面积＝6x2y 3xy＝18x3y2，
故选：B．
4．一个长方形的宽是1.5×102cm，长是宽的6倍，则这个长方形的面积（用科学记数法表示）是（ ）
A．13.5×104 cm2 B．1.35×105 cm2
C．1.35×104 cm2 D．1.35×103 cm2
【答案】B
【解答】解：长是6×1.5×102＝9×102（cm），
则长方形的面积是1.5×102×9×102＝13.5×104＝1.35×105（cm2）．
故选：B．
5．下列算式：①3a3 （2a2）2＝12a12；②（2×103）（103）＝106；③﹣3xy （﹣2xyz）2＝12x3y3z2；④4x3 5x4＝9x12．其中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：①3a3 （2a2）2＝12a7，不合题意；
②（2×103）（103）＝106，正确，符合题意；
③﹣3xy （﹣2xyz）2＝﹣12x3y3z2，不合题意；
④4x3 5x4＝20x7，不合题意；
故选：B．
6．如果“□×2ab＝2a2b”，那么“□”内应填的代数式是（ ）
A．ab B．2ab C．a D．2a
【答案】C
【解答】解：∵□×2ab＝2a2b，
∴2a2b÷2ab＝a，
故“□”内应填的代数式是a．
故选：C．
7．下列运算正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9
B．2a3×3a5＝5a9
C．（a﹣b）3 （b﹣a）2＝（a﹣b）5
D．（﹣xy2z）2＝﹣x2y4z2
【答案】C
【解答】解：a4与a5不是同类项，不能合并，
故A不符合题意；
2a3×3a5＝6a8，
故B不符合题意；
（a﹣b）3 （b﹣a）2
＝（a﹣b）3 （a﹣b）2
＝（a﹣b）5，
故C符合题意；
（﹣xy2z）2＝x2y4z2，
故D不符合题意，
故选：C．
8．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．2a2 3a3＝5a5 B．﹣3a2 （﹣2a）＝﹣6a3
C．2a3 5a2＝10a5 D．（﹣a）2 （﹣a）3＝a5
【答案】C
【解答】解：∵2a2 3a3＝6a5，
∴选项A不符合题意；
∵﹣3a2 （﹣2a）＝6a3，
∴选项B不符合题意；
∵2a3 5a2＝10a5，
∴选项C符合题意；
∵（﹣a）2 （﹣a）3＝﹣a5，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
9．下列计算中，错误的是（ ）
A．（2xy）3（﹣2xy）2＝32x5y5
B．（﹣2ab2）2（﹣3a2b）3＝﹣108a8b7
C．
D．
【答案】D
【解答】解：A、（2xy）3（﹣2xy）2＝8x3y3×4x2y2＝32x5y5，故此选项正确；
B、（﹣2ab2）2（﹣3a2b）3＝4a2b4×（﹣27）a6b3＝﹣108a8b7，故此选项正确；
C、（xy）2（x2y）x2y2x2y＝x4y3，故此选项正确；
D、（m2n）（mn2）2m2nm2n4m4n5，故此选项错误．
故选：D．
10．（﹣2x3）3 （x2）2＝ ﹣8x13 ．
【答案】﹣8x13．
【解答】解：（﹣2x3）3 （x2）2
＝﹣8x9 x4
＝﹣8x13．
故答案为：﹣8x13．
11．湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 2025 ．
账号：shulishijie [x19y8z8]＝1988 [x2yz x3y]＝521 [（x5）5y4z6÷x5y2z]＝密码
【答案】2025．
【解答】解：根据题意可知，密码为x、y、z的指数，
又∵[（x5）5y4z6÷x5y2z]＝[x20y2z5]，
∴密码是2025．
故答案为：2025．
12．若（am+1bn+2） （a2n﹣1bn）＝a5b3，则m+n的值为 ．
【答案】．
【解答】解：由条件可得2n+2＝3，m+2n＝5，解得，
代入m+2n＝5，则m＝4．
∴．
故答案为：．
13．计算： 3a4b3 ．
【答案】3a4b3．
【解答】解：原式＝﹣9×（）a3 a b b2＝3a4b3．
故答案为：3a4b3．
14．计算式子（4×106）×（﹣8×108）的结果用科学记数法表示为 ﹣3.2×1015 ．
【答案】﹣3.2×1015．
【解答】解：（4×106）×（﹣8×108）
＝4×（﹣8）×106×108
＝﹣32×1014
＝﹣3.2×1015，
故答案为：﹣3.2×1015．
15．计算5x2y （﹣3xy3）＝ ﹣15x3y4 ．
【答案】﹣15x3y4
【解答】解：5x2y （﹣3xy3）
＝[5×（﹣3）]（x2 x）（y y3）
＝﹣15x3y4．
故答案为﹣15x3y4．
16．计算：
（1）﹣4xy2 （xy2）2 （﹣2x2）3；
（2）（﹣a3b6）2+（﹣a2b4）3．
【答案】（1）32x9y6；
（2）0．
【解答】解：（1）﹣4xy2 （xy2）2 （﹣2x2）3
＝﹣4xy2 x2y4 （﹣8x6）
＝32x9y6；
（2）（﹣a3b6）2+（﹣a2b4）3
＝a6b12﹣a6b12
＝0．
17．计算：
（1）（n﹣m）3（m﹣n）2﹣（m﹣n）5；
（2）（﹣0.25）12×413；
（3）2x5 x5+（﹣x）2 x（﹣x）7；
（4）（﹣2a2b3）4+（﹣a）8 （b4）3．
【答案】（1）2（n﹣m）5；
（2）4；
（3）x10；
（4）17a8b12．
【解答】解：（1）（n﹣m）3（m﹣n）2﹣（m﹣n）5
＝（n﹣m）3（n﹣m）2+（n﹣m）5
＝（n﹣m）5+（n﹣m）5
＝2（n﹣m）5；
（2）（﹣0.25）12×413
＝（﹣0.25）12×412×4
＝（﹣1）12×4
＝4；
（3）2x5 x5+（﹣x）2 x（﹣x）7
＝2x10﹣x10
＝x10；
（4）（﹣2a2b3）4+（﹣a）8 （b4）3
＝16a8b12+a8b12
＝17a8b12．
18．计算：
（1）x2y （﹣2x3y）2；
（2）（﹣a2b）3+a4b （﹣2ab）2．
【答案】（1）4x8y3；（2）3a6b3．
【解答】解：（1）x2y （﹣2x3y）2
＝x2y×4x6y2
＝4x8y3；
（2）（﹣a2b）3+a4b （﹣2ab）2
＝﹣a6b3+a4b×4a2b2
＝﹣a6b3+4a6b3
＝3a6b3；
19．计算：
【答案】．
【解答】解：，
．
20．计算：
（1）2x3y2 （﹣2xy2z）2；
（2）（﹣2x2）3+x2 x4﹣（﹣3x3）2．
【答案】（1）8x5y6z2；
（2）﹣16x6．
【解答】解：（1）2x3y2 （﹣2xy2z）2
＝2x3y2 4x2y4z2
＝8x5y6z2；
（2）（﹣2x2）3+x2 x4﹣（﹣3x3）2
＝﹣8x6+x6﹣9x6
＝﹣16x6．
题型2．单项式乘多项式（共20小题）
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
21．已知x2+2x﹣1＝0，则代数式4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，x2+2x＝1，
∴原式＝4x2+4x﹣2x2﹣3
＝2x2+4x﹣3
＝2（x2+2x）﹣3
＝2×1﹣3
＝﹣1．
故选：B．
22．定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（ ）
A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2
C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2
【答案】B
【解答】解：根据题意得：原式＝9mn×（8m+5n）＝72m2n+45mn2．
故选：B．
23．要使﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，则a等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：原式＝﹣x5﹣ax4﹣x3+2x4
＝﹣x5+（2﹣a）x4﹣x3
∵﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，
∴2﹣a＝0，
解得，a＝2．
故选：B．
24．如果计算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的结果不含x5项，那么m的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
【答案】A
【解答】解：∵（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）
＝﹣8x2+4nx3﹣12x4﹣4mx5，
又∵计算的结果不含x5项，
∴﹣4m＝0．
∴m＝0．
故选：A．
25．计算（﹣m2）3 （2m+1）的结果是（ ）
A．﹣2m7﹣m6 B．﹣2m6+m6 C．﹣2m7﹣m5 D．﹣2m6﹣m5
【答案】A
【解答】解：原式＝﹣m6（2m+1）
＝﹣m6 2m﹣m6 1
＝﹣2m7﹣m6，
故选：A．
26．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a3）3＝﹣a6 B．3a2 2a3＝6a5
C．﹣a（﹣a+1）＝﹣a2+a D．a2+a3＝a5
【答案】B
【解答】解：A、（﹣a3）3＝﹣a9≠﹣a6，故该选项错误，不符合题意；
B、3a2 2a3＝6a5，故该选项正确，符合题意；
C、﹣a（﹣a+1）＝a2﹣a≠﹣a2+a，故该选项错误，不符合题意；
D、a2+a3≠a5，故该选项错误，不符合题意．
故选：B．
27．化简5a （2a2﹣ab），结果正确的是（ ）
A．﹣10a3﹣5ab B．10a3﹣5a2b
C．﹣10a2+5a2b D．﹣10a3+5a2b
【答案】B
【解答】解：5a （2a2﹣ab）＝10a3﹣5a2b，
故选：B．
28．已知ab2＝﹣1，则﹣ab（a2b5﹣ab3﹣b）的值等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵ab2＝﹣1，
∴原式＝﹣（ab2）3+（ab2）2+ab2＝1+1﹣1＝1，
故选：C．
29．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy
【答案】A
【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．
故选：A．
30．已知M＝x2﹣ax+3，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5且M N+P的值与x2的取值无关，则a的值为 ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：∵M＝x2﹣ax+3，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5，
∴M N+P
＝（x2﹣ax+3） （﹣x）+（x3+3x2+5）
＝﹣x3+ax2﹣3x+x3+3x2+5
＝（a+3）x2﹣3x+5，
∵M N+P的值与x2的取值无关，
∴a+3＝0，
解得a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
31．计算：a（a+3）＝a2+3a ．
【答案】a2+3a
【解答】解：a（a+3）＝a2+3a．
故答案为：a2+3a．
32．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了．
x（x+2）﹣3（◆） ＝x2+2x﹣6x+3 ＝■
（1）被污染的整式◆＝ 2x﹣1 ；■＝x2﹣4x+3 ；
（2）已知x≠1，判断整式◆与■的和与1的大小关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由条件可得◆＝2x﹣1，■＝x2﹣4x+3；
故答案为：2x﹣1，x2﹣4x+3；
（2）由条件可得：◆+■﹣1＝2x﹣1+x2﹣4x+3﹣1＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＞0，
∴◆与■的和大于1．
33．已知x2﹣2＝y，求x（x﹣3y）+y（3x﹣1）﹣2的值．
【答案】0．
【解答】解：∵x2﹣2＝y，
∴x2﹣y＝2，
∴x（x﹣3y）+y（3x﹣1）﹣2
＝x2﹣3xy+3xy﹣y﹣2
＝x2﹣y﹣2
＝2﹣2
＝0．
34．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽（a+2b）米，坝高米．
（1）求防洪堤坝的横断面积；
（2）如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）防洪堤坝的横断面积S[a+（a+2b）]a
a（2a+2b）
a2ab．
故防洪堤坝的横断面积为（a2ab）平方米；
（2）堤坝的体积V＝Sh＝（a2ab）×100＝50a2+50ab．
故这段防洪堤坝的体积是（50a2+50ab）立方米．
35．计算：
（1）（2ab）2﹣4a2b（b+1）；
（2）（﹣2x2）3+x2 x4﹣（﹣3x3）2．
【答案】（1）﹣4a2b；
（2）﹣16x6．
【解答】解：（1）原式＝4a2b2﹣4a2b2﹣4a2b
＝﹣4a2b；
（2）原式＝﹣8x6+x6﹣9x6
＝﹣16x6．
36．张老师让同学们计算“当a＝0.25，b＝﹣0.37时，a2+a（a+b）﹣2a2﹣ab的值”．小刚说，不用条件就可以求出结果．你认为他说得对吗？
【答案】小刚说的对，理由详见解答．
【解答】解：小刚说的对，理由：
a2+a（a+b）﹣2a2﹣ab
＝a2+a2+ab﹣2a2﹣ab
＝0，
由于结果与a，b的值无关，因此小刚说得对．
37．计算：a（a+2b）﹣2ab．
【答案】a2．
【解答】解：a（a+2b）﹣2ab
＝a2+2ab﹣2ab
＝a2．
38．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（xy）＝3x2y﹣xy2xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x，y，求所捂多项式的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设多项式为A，
则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）＝﹣6x+2y﹣1．
（2）∵x，y，
∴原式＝﹣621＝﹣4+1﹣1＝﹣4．
39．当m、n为何值时，x[x（x+m）+nx（x+1）+m]的展开式中，不含有x2和x3的项？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x[x（x+m）+nx（x+1）+m]x（x2+mx+nx2+nx+m）（1+n）x3（m+n）x2mx，
根据结果中不含x2和x3的项，得到1+n＝0，m+n＝0，
解得：m＝1，n＝﹣1．
40．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：这个多项式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）＝4x2﹣4x+1，
正确的计算结果是：（4x2﹣4x+1） （﹣3x2）＝﹣12x4+12x3﹣3x2．
题型3．多项式乘多项式（共20小题）
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
41．如果（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【答案】A
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，
又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，
∴3+m＝0，
解得m＝﹣3．
故选：A．
42．若关于x的多项式（x2+ax+1）（x﹣3）展开合并后不含x2项，则a的值是（ ）
A．3 B． C．0 D．﹣2
【答案】A．
【解答】解：∵多项式（x2+ax+1）（x﹣3）＝x3+（a﹣3）x2+（1﹣3a）x﹣3不含x2项，
∴a﹣3＝0，
解得a＝3．
故选：A．
43．观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣9x+14，则a，b的值可能分别是（ ）
A．﹣2，﹣7 B．﹣2，7 C．2，﹣7 D．2，7
【答案】A
【解答】解：根据题意，知：a+b＝﹣9，ab＝14，
∴a，b的值可能分别是﹣2，﹣7，
故选：A．
44．已知a+b＝2，ab＝3，则（1﹣a）（1﹣b）＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．2
【答案】D
【解答】解：∵a+b＝2，ab＝3，
∴（1﹣a）（1﹣b）＝1﹣b﹣a+ab＝1﹣（b+a）+ab＝1﹣2+3＝2；
故选：D．
45．已知m+n＝2，mn＝﹣1，则（m﹣2）（n﹣2）的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣5
【答案】C
【解答】解：∵m+n＝2，mn＝﹣1，
∴（m﹣2）（n﹣2）
＝mn﹣2m﹣2n+4
＝mn﹣2（m+n）+4
＝﹣1﹣2×2+4
＝﹣1，
故选：C．
46．如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则（a+1）（b+1）的值为（ ）
A．27 B．30 C．33 D．36
【答案】A
【解答】解：由题意得：2（a+b）＝18，ab＝17，
∴a+b＝9，
∴（a+1）（b+1）
＝ab+a+b+1
＝17+9+1
＝27，
故选：A．
47．若（x2+px+8）（x2﹣3x﹣q）乘积中不含x2和x3项，则p＝（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．
【答案】A
【解答】解：（x2+px+8）（x2﹣3x﹣q）
＝x4+px3+8x2﹣3x3﹣3px2﹣24x﹣qx2﹣pqx﹣8q
＝x4+（p﹣3）x3+（8﹣3p﹣q）x2﹣（24+pq）x﹣8q．
∵（x2+px+8）（x2﹣3x﹣q）乘积中不含x2和x3项，
∴p﹣3＝0．
∴p＝3．
故选：A．
48．根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）
A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2
C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2
D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2
【答案】A
【解答】解：根据图2的面积得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，
故选：A．
49．现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各15张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为（5x+4y）和（3x+y）的长方形．下列判断正确的是（ ）
A．甲种纸片剩余7张
B．丙种纸片剩余10张
C．乙种纸片缺少2张
D．甲种和乙种纸片都不够用
【答案】C
【解答】解：∵（5x+4y）（3x+y）＝15x2+17xy+4y2，
∴要拼接一个长、宽分别为（5x+4y）和（3x+y）的长方形，需要甲种纸片15张，乙种纸片17张，丙种纸片4张，
∴乙种纸片缺少2张．
故选：C．
50．若关于x的多项式（2x+4）（x﹣k）展开后不含有x一次项，则实数k的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵多项式（2x+4）（x﹣k）＝2x2+（4﹣2k）x﹣4k不含x项，
∴4﹣2k＝0，
解得k＝2．
故答案为：2．
51．已知m+n＝2，mn＝﹣4，则（1﹣m）（1﹣n）＝ ﹣5 ．
【答案】﹣5
【解答】解：（1﹣m）（1﹣n）＝1﹣（m+n）+mn，
∵m+n＝2，mn＝﹣4，
∴原式＝1﹣2﹣4＝﹣5．
故答案为：﹣5．
52．若（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项，则代数式mn的值为 8 ．
【答案】8．
【解答】解：（x2+mx）（x2+2x﹣n）
＝x4+2x3﹣nx2+mx3+2mx2﹣mnx
＝x4+（2+m）x3+（2m﹣n）x2﹣mnx，
∵（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项，
∴，
由①得：m＝﹣2，
把m＝﹣2代入②得：n＝﹣4，
∴mn＝（﹣2）×（﹣4）＝8，
故答案为：8．
53．从前，一位农场主把一块长a米、宽b米（b＞5）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，还是长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏！”，则第二年张老汉的租地面积是 （ab﹣5a+5b﹣25） 米2，相比第一年的租地面积 变小 ．（填：变大、变小或没有变化）
【答案】（ab﹣5a+5b﹣25）；变小．
【解答】解：第一年张老汉租地面积是：ab平方米，
第二年张老汉租地面积是：（a+5）（b﹣5）＝（ab﹣5a+5b﹣25）平方米；
∵ab﹣（ab﹣5a+5b﹣25）＝5a﹣5b+25＝5（a﹣b）+25，a﹣b＞0，
∴ab＞ab﹣5a+5b﹣25，
∴第二年张老汉的租地面积相比第一年的租地面积变小．
故答案为：（ab﹣5a+5b﹣25）；变小．
54．如果多项式ax+b与2x+1的乘积展开式中不含x的一次项且常数项为6，则a+b的值为 ﹣6 ．
【答案】﹣6
【解答】解：由题意得：
（ax+b）（2x+1）＝2ax2+ax+2bx+b＝2ax2+（a+2b）x+b，
∴b＝6，a+2b＝0，
∴a＝﹣12，b＝6．
故答案为：﹣6．
55．如图，这是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
（1）多项式A为 2x+y ，多项式B为 2x﹣y ，例题的计算结果为 y2+4x2 ；
（2）计算：A B+A2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）A＝2x+y，B＝2x﹣y，
原式＝2xy+y2+4x2﹣2xy
＝y2+4x2，
故答案为：2x+y；2x﹣y；y2+4x2．
（2）A B+A2
＝（2x+y） （2x﹣y）+（2x+y）2
＝（2x）2﹣y2+4x2+4xy+y2
＝8x2+4xy．
56．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）
（2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5a2+3ab；
（2）当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）．
57．小诚计算（3x﹣3a）（5x+a）时，由于把第一个多项式中的“﹣3a”看成了“+3a”，得到的结果为．
（1）求a的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）由题意得，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）（3x﹣3a）（5x+a）
＝15x2﹣15ax+3ax﹣3a2
＝15x2﹣12ax﹣3a2，
当时，原式．
58．八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】．
【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘．
【核心概念】
素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”．
素材2：我们知道，（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2．利用多项式的乘法运算，还可以得到：（a+b）3＝（a+b）（a2+2ab+b2）＝a3+3a2b+3ab2+b3．当a+b≠0时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：
【任务规划】
（1）任务：请根据素材1和素材2直接写出：
①（a+b）4展开式中a3b的系数是 4 ；
②（a+b）10展开式中所有项的系数和为 210 ；
【项目成效】
（2）成果展示：若，求a1+a2+a3+ +a2024+a2025的值．
【拓展应用】
（3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记an，求的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①根据已知可得，（a+b）4展开式中a3b的系数是4；
②根据已知可得，（a+b）0展开式中所有项的系数和为1＝20，
（a+b）2展开式中所有项的系数和为1+2+1＝22，
（a+b）3展开式中所有项的系数和为1+3+3+1＝8＝23，
（a+b）4展开式中所有项的系数和为1+4+6+4+1＝24，
，
则（a+b）10展开式中所有项的系数和为210．
故答案为：4；210．
（2）∵，
∴当x＝0时，，
当x＝1时，a1+a2+a3+ +a2024+a2025+a2026＝1，
∴a1+a2+a3+ +a2024+a2025＝2．
（3）由题意可得：a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，
，
∴，
∴
．
59．（1）已知关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，则ab的值？
（2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【答案】（1）；
（2）x+4，20．
【解答】解：（1）（ax﹣b）（3x2+x+2）
＝3ax3+ax2+2ax﹣3bx2﹣bx﹣2b
＝3ax3+（a﹣3b）x2+（2a﹣b）x﹣2b，
∵关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，
∴，
①×2得：2a﹣6b＝0③，
②﹣③得：b＝﹣1，
把b＝﹣1代入①得：a＝﹣3，
∴；
（2）设另一个因式为x+c，
∴（x+c）（2x﹣5）＝2x2+3x﹣k，
2x2﹣5x+2cx﹣5c＝2x2+3x﹣k，
2x2+（2c﹣5）x﹣5c＝2x2+3x﹣k，
∴2c﹣5＝3，5c＝k，
解得c＝4，k＝20，
∴另一个因式为x+4，k＝20．
60．有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．
（1）①计算：S甲＝m2+12m+27 ，S乙＝m2+10m+24 ；
②用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲 ＞ S乙．
（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．
①该正方形的边长是 m+5 （用含m的代数式表示）；
②小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①S甲＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24．
故答案为：m2+12m+27，m2+10m+24．
②∵S甲﹣S乙
＝m2+12m+27﹣（m2+10m+24）
＝2m+3＞0，
∴S甲＞S乙．
故答案为：＞．
（2）①∵C乙＝2（m+6+m+4）＝4m+20，
∴C正＝4m+20．
∴该正方形的边长为．
故答案为：m+5．
②正确，理由如下：
∵m2+10m+25，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24，
∴S正﹣S乙＝（m2+10m+25）﹣（m2+10m+24）＝1．
∴S正与S乙的差是1，故与m无关．
