第17章 17.3 一元二次方程根的判别式
题型1 根的判别式
▉题型1 根的判别式
【知识点的认识】
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
1．关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断根的情况
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．若关于x的一元二次方程kx2﹣8x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4 B．k＜4且k≠0 C．k≤4且k≠0 D．k＞4且k≠0
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣8x+4＝0有实数根，
∴Δ≥0且k≠0，即Δ＝（﹣8）2﹣4k×4≥0且k≠0，
解得k≤4且k≠0，
故选：C．
3．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
【答案】C
【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（﹣2）2﹣4×1×a＝0，
解得，a＝1；
故选：C．
4．方程x2+2x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
【答案】A
【解答】解：∵方程x2+2x+1＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×1＝0，
∴方程x2+2x+1＝0有两个相等实数根，
故选：A．
5．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0无实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．k＜﹣1 B．k≥﹣1，且k≠0
C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
【答案】A
【解答】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0无实数根，
所以Δ＝22+4k＜0且k≠0，
解得k＜﹣1．
故选：A．
6．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴方程x2﹣3x﹣2＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【答案】C
【解答】解：x2﹣2x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，
∴一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
故选：C．
8．关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4 B．m≤4 C．m＞4 D．m≥4
【答案】B
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有实数根，
∴Δ≥0，即Δ＝16﹣4m≥0，
解得m≤4．
故选：B．
9．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥4 B．k＞4 C．k＜4且k≠0 D．k＜4
【答案】D
【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k＞0，
解得k＜4．
故选：D．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＜1 D．m＜﹣1
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故选：C．
11．一元二次方程x2+2x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（ ）
A．c＜1 B．c≤1 C．c＝1 D．c≠1
【答案】B
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+c＝0有实数根，
∴22﹣4c≥0，
解得，c≤1，
故选：B．
12．关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且m≠0 D．且m≠0
【答案】B
【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴
解得．
故选：B．
13．关于x的一元二次方程3x2﹣2x+1＝0根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．无实数根 D．不确定
【答案】C
【解答】解：Δ＝（﹣2）2﹣4×3×1
＝4﹣12
＝﹣8＜0，
故原方程无实数根，
故选：C．
14．已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的负实根
D．有两个不相等的正实根
【答案】C
【解答】解：在此方程中Δ＝b2﹣4ac＝（a+b）2﹣4c（a+b）2﹣c2，
∵a，b，c是△ABC三条边的长，
∴a＞0，b＞0，c＞0．c＜a+b，即（a+b）2＞c2，
∴Δ＝（a+b）2﹣c2＞0，
故方程有两个不相等的实数根，
又∵两根的和是0，两根的积是0，
∴方程cx2+（a+b）x0的根的情况是有两个不相等的负根．
故选：C．
15．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k B．k
C．k且k≠0 D．k且k≠0
【答案】C
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k （k﹣2）＞0，
解得k且k≠0．
故选：C．
16．关于x的方程x2﹣4x﹣1＝0根的情况说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
17．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．k≤4，且k≠1 B．k＜4，且k≠1 C．k＜4 D．k≤4
【答案】A
【解答】解：∵原方程为一元二次方程，且有实数根，
∴k﹣1≠0，且Δ＝62﹣4×（k﹣1）×3＝48﹣12k≥0，解得k≤4，
∴实数k的取值范围为k≤4，且k≠1．
故选：A．
18．一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6＝0有两个相等的实数根，则m等于（ ）
A．﹣6 B．1 C．﹣6或1 D．2
【答案】C
【解答】解：∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6＝0有两个相等的实数根，
∴m﹣2≠0且Δ＝0，即16m2﹣4×（m﹣2）×（2m﹣6）＝0，m2+5m﹣6＝0，
解得m1＝﹣6，m2＝1．
∴m的值为﹣6或1．
故选：C．
19．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是 m＜1 ．
【答案】m＜1．
【解答】解：由题意得Δ＞0，即（﹣2）2﹣4m＞0，
解得m＜1，
故答案为：m＜1．
20．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜1 ．
【答案】m＜1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故答案为：m＜1．
21．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝（n+1）x﹣n的图象不经过第 三 象限．
【答案】三．
【解答】解：∵方程nx2﹣2x﹣1＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×n＝4+4n＜0，
解得：n＜﹣1，
∴n+1＜0，﹣n＞1，
∴一次函数y＝（n+1）x﹣n的图象经过第一、二、四象限．
故答案为：三．
22．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是k＞1 ．
【答案】k＞1．
【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＜0，
解得k＞1．
故答案为：k＞1．
23．如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 k＜4且k≠0 ．
【答案】k＜4且k≠0
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k×1＞0，
解得：k＜4且k≠0．
故答案为：k＜4且k≠0．
24．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【答案】．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
即32﹣4（﹣m）＝0，
解得：m．
故答案为：．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤9 ．
【答案】k≤9．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×k＝36﹣4k≥0，
解得k≤9，
故答案为：k≤9．
26．若关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣m＝0没有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣5x﹣m＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣5）2+4m＜0，
∴，
故答案为：．
27．若关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是m＞9 ．
【答案】m＞9．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0没有实数根，
∴Δ＜0，
∴36﹣4m＜0，
∴m＞9．
故答案为：m＞9．
28．若关于x的方程有2个不相等的实数根，则a的范围是 a＞2 ．
【答案】a＞2．
【解答】解：∵关于x的方程有2个不相等的实数根，
∴，
解得a＞2，
故答案为：a＞2．
29．如果关于x的一元二次方程kx2x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是 k且k≠0 ．
【答案】k且k≠0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2x+1＝0有实数根，
∴，
解得：k且k≠0．
故答案为：k且k≠0．
30．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m ．
【答案】m．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣3，c＝m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（m﹣1）＞0，
解得m，
故答案为：m．
31．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜2且k≠0 ．
【答案】k＜2且k≠0
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4×2×k＞0，
解得k＜2且k≠0．
故答案为k＜2且k≠0．
32．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个根，则m的值为 12或16 ．
【答案】12或16．
【解答】解：当等腰三角形的底边为6时，则关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根，
根据根的判别式的意义得Δ＝（﹣8）2﹣4m＝0，
解得m＝16，
此时方程为x2﹣8x+16＝0，解方程得x1＝x2＝4，
因为4+4＞6，
所以m＝16符合题意；
当等腰三角形的腰为6时，则x＝6为关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0一个根，
把x＝6代入方程得36﹣48+m＝0，
解得m＝12，
此时方程为x2﹣8x+12＝0，解方程得x1＝2，x2＝6，
因为6+6＞2，
所以m＝12符合题意；
综上所述，m的值为12或16．
故答案为：12或16．
33．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），现给出以下结论：
①若a﹣b+c＝0，则方程必有一根为﹣1；
②若a﹣b+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；
③若a、c异号，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若m是方程的根，则等式（2am+b）2＝b2﹣4ac一定成立．
其中正确的结论是 ①③④ ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④．
【解答】解：①∵a﹣b+c＝0，
∴当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a﹣b+c＝0，
∴x＝﹣1为方程ax2+bx+c＝0的一根，故结论①正确；
②∵a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
∴方程有两个实数根，故结论②错误；
③∵a、c异号，a≠0，
∴ac＜0，﹣4ac＞0
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故结论③正确；
④∵x＝m方程的一个根，
∴am2+bm+c＝0，
∴（2am+b）2﹣（b2﹣4ac）＝4a2m2+4abm+b2﹣b2+4ac＝4a（am2+bm+c）＝0，
∴（2am+b）2＝b2﹣4ac，故结论④正确；
故答案为：①③④．
34．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0．
（1）求证方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为x＝4，求k的值，并求出此时方程的另一根．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：这里a＝1，b＝﹣（k+3），c＝2k+1，
∵Δ＝（k+3）2﹣4（2k+1）＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4≥4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝4代入方程得：16﹣4（k+3）+2k+1＝0，
解得：k＝2.5，即方程为x2﹣5.5x+6＝0，
设另一根为m，根据题意得：4m＝6，
解得：m＝1.5．
35．不解方程，判断关于x的方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m＝0的根的情况．
【答案】当m时，Δ＝0，方程有2个相等的实数根；
当m且m≠1时，Δ＞0，方程有2个不等的实数根；
当m时，Δ＜0，方程无实数根；
当m＝1时，方程为4x+1＝0，方程有1个实数根．
【解答】解：（1）若m≠1，由Δ＝4（m+1）2﹣4（m﹣1）m＝12m+4，
当m时，Δ＝0，方程有2个相等的实数根；
当m且m≠1时，Δ＞0，方程有2个不等的实数根；
当m时，Δ＜0，方程无实数根；
（2）若m＝1，方程为4x+1＝0，方程有1个实数根．
36．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2＝3．
（1）若此方程有实数根，求k的取值范围；
（2）当k＝﹣1时，求以此方程的两根的绝对值为边长的等腰三角形的周长．
【答案】（1）k；
（2）5．
【解答】解：（1）将方程化为一般式：x2﹣（2k+1）x+k2﹣3＝0，
∵原方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
则[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣3）≥0，解得：k，
∴k；
（2）将k＝﹣1代入得：x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1，
∴|﹣2|＝2，|1|＝1，
∴等腰三角形腰长为2，底边长为1，
∴等腰三角形周长＝2×2+1＝5．第17章 17.3 一元二次方程根的判别式
题型1 根的判别式
▉题型1 根的判别式
【知识点的认识】
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
1．关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断根的情况
2．若关于x的一元二次方程kx2﹣8x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4 B．k＜4且k≠0 C．k≤4且k≠0 D．k＞4且k≠0
3．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
4．方程x2+2x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
5．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0无实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．k＜﹣1 B．k≥﹣1，且k≠0
C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
6．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
7．一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
8．关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4 B．m≤4 C．m＞4 D．m≥4
9．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥4 B．k＞4 C．k＜4且k≠0 D．k＜4
10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＜1 D．m＜﹣1
11．一元二次方程x2+2x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（ ）
A．c＜1 B．c≤1 C．c＝1 D．c≠1
12．关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且m≠0 D．且m≠0
13．关于x的一元二次方程3x2﹣2x+1＝0根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．无实数根 D．不确定
14．已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的负实根
D．有两个不相等的正实根
15．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k B．k
C．k且k≠0 D．k且k≠0
16．关于x的方程x2﹣4x﹣1＝0根的情况说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
17．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．k≤4，且k≠1 B．k＜4，且k≠1 C．k＜4 D．k≤4
18．一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6＝0有两个相等的实数根，则m等于（ ）
A．﹣6 B．1 C．﹣6或1 D．2
19．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是 ．
20．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
21．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝（n+1）x﹣n的图象不经过第 象限．
22．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
23．如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
24．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
26．若关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣m＝0没有实数根，则m的取值范围是 ．
27．若关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 ．
28．若关于x的方程有2个不相等的实数根，则a的范围是 ．
29．如果关于x的一元二次方程kx2x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是 ．
30．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
31．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
32．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个根，则m的值为 ．
33．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），现给出以下结论：
①若a﹣b+c＝0，则方程必有一根为﹣1；
②若a﹣b+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；
③若a、c异号，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若m是方程的根，则等式（2am+b）2＝b2﹣4ac一定成立．
其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
34．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0．
（1）求证方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为x＝4，求k的值，并求出此时方程的另一根．
35．不解方程，判断关于x的方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m＝0的根的情况．
36．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2＝3．
（1）若此方程有实数根，求k的取值范围；
（2）当k＝﹣1时，求以此方程的两根的绝对值为边长的等腰三角形的周长．
