第17章 17.2 一元二次方程的解法
题型1 解一元二次方程-配方法 题型2 解一元二次方程-公式法
题型3 解一元二次方程-因式分解法
▉题型1 解一元二次方程-配方法
【知识点的认识】
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
1．用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝19 B．（x﹣4）2＝13 C．（x+4）2＝19 D．（x﹣8）2＝67
2．若用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程变形为（ ）
A． B．
C．（2x﹣1）2＝1 D．
3．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝15
4．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+4＝0，配方的结果是（ ）
A．（x+4）2＝18 B．（x﹣4）2＝12 C．（x+4）2＝12 D．（x﹣4）2＝4
5．解方程：3x2﹣10x+6＝0（配方法）．
6．（1）x2+6x＝﹣4；
（2）．
7．计算：
（1）（x+3）2﹣36＝0；
（2）x2+2x＝5；
（3）．
8．（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
9．计算：（1）；
解方程：（2）2x2+4x﹣5＝0．
10．（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
11．（1）计算：||；
（2）解方程：x2﹣6x+4＝0．
▉题型2 解一元二次方程-公式法
【知识点的认识】
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
12．当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2时，代数式的值是 ．
13．若a＝1，b＝10，c＝﹣15，求代数式的值．
14．根据下列条件，求代数式的值．
（1）a＝1，b＝8，c＝﹣4；
（2）a＝3，b＝﹣6，c＝2．
15．解方程：
（1）（2x﹣3）2＝49；
（2）x2﹣5x+3＝0．
16．解方程：
（1）2x2+3x﹣1＝0；（配方法）
（2）2x2﹣1＝x（x+3）．
17．（1）．
（2）．
（3）；
（4）（y+2）2＝9y2﹣6y+1．
18．解下列方程．
（1）x2+4x﹣2＝0（配方法）；
（2）2x2﹣x﹣1＝0（公式法）．
19．（1）解分式方程：；
（2）用适当的方法解方程：3x2+2x﹣2＝0．
20．（1）化简：；
（2）解不等式组：；
（3）解分式方程：；
（4）解方程：2x2＝2x+1．
21．按要求完成下列各题：
（1）解不等式组：；
（2）解方程：；
（3）先化简，再求值：，其中．
▉题型3 解一元二次方程-因式分解法
【知识点的认识】
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
22．一元二次方程（x﹣2）2＝x﹣2的根是（ ）
A．3 B．2 C．﹣1 D．3或2
23．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝2
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2
24．方程x（x﹣2）＝0的根为（ ）
A．x＝0 B．x＝2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
25．方程x2﹣x＝0的解为 ．
26．若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程x2﹣10x+16＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
27．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是 ．
28．解下列方程：
（1）6（x﹣1）2﹣54＝0；（用直接开方法）
（2）9x2﹣（x﹣1）2＝0；（用因式分解法）
（3）x2+6x+1＝0；（用配方法）
（4）2y2+8y﹣1＝0．（用公式法）
29．解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）3x2﹣6x﹣2＝0．
30．适当的方法解方程：
（1）3x2+2x﹣1＝0；
（2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x；
（3）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0．
31．计算与解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
32．解下列一元二次方程：
（1）（x+1）2＝4；
（2）2x2﹣7x+3＝0．
33．（1）解方程：（3x﹣1）2＝49；
（2）解方程：3x2+4x﹣7＝0；
（3）计算：．
（4）解方程：．
34．解下列关于x的方程．
（1）6x（x﹣1）＝x﹣1；
（2）3x2﹣2x＝x2+x+1．
35．（1）计算：；
（2）解方程：（x﹣1）（x+7）＝2x+14．
36．用因式分解法解方程：（x﹣3）2＝2（x﹣3）．
37．（1）分解因式x3﹣4x2+4x；
（2）解不等式组；
（3）解方程：；
（4）解方程：x2﹣5x﹣1＝0．
38．（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣x﹣6＝0．
39．解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）用配方法解：2x2+3x﹣5＝0．
40．材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n），例如：
①x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；
②x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）；
材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣x﹣2分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+5（x﹣y）+4；
②分解因式：（m+n）（m+n﹣6）+5．
41．（1）解方程：x2﹣2x﹣8＝0；
（2）解不等式组，并将解集表示在数轴上．第17章 17.2 一元二次方程的解法
题型1 解一元二次方程-配方法 题型2 解一元二次方程-公式法
题型3 解一元二次方程-因式分解法
▉题型1 解一元二次方程-配方法
【知识点的认识】
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
1．用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝19 B．（x﹣4）2＝13 C．（x+4）2＝19 D．（x﹣8）2＝67
【答案】A
【解答】解：x2﹣8x﹣3＝0，
x2﹣8x＝3，
x2﹣8x+42＝3+42，
（x﹣4）2＝19，
故选：A．
2．若用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程变形为（ ）
A． B．
C．（2x﹣1）2＝1 D．
【答案】D
【解答】解：2x2﹣4x+1＝02x2﹣4x＝﹣1．
故选：D．
3．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝15
【答案】B
【解答】解：∵x2﹣8x﹣1＝0，
∴x2﹣8x＝1，
∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，
故选：B．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+4＝0，配方的结果是（ ）
A．（x+4）2＝18 B．（x﹣4）2＝12 C．（x+4）2＝12 D．（x﹣4）2＝4
【答案】B
【解答】解：x2﹣8x+4＝0，
x2﹣8x+42﹣42+4＝0，
∴（x﹣4）2＝12，
故选：B．
5．解方程：3x2﹣10x+6＝0（配方法）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：移项得3x2﹣10x＝﹣6．
二次项系数化为1，得x2x＝﹣2；
配方得x2x+（）2＝﹣2，
即（x）2，
开方得：x±，
∴x1，x2．
6．（1）x2+6x＝﹣4；
（2）．
【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝﹣3．
（2）x＝2．
【解答】解：（1）x2+6x＝﹣4，
x2+6x+9＝﹣4+9，即（x+3）2＝5，
∴x+3，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣3．
（2），
方程两边同乘以x﹣1，得
4﹣（2x﹣1）＝x﹣1
解得x＝2．
检验：x＝2时，x﹣1≠0．
故原分式方程的根为x＝2．
7．计算：
（1）（x+3）2﹣36＝0；
（2）x2+2x＝5；
（3）．
【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣9；
（2），；
（3）x＝5．
【解答】解：（1）（x+3）2﹣36＝0，
（x+3）2＝36，
x+3＝±6，
∴x+3＝6或x+3＝﹣6，
∴x1＝3，x2＝﹣9；
（2）x2+2x＝5，
x2+2x+1＝6，
（x+1）2＝6，
，
∴或，
∴，；
（3），
两边同上乘以（x﹣3）（x﹣2），得2（x﹣2）＝3（x﹣3），
解得：x＝5，
当x＝5时，（x﹣3）（x﹣2）≠0，
∴原分式方程的解为：x＝5．
8．（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
；
（2）x2﹣4x﹣7＝0，
移项得，x2﹣4x＝7，
配方得x2﹣4x+4＝11，
即（x﹣2）2＝11，
所以
所以．
9．计算：（1）；
解方程：（2）2x2+4x﹣5＝0．
【答案】（1）10﹣4；
（2）x11，x21．
【解答】解：（1）（）（）
2×222
＝5﹣2+3﹣44
＝10﹣4；
（2）2x2+4x﹣5＝0，
∴x2+2x0，
∴x2+2x，
∴x2+2x+11，
∴（x+1）2，
∴x+1＝±，
∴x11，x21．
10．（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
【答案】（1）；
（2）x1＝2，x2＝2．
【解答】解：（1）原式＝325﹣4
1；
（2）x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣4x＝7，
x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，
∴x﹣2
∴x1＝2，x2＝2．
11．（1）计算：||；
（2）解方程：x2﹣6x+4＝0．
【答案】（1）21；
（2）x1＝3，x2＝3．
【解答】解：（1）原式＝23﹣（2）
＝23﹣2
＝21；
（2）x2﹣6x+4＝0，
x2﹣6x＝﹣4，
x2﹣6x+9＝5，
（x﹣3）2＝5．
所以x﹣3，
解得：x1＝3，x2＝3．
▉题型2 解一元二次方程-公式法
【知识点的认识】
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
12．当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2时，代数式的值是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12，
∴1．
故答案为：1．
13．若a＝1，b＝10，c＝﹣15，求代数式的值．
【答案】﹣5+2．
【解答】解：∵a＝1，b＝10，c＝﹣15．
∴b2﹣4ac＝102﹣4×1×（﹣15）＝160，
∴5+2．
14．根据下列条件，求代数式的值．
（1）a＝1，b＝8，c＝﹣4；
（2）a＝3，b＝﹣6，c＝2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当a＝1，b＝8，c＝﹣4时，原式4+2；
（2）当a＝3，b＝﹣6，c＝2时，原式1．
15．解方程：
（1）（2x﹣3）2＝49；
（2）x2﹣5x+3＝0．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣2；
（2）x1，x2．
【解答】解：（1）（2x﹣3）2＝49，
2x﹣3＝±7，
∴2x﹣3＝7或2x﹣3＝﹣7，
解得x1＝5，x2＝﹣2；
（2）x2﹣5x+3＝0，
a＝1，b＝﹣5，c＝3，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0，
x，
x1，x2．
16．解方程：
（1）2x2+3x﹣1＝0；（配方法）
（2）2x2﹣1＝x（x+3）．
【答案】（1），；
（2），．
【解答】解：（1）2x2+3x﹣1＝0，
，
，
，
，
，；
（2）2x2﹣1＝x2+3x，
x2﹣3x﹣1＝0，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴，
∴，．
17．（1）．
（2）．
（3）；
（4）（y+2）2＝9y2﹣6y+1．
【答案】（1）x；
（2）x；
（3）x1＝x2；
（4）y1，y2．
【解答】解：（1）去分母得5﹣（x2+2x）＝x（1﹣x），
解得x，
检验：当x时，x（x+2）≠0，则x为原方程的解，
所以原方程的解为x；
（2） 2，
2，
去分母得1＝2（x+1），
解得x，
检验：当x时，x+1≠0，则x为原方程的解，
所以原方程的解为x；
（3）2x2﹣2x+1＝0，
∵a＝2，b＝﹣2，c＝1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×1＝0，
∴x，
∴x1＝x2；
（4）（y+2）2＝9y2﹣6y+1，
（y+2）2＝（3y﹣1）2，
y+2＝±（3y﹣1），
所以y1，y2．
18．解下列方程．
（1）x2+4x﹣2＝0（配方法）；
（2）2x2﹣x﹣1＝0（公式法）．
【答案】（1），；
（2）x1＝1，．
【解答】解：（1）原方程移项得x2+4x+4＝6，
（x+2）2＝6，
，
解得：，；
（2）∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，
∴，
解得：x1＝1，．
19．（1）解分式方程：；
（2）用适当的方法解方程：3x2+2x﹣2＝0．
【答案】（1）x＝﹣3；
（2）．
【解答】解：（1），
2x+1＝x﹣2，
x＝﹣3，
当x＝﹣3时，x﹣2≠0，
所以x＝﹣3是原方程的解．
（2）3x2+2x﹣2＝0，
Δ＝22﹣4×3×（﹣2）＝28＞0，
则x，
所以．
20．（1）化简：；
（2）解不等式组：；
（3）解分式方程：；
（4）解方程：2x2＝2x+1．
【答案】（1）；
（2）﹣2≤x≤1；
（3）无解；
（4）．
【解答】解：（1）原式
；
（2），
由①得：5x+1≥3x﹣3，
5x﹣3x≥﹣3﹣1，
2x≥﹣4，
x≥﹣2，
由②得：3（x﹣3）≥2（2x﹣5），
3x﹣9≥4x﹣10，
3x﹣4x≥9﹣10，
﹣x≥﹣1，
x≤1，
∴不等式组的解集为﹣2≤x≤1；
（3），
方程两边同时乘（x+1）（x﹣1）得：
（x+1）2﹣4＝x2﹣1，
x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，
2x＝4﹣1﹣1，
2x＝2，
x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴原分式方程无解；
（4）2x2＝2x+1，
2x2﹣2x﹣1＝0，
a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）
＝4+8
＝12，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
．
21．按要求完成下列各题：
（1）解不等式组：；
（2）解方程：；
（3）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）﹣2≤x＜1；
（2）x1＝x2；
（3）；．
【解答】解：（1），
由①得：2x﹣2＜3﹣3x，
整理得：5x＜5，
解得：x＜1，
由②得：2（x﹣1）﹣6≤3（x﹣2），
即2x﹣2﹣6≤3x﹣6，
整理得：﹣x≤2，
解得：x≥﹣2，
故原不等式组的解集为：﹣2≤x＜1；
（2）原方程变形得：2x2﹣2x+3＝0，
∵a＝2，b＝﹣2，c＝3，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×3＝24﹣24＝0，
∴x，
即x1＝x2；
（3）原式＝（）
，
当x1时，
原式．
▉题型3 解一元二次方程-因式分解法
【知识点的认识】
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
22．一元二次方程（x﹣2）2＝x﹣2的根是（ ）
A．3 B．2 C．﹣1 D．3或2
【答案】D
【解答】解：∵（x﹣2）2＝x﹣2，
∴（x﹣2）2﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
故选：D．
23．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝2
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2
【答案】D
【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣1．
故选：D．
24．方程x（x﹣2）＝0的根为（ ）
A．x＝0 B．x＝2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
【答案】C
【解答】解：∵x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：C．
25．方程x2﹣x＝0的解为 x1＝0，x2＝1 ．
【答案】x1＝0，x2＝1．
【解答】解：方程分解得：x（x﹣1）＝0，
所以x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1．
26．若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程x2﹣10x+16＝0的根，则这个三角形的周长为 20 ．
【答案】20．
【解答】解：x2﹣10x+16＝0，
（x﹣2）（x﹣8）＝0，
x﹣2＝0，x﹣8＝0，
x1＝2，x2＝8，
①三角形的三边是5，7，2，
∵5+2＝7，
∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；
②三角形的三边是5，7，8，此时符合三角形三边关系定理，
∴三角形的周长是5+7+8＝20，
故答案为：20．
27．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是 10 ．
【答案】10．
【解答】解：方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x＝2或x＝4，
若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去；
若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为2+4+4＝10，
故答案为：10．
28．解下列方程：
（1）6（x﹣1）2﹣54＝0；（用直接开方法）
（2）9x2﹣（x﹣1）2＝0；（用因式分解法）
（3）x2+6x+1＝0；（用配方法）
（4）2y2+8y﹣1＝0．（用公式法）
【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；
（2）x1，x2；
（3）x1＝﹣3+2，x2＝﹣3﹣2；
（4）y1，y2．
【解答】解：（1）6（x﹣1）2﹣54＝0，
6（x﹣1）2＝54，
（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得x1＝4，x2＝﹣2；
（2）9x2﹣（x﹣1）2＝0，
[3x+（x﹣1）][3x﹣（x﹣1）]＝0，
（3x+x﹣1）（3x﹣x+1）＝0，
（4x﹣1）（2x+1）＝0，
∴4x﹣1＝0或2x+1＝0，
解得x1，x2；
（3）x2+6x+1＝0，
x2+6x＝﹣1，
x2+6x+32＝﹣1+32，
（x+3）2＝8，
x+3＝±2，
解得x1＝﹣3+2，x2＝﹣3﹣2；
（4）2y2+8y﹣1＝0，
a＝2，b＝8，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×2×（﹣1）＝72＞0，
y，
∴y1，y2．
29．解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）3x2﹣6x﹣2＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（2）3x2﹣6x﹣2＝0，
x2﹣2x，
x2﹣2x+11，
（x﹣1）2，
x﹣1＝±，
所以x1＝1，x2＝1．
30．适当的方法解方程：
（1）3x2+2x﹣1＝0；
（2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x；
（3）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0．
【答案】（1）无解；
（2）x1＝1，x2＝﹣4；
（3），x2＝﹣1．
【解答】解：（1）3x2+2x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22+4×3×1＝16，
∴x，
∴x1，x2＝﹣1；
（2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x，
原方程可变为：x2+3x﹣4＝0，
分解因式得：（x﹣1）（x+4）＝0，
∴x﹣1＝0或x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣4．
（3）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0，
分解因式得：（2x﹣1）（2x+2）＝0，
∴2x﹣1＝0或2x+2＝0，
解得：，x2＝﹣1．
31．计算与解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【答案】（1）；
（2）x1＝3，x2＝﹣1．
【解答】解：（1）
；
（2）x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
32．解下列一元二次方程：
（1）（x+1）2＝4；
（2）2x2﹣7x+3＝0．
【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝1；
（2）．
【解答】解：（1）（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
解得，x1＝﹣3，x2＝1；
（2）2x2﹣7x+3＝0，
（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或2x﹣1＝0，
解得，．
33．（1）解方程：（3x﹣1）2＝49；
（2）解方程：3x2+4x﹣7＝0；
（3）计算：．
（4）解方程：．
【答案】（1）x1，x2＝﹣2；
（2）x1＝1；x2；
（3）﹣a﹣1；
（4）无解．
【解答】解：（1）（3x﹣1）2＝49，
3x﹣1＝±7，
3x﹣1＝7或3x﹣1＝﹣7，
x1，x2＝﹣2；
（2）3x2+4x﹣7＝0，
（x﹣1）（3x+7）＝0，
x﹣1＝0或3x+7＝0，
x1＝1；x2；
（3）
＝﹣a﹣1；
（4），
3﹣x＝﹣1﹣2（x﹣4），
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣4＝0，
∴x＝4是原方程的增根，
∴原方程无解．
34．解下列关于x的方程．
（1）6x（x﹣1）＝x﹣1；
（2）3x2﹣2x＝x2+x+1．
【答案】（1）x1＝1，x2；
（2）x1，x2．
【解答】解：（1）6x（x﹣1）＝x﹣1，
6x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（6x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或6x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2；
（2）3x2﹣2x＝x2+x+1，
2x2﹣3x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴x，
∴x1，x2．
35．（1）计算：；
（2）解方程：（x﹣1）（x+7）＝2x+14．
【答案】（1）1；
（2）x1＝3，x2＝﹣7．
【解答】解：（1）原式
＝1；
（2）由题意得，（x﹣1）（x+7）﹣2（x+7）＝0，
∴（x﹣1﹣2）（x+7）＝0，
∴x﹣1﹣2＝0或x+7＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣7．
36．用因式分解法解方程：（x﹣3）2＝2（x﹣3）．
【答案】x1＝3，x2＝5．
【解答】解：∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），
∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
37．（1）分解因式x3﹣4x2+4x；
（2）解不等式组；
（3）解方程：；
（4）解方程：x2﹣5x﹣1＝0．
【答案】（1）x（x﹣2）2；
（2）﹣1＜x≤1；
（3）x＝1；
（4）x1，x2．
【解答】解：（1）x3﹣4x2+4x＝x（x2﹣4x+4）＝x（x﹣2）2；
（2）解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤1；
（3）两边都乘以（x+2）（x﹣2），得：x（x+2）+6（x﹣2）＝（x﹣2）（x+2），
解得x＝1，
当x＝1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝1；
（4）x2﹣5x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝25+4＝29＞0，
∴x，
∴x1，x2．
38．（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣x﹣6＝0．
【答案】（1）；（2）x1＝3，x2＝﹣2．
【解答】解：（1）原式13
1
；
（2）∵x2﹣x﹣6＝0，
∴（x﹣3）（x+2）＝0，
则x﹣3＝0或x+2＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣2．
39．解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）用配方法解：2x2+3x﹣5＝0．
【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x1＝1，x2．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）2x2+3x﹣5＝0，
x2x，
x2x，即（x）2，
∴x，
∴x1＝1，x2．
40．材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n），例如：
①x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；
②x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）；
材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣x﹣2分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+5（x﹣y）+4；
②分解因式：（m+n）（m+n﹣6）+5．
【答案】（1）（x﹣2）（x+1）；
（2）①（x﹣y+4）（x﹣y+1）；
②（m+n﹣1）（m+n﹣5）．
【解答】解：（1）x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）；
（2）①（x﹣y）2+5（x﹣y）+4
＝（x﹣y+4）（x﹣y+1）；
②（m+n）（m+n﹣6）+5
＝（m+n）2﹣6（m+n）+5
＝（m+n﹣1）（m+n﹣5）．
41．（1）解方程：x2﹣2x﹣8＝0；
（2）解不等式组，并将解集表示在数轴上．
【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；（2）2＜x≤5，解集表示在数轴上见解答．
【解答】解：x2﹣2x﹣8＝0，
（x﹣4）（x+2）＝0，
x﹣4＝0或x+2＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣2；
（2），
解不等式①，得x＞2，
解不等式②，得x≤5，
∴不等式组的解集为2＜x≤5．
解集表示在数轴上如图．
