第17章 17.5 一元二次方程的应用
题型1 由实际问题抽象出一元二次方程 题型2 一元二次方程的应用
▉题型1 由实际问题抽象出一元二次方程
【知识点的认识】
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
1．某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了4m，另一边减少了2m，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为xm．若起飞区的面积为120m2，则下列方程正确的是（ ）
A．（x﹣2）（x﹣4）＝120 B．（x+2）（x+4）＝120
C．（x﹣2）（x+4）＝120 D．（x+2）（x﹣4）＝120
【答案】A
【解答】解：∵原正方形空地的边长为xm，原空地一边减少了4m，另一边减少了2m，
∴无人机起飞区是长为（x﹣2）m，宽为（x﹣4）m的长方形．
根据题意得：（x﹣2）（x﹣4）＝120．
故选：A．
2．自国产动画电影《哪吒之魔童闹海》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，第一天票房的4.8亿元，前三天累计票房达12亿元．若每天票房按相同的增长率增长，将增长率记作x，则方程可列为（ ）
A．4.8+4.8x+4.8x2＝12
B．4.8（1+x）2＝12
C．（1+x）2＝12
D．4.8+4.8（1+x）+4.8（1+x）2＝12
【答案】D
【解答】解：根据题意得：4.8+4.8（1+x）+4.8（1+x）2＝12．
故选：D．
3．某社区为改善环境，加大对绿化的投入，4月对绿化投入25万元，计划6月绿化投入49万元，5月、6月绿化投入的月平均增长率相同．设这两月绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ）
A．25（1+x）2＝49
B．25（1+x）+25（1+2x）＝49
C．25（1+x）+25（1+x）2＝49
D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝49
【答案】A
【解答】解：根据题意得：25（1+x）2＝49．
故选：A．
4．如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为x米，根据题意可列方程为（ ）
A．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
B．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．35x+2×20x﹣2x2＝600
【答案】C
【解答】解：若设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长（35﹣2x）米，宽（20﹣x）米的长方形，
依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．
故选：C．
5．2023年光雾山红叶节期间，接待游客约60万人次；2025年，新增低空飞行、玻璃水滑道等体验项目后，游客量跃升至102.2万人次．若设这两年游客量的年平均增长率为x，则根据题意列方程为（ ）
A．60x2＝102.2 B．60+x2＝102.2
C．60（1+x）2＝102.2 D．60（1+2x）＝102.2
【答案】C
【解答】解：设年平均增长率为x，从2023年到2025年经过2年，
由题意可得60（1+x）2＝102.2，
故选：C．
6．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝2x2 B．（x﹣2）2+42＝x2
C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 D．（x﹣4）2+x2＝（x﹣2）2
【答案】C
【解答】解：根据勾股定理可得：
（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2，
故选：C．
7．根据国家统计局公布的数据，2022年全国粮食总产量为68653万吨，2024年全国粮食总产量为70650万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A．68653（1+x）2＝70650 B．70650（1﹣x）2＝68653
C．68653（1+2x）2＝70650 D．70650（1﹣2x）2＝68653
【答案】A
【解答】解：由题意得：68653（1+x）2＝70650．
故选：A．
8．如图，公园中有一块长为20m，宽为15m的矩形场地，场地中间有3块面积都是84m2的矩形草坪，各草坪四周都是相同宽度的通道，若设通道的宽度为xm，根据题意可列方程为（ ）
A．（20﹣4x）（15﹣2x）＝84×3
B．（15﹣4x）（20﹣2x）＝84×3
C．4×15x+2×20x＝20×15﹣84×3
D．2×15x+4×20x＝20×15﹣84×3
【答案】A
【解答】解：根据题意得：（20﹣4x）（15﹣2x）＝84×3，
故选：A．
9．12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震．面对突发灾情，某公司积极募捐资金，支持当地开展灾害救援救助及灾后重建工作．第1天募捐到资金2.5万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为3.2万元．设该公司这两天募捐资金平均每天的增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A．2.5（1+x）2＝3.2 B．2.5+2.5（1+x）2＝3.2
C．3.2（1+x）2＝2.5 D．2.5（1+2x）＝3.2
【答案】A
【解答】解：由题意可得，
2.5（1+x）2＝3.2，
故选：A．
10．如图是一个长为40m，宽为30m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的两条纵向小道和一条横向小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为1008m2，设小道的宽度应为xm，可列方程为 （40﹣2x）（30﹣x）＝1008 ．
【答案】（40﹣2x）（30﹣x）＝1008．
【解答】解：设小道的宽为xm，则种植花草的部分可合成长（35﹣2x）m，宽（22﹣x）m的矩形，
依题意得：（40﹣2x）（30﹣x）＝1008，
故答案为：（40﹣2x）（30﹣x）＝1008．
11．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同．
素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖．
素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤；若每斤降低1元，则可多售出60斤．
任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率；
任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高；
任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为 （15﹣m﹣9）（200+60m）＝1450 ．
【答案】（1）草莓产量的年平均增长率为30%；
（2）此时纸盒的高为10cm；
（3）（15﹣m﹣9）（200+60m）＝1450．
【解答】解：（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得：
10（1+x）2＝16.9，
解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（舍去），
则草莓产量的年平均增长率为30%；
（2）设此时纸盒的高为hcm，根据题意可得：
（75﹣2h）（80﹣2h）＝3300，
解得h1＝10，（舍去），
则此时纸盒的高为10cm；
（3）若设每斤草莓降价m元，由日利润为1450元得（15﹣m﹣9）（200+60m）＝1450．
故答案为：（15﹣m﹣9）（200+60m）＝1450．
▉题型2 一元二次方程的应用
【知识点的认识】
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
12．如图，在一块长为12m，宽为8m的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与长方形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，则道路的宽为 1 m．
【答案】1．
【解答】解：设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长（12﹣x）m，宽（8﹣x）m的长方形，
根据题意得：（12﹣x）（8﹣x）＝77，
整理得：x2﹣20x+19＝0，
解得：x1＝1，x2＝19（不符合题意，舍去），
∴道路的宽为1m．
故答案为：1．
13．如图，在一块长12m、宽8m的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2．则道路的宽为 2 m．
【答案】2．
【解答】解：设道路的宽度为xm，
∴（12﹣x）（8﹣x）＝60，
∴x2﹣20x+36＝0，
∴x1＝2，x2＝18（舍去），
∴道路的宽度为2m．
14．如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 2秒或4秒或3 秒，△POQ的面积为8平方厘米．
【答案】2秒或4秒或3
【解答】解：分两种情况：
①当点P在AO上时，
由题意得：（6﹣t） 2t＝8，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4；
②当点P在BO上时，
由题意得：（t﹣6） 2t＝8，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t3＝3，t4＝3（不符合题意，舍去）；
综上所述，经过2秒或4秒或3秒，△POQ的面积为8平方厘米．
故答案为：2秒或4秒或3．
15．利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是长方形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝6，b＝3，则长方形ABCD的面积是 36 ．
【答案】36．
【解答】解：设小正方形的边长为x，
∴矩形的长为（a+x），宽为（b+x），
由图1可得：，
整理得：x2+ax+bx﹣ab＝0，
∵a＝6，b＝3，
∴x2+9x﹣18＝0，
∴x2+9x＝18，
∴矩形的面积为（a+x）（b+x）＝（x+6）（x+3）＝x2+9x+18＝18+18＝36．
故答案为：36．
16．我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 10 个班级篮球队参加．
【答案】10．
【解答】解：设共有x个班级球队参加比赛，
根据题意得：45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
即（x﹣10）（x+9）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣9（舍去），
则共有10个班级球队参加比赛，
故答案为：10．
17．为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒200元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒128元．求每次降价的百分率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设每次降价的百分率为x，则第一次降价后药品每盒为200（1﹣x）元，第二次降价后药品每盒为200（1﹣x）2元，
根据题意得：200（1﹣x）2＝128，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）．
答：每次降价的百分率为20%．
18．中国中央电视台2024年春晚的主题为 “龙行龘龘，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，龙行龘龘（dádá）为中国古文，出自四库本《玉篇》28龙部第8字，文字释义为群龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某销售平台从2024年元旦开始经销一批印有“龘”字图案的T恤，1月份该T恤的销量约为5000件，3月份的销量约为7200件，且2，3月份销量的增长率相同，求该款T恤销量的月平均增长率．
【答案】20%．
【解答】解：设该款T恤销量的月平均增长率为x．
根据题意，得5000×（1+x）2＝7200，
解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍）．
答：该款T恤销量的月平均增长率为20%．
19．（1）某纸箱厂用一块边长为60cm的正方形纸片制作成一个没有盖的长方体水果盒；可先在纸片的四个角上剪去四个相同的小正方形（边缘损耗忽略不计）（如图①），然后把四边折合起来（如图②），若做成的盒子的底面积为900cm2时，则剪去的小正方形的边长为cm．
（2）已知该矩形包装盒的生产成本为4元/个，市场调研发现：如果以10元/个销售，每天可以售出200个．为了减少库存，厂家决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低0.1元，销售量就会增加20个，在尽可能减少库存的情况下，该厂家将售价定为多少元时，每天的销售利润为2400元？
【答案】（1）15；
（2）该厂家将售价定为每个7元时，每天的销售利润为2400元．
【解答】解：（1）设截去的小正方形的边长为acm，则：
（60﹣2a）2＝900，
解得a＝45或a＝15，
当a＝45时，2a＝90＞60，不符合题意，舍去；
∴小正方形的边长为15cm，
故答案为：15；
（2）设每个售价为x元，则销售量为[200+20×10（10﹣x）]个，则，
（x﹣4）[200+200（10﹣x）]＝2400，
整理得：x2﹣15x+56＝0，
解得：x1＝7，x2＝8，
但是要尽可能减少库存，
∴x＝8不符合题意，取x＝7，
答：该厂家将售价定为每个7元时，每天的销售利润为2400元．
20．据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少；
（2）市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）25%；
（2）3．
【解答】解：（1）设月平均增长率为x，依题意，
得1440（1+x）2＝2250，
解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
∴月平均增长率是25%；
（2）设售价降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，依题意，
得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，
整理得y2﹣4y+3＝0，
解得y1＝1，y2＝3．
∵要尽量减少库存，
∴y＝3．
∴售价应降低3元．
21．某商场服装专柜在销售中发现：某品牌童装平均每天售出20件，每件售价100元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果该童装每降价3元，那么平均每天就可多售出6件，已知该商品进价60元，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元并尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？
【答案】每件童装应降价20元．
【解答】解：设每件童装应降价x元，则平均每天可售出（20）件，
依题意，得：（100﹣60﹣x）（20）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要求尽快减少库存，
∴x＝20．
答：每件童装应降价20元．
22．（列一元二次方程解应用题）
在一块长22米、宽17米的矩形地面上，要修建宽度相同的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分种植花草，使花草的面积为300平方米．求道路的宽度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（22﹣x）（17﹣x）＝300，
解得：x1＝37（舍去），x2＝2．
答：修建的路宽为2米．
23．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得（x﹣2） （2x﹣4）＝288，
∴2（x﹣2）2＝288，
∴（x﹣2）2＝144，
∴x﹣2＝±12，
解得：x1＝﹣10（不合题意，舍去），x2＝14，
所以x＝14，2x＝2×14＝28．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为xm．根据题意，得（x﹣2） （x﹣4）＝288．
解这个方程，得x1＝﹣20（不合题意，舍去），x2＝28．
所以x＝28，x28＝14．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
24．如图，有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．若无盖方盒的底面积为300cm2，求切去的正方形的边长．
【答案】切去的正方形的边长为10cm．
【解答】解：设切去正方形的边长为xcm，则盒底的长为（50﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（50﹣2x）（30﹣2x）＝300，
整理得：x2﹣40x+300＝0，
解得：x1＝10，x2＝30（不合题意，舍去），
答：切去的正方形的边长为10cm．
25．用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m．
（1）若围成的花圃面积为40m2，求BC的长；
（2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为50m2，则能否成功围成花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）BC的长为4m；
（2）不能围成花圃，理由见解析．
【解答】解：（1）设平行于墙的BC边长为xm．
根据题意得，，
则，
∴x1＝20，x2＝4，
因为20＞15，
所以x＝20舍去，
所以x＝4，
答：BC的长为4m；
（2）不能围成花圃，理由如下：
根据题意得，
，
方程可化为x2﹣24x+150＝0，
∴Δ＝（﹣24）2﹣4×150＜0，
∴方程无实数解，
∴不能围成花圃．
26．某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324元的价格出售．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）售货员向经理建议：先公布降价5%，然后再降价15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？
【答案】（1）10%．
（2）售货员的方案对顾客更优惠．
【解答】解：（1）设平均每次降价的百分率是x，
根据题意得：400（1﹣x）2＝324，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），
答：平均每次下调的百分率为10%；
（2）售货员的方案对顾客更优惠，理由如下：
∵400（1﹣5%）（1﹣15%）＝323＜324，
∴售货员的方案对顾客更优惠．
27．随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文创店将进价为20元/个的哪吒钥匙扣以30元/个出售，平均每天能售出50个，该文创店通过两查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨1元，其每天的销售量就减少2个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为608元，且售价不能超过38元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设这种钥匙扣的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为（x﹣20）元，每天的销售量为[50﹣2（x﹣30）]个，
根据题意得：（x﹣20）[50﹣2（x﹣30）]＝608，
整理得：x2﹣75x+1404＝0，
解得：x1＝36，x2＝39（不符合题意，舍去），
答：这种商品的售价应定为36元．
28．某化工企业4月份第一周排放生产废水400吨，该企业积极转型，对生产设备进行改造升级，朝着绿色化工方向发展，4月份第三周排放生产废水324吨，若该企业4月份每周的污水排放量的减少率相同，求该企业4月份每周的污水排放量的减少率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设该企业4月份每周的污水排放量的减少率为x，
由题意得：400（1﹣x）2＝324，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：该企业4月份每周的污水排放量的减少率为10%．
29．某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为30元/盏．试销一段时间后，发现按40元/盏的价格销售，每周可售出600盏；当每盏台灯售价在40元至60元之间时，每盏售价每上涨2元，每周的销售量将减少20盏．
（1）若每盏台灯销售价为46元，求这周的销售量；
（2）如果要实现每周的销售利润10000元的目标，求每盏台灯的销售价格．
【答案】（1）540盏；
（2）每盏台灯的销售价格为50元．
【解答】解：（1）根据题意得：600﹣20
＝600﹣20
＝600﹣60
＝540（盏）．
答：这周的销售量为540盏；
（2）设每盏台灯的销售价格为x元，则每盏台灯的销售利润为（x﹣30）元，每周的销售量为60020＝（1000﹣10x）盏，
根据题意得：（x﹣30）（1000﹣10x）＝10000，
整理得：x2﹣130x+4000＝0，
解得：x1＝50，x2＝80（不符合题意，舍去）．
答：每盏台灯的销售价格为50元．
30．某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为300kW h，为了响应国家关于生产总值能源消耗降低的号召，该企业自2022年开始进行技术改革，到2024年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到243kW h．
（1）求该企业从2022年到2024年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率；
（2）若2025年该企业生产一台电冰箱能耗的平均降低率与前两年相同，请计算2025年该企业生产一台电冰箱的能耗是多少？
【答案】（1）10%；
（2）218.7kW h．
【解答】解：（1）设该企业从2022年到2024年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为x，
根据题意得：300（1﹣x）2＝243，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：该企业从2022年到2024年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为10%；
（2）根据题意得：243×（1﹣10%）＝218.7（kW h）．
答：2025年该企业生产一台电冰箱的能耗是218.7kW h．
31．请阅读下面材料，解决后面的问题：
材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他每支队伍比赛一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行4﹣1＝3场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：场．
材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示．
材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．
（1）大连是中国著名的“足球城”，某区组织区内企业进行足球比赛，在上届比赛中，有一支球队参加了8场比赛，以不败战绩获得积分18分，求这支球队胜了多少场；
（2）在本届比赛中，由于报名参加比赛的队伍增多，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行496场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛能决出冠军？
【答案】（1）这支球队胜了7场；
（2）这种方案共需要119场比赛能决出冠军．
【解答】解：（1）设这支球队胜了x场，则平了y场，
由题意得：，
解得：，
答：这支球队胜了7场；
（2）设总参赛队伍为n支，
由题意得：n（n﹣1）＝496，
整理得：n2﹣n﹣992＝0，
解得：n1＝32，n2＝﹣31（不符合题意，舍去），
即总参赛队伍为32支，
∴平均分成四个小组，每组8支球队，
∵小组内通过单循环赛确定前两名，
∴小组内比赛共4112（场），
∵把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，
∴淘汰赛需4+2+1＝7（场），
∴这种方案决出冠军共需要比赛112+7＝119（场），
答：这种方案共需要119场比赛能决出冠军．
32．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
33．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为480平方米、求车道的宽度．
【答案】车道的宽度为4米．
【解答】解：设车道的宽度为x米，则停车位可合成长为（34﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，
根据题意得：（34﹣x）（20﹣x）＝480，
整理得：x2﹣54x+200＝0，
解得：x1＝4，x2＝50（不符合题意，舍去）．
答：车道的宽度为4米．
34．某超市一月份的营业额为200万元，二、三月份连续两个月营业额增长率相同，三月份的营业额为288万元，求平均每月的增长率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
由题意得：200（1+x）2＝288，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴平均每月的增长率为20%．
35．某商店进了一批服装，进价为每件50元，按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件，若商店计划获利12000元，且尽可能减少进货量，问销售单价应定为多少元？
【答案】销售单价应定为80元．
【解答】解：设销售单价应定为x元，则每件盈利（x﹣50）元，销售量为800﹣20（x﹣60）＝（2000﹣20x）（件），
依题意得：（x﹣50）（2000﹣20x）＝12000，
整理得：x2﹣150x+5600＝0，
解得：x1＝70，x2＝80．
又∵要尽可能减少进货量，
∴x＝80，
答：销售单价应定为80元．
36．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元，据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 2x 件，每件商品盈利 （50﹣x） 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
（3）商场能否平均每天盈利2300元？如能，请求出每件商品降价多少元，若不能，请说明理由．
【答案】（1）2x，（50﹣x）；
（2）20元；
（3）商场日盈利不能达到2300元，理由见解答．
【解答】解：（1）当每件商品降价x元时，每件商品盈利（50﹣x）元，日销售量增加2x件．
故答案为：2x；（50﹣x）．
（2）依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15，x2＝20，
又∵商场要尽快减少库存，
∴x＝20．
答：每件商品应降价20元．
（3）商场日盈利不能达到2300元，理由如下：
依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2300，
整理得：x2﹣35x+400＝0．
∵Δ＝（﹣35）2﹣4×1×400＝﹣375＜0，
∴该方程没有实数根，
即商场日盈利不能达到2300元．
37．如图所示，花都区某学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设AB＝x，则BC＝38﹣2x；
根据题意列方程的，
x（38﹣2x）＝180，
解得x1＝10，x2＝9；
当x＝10，38﹣2x＝18（米），
当x＝9，38﹣2x＝20（米），而墙长19m，不合题意舍去．
答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米．
38．我校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排45场比赛，求七年级有多少个班级．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设七年级有x个班，
，
x2﹣x﹣90＝0，
（x﹣10）（x+9）＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣9（舍），
答：七年级有10个班．
39．某工业企业2023年完成工业总产值440亿元，如果要在2025年达到743.6亿元，那么2023年到2025年的工业总产值年平均增长率是多少？
【答案】30%．
【解答】解：设2023年到2025年的工业总产值年平均增长率是x，
根据题意得：440（1+x）2＝743.6，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）．
答：2023年到2025年的工业总产值年平均增长率是30%．
40．为了减轻老百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为400元，2024年该药剂价格为196元．
（1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率；
（2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于147元，则此次价格的下降率最多是多少？
【答案】（1）30%；
（2）此次价格的下降率最多是25%．
【解答】解：（1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2＝196，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不符合题意，舍去），
答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为30%；
（2）设此次价格的下降率是y，
根据题意得：196（1﹣y）≥147，
解得：y≤0.25，
∴y的最大值是0.25＝25%．
答：此次价格的下降率最多是25%．
41．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米．
（1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长；
（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）AB的长为6m；
（2）矩形ABCD的面积不能为80m2，理由见解析．
【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（30﹣3x）m，
由题意得：x（30﹣3x）＝72，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6，
当x＝4时，30﹣3x＝30﹣3×4＝18＞15，不符合题意，舍去，
当x＝6时，30﹣3x＝30﹣3×6＝12＜15，符合题意，
答：AB的长为6m；
（2）矩形ABCD的面积不能为80m2，理由如下：
假设矩形ABCD的面积能为80m2，
设AB＝ym，则BC＝（30﹣3y）m，
由题意得：y（30﹣3y）＝80，
整理得：3y2﹣30y+80＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×3×80＝﹣60＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2．第17章 17.5 一元二次方程的应用
题型1 由实际问题抽象出一元二次方程 题型2 一元二次方程的应用
▉题型1 由实际问题抽象出一元二次方程
【知识点的认识】
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
1．某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了4m，另一边减少了2m，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为xm．若起飞区的面积为120m2，则下列方程正确的是（ ）
A．（x﹣2）（x﹣4）＝120 B．（x+2）（x+4）＝120
C．（x﹣2）（x+4）＝120 D．（x+2）（x﹣4）＝120
2．自国产动画电影《哪吒之魔童闹海》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，第一天票房的4.8亿元，前三天累计票房达12亿元．若每天票房按相同的增长率增长，将增长率记作x，则方程可列为（ ）
A．4.8+4.8x+4.8x2＝12
B．4.8（1+x）2＝12
C．（1+x）2＝12
D．4.8+4.8（1+x）+4.8（1+x）2＝12
3．某社区为改善环境，加大对绿化的投入，4月对绿化投入25万元，计划6月绿化投入49万元，5月、6月绿化投入的月平均增长率相同．设这两月绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ）
A．25（1+x）2＝49
B．25（1+x）+25（1+2x）＝49
C．25（1+x）+25（1+x）2＝49
D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝49
4．如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为x米，根据题意可列方程为（ ）
A．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
B．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．35x+2×20x﹣2x2＝600
5．2023年光雾山红叶节期间，接待游客约60万人次；2025年，新增低空飞行、玻璃水滑道等体验项目后，游客量跃升至102.2万人次．若设这两年游客量的年平均增长率为x，则根据题意列方程为（ ）
A．60x2＝102.2 B．60+x2＝102.2
C．60（1+x）2＝102.2 D．60（1+2x）＝102.2
6．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝2x2 B．（x﹣2）2+42＝x2
C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 D．（x﹣4）2+x2＝（x﹣2）2
7．根据国家统计局公布的数据，2022年全国粮食总产量为68653万吨，2024年全国粮食总产量为70650万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A．68653（1+x）2＝70650 B．70650（1﹣x）2＝68653
C．68653（1+2x）2＝70650 D．70650（1﹣2x）2＝68653
8．如图，公园中有一块长为20m，宽为15m的矩形场地，场地中间有3块面积都是84m2的矩形草坪，各草坪四周都是相同宽度的通道，若设通道的宽度为xm，根据题意可列方程为（ ）
A．（20﹣4x）（15﹣2x）＝84×3
B．（15﹣4x）（20﹣2x）＝84×3
C．4×15x+2×20x＝20×15﹣84×3
D．2×15x+4×20x＝20×15﹣84×3
9．12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震．面对突发灾情，某公司积极募捐资金，支持当地开展灾害救援救助及灾后重建工作．第1天募捐到资金2.5万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为3.2万元．设该公司这两天募捐资金平均每天的增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A．2.5（1+x）2＝3.2 B．2.5+2.5（1+x）2＝3.2
C．3.2（1+x）2＝2.5 D．2.5（1+2x）＝3.2
10．如图是一个长为40m，宽为30m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的两条纵向小道和一条横向小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为1008m2，设小道的宽度应为xm，可列方程为 ．
11．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同．
素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖．
素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤；若每斤降低1元，则可多售出60斤．
任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率；
任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高；
任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为 ．
▉题型2 一元二次方程的应用
【知识点的认识】
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
12．如图，在一块长为12m，宽为8m的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与长方形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，则道路的宽为 m．
13．如图，在一块长12m、宽8m的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2．则道路的宽为 m．
14．如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 秒，△POQ的面积为8平方厘米．
15．利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是长方形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝6，b＝3，则长方形ABCD的面积是 ．
16．我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 个班级篮球队参加．
17．为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒200元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒128元．求每次降价的百分率．
18．中国中央电视台2024年春晚的主题为 “龙行龘龘，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，龙行龘龘（dádá）为中国古文，出自四库本《玉篇》28龙部第8字，文字释义为群龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某销售平台从2024年元旦开始经销一批印有“龘”字图案的T恤，1月份该T恤的销量约为5000件，3月份的销量约为7200件，且2，3月份销量的增长率相同，求该款T恤销量的月平均增长率．
19．（1）某纸箱厂用一块边长为60cm的正方形纸片制作成一个没有盖的长方体水果盒；可先在纸片的四个角上剪去四个相同的小正方形（边缘损耗忽略不计）（如图①），然后把四边折合起来（如图②），若做成的盒子的底面积为900cm2时，则剪去的小正方形的边长为cm．
（2）已知该矩形包装盒的生产成本为4元/个，市场调研发现：如果以10元/个销售，每天可以售出200个．为了减少库存，厂家决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低0.1元，销售量就会增加20个，在尽可能减少库存的情况下，该厂家将售价定为多少元时，每天的销售利润为2400元？
20．据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少；
（2）市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？
21．某商场服装专柜在销售中发现：某品牌童装平均每天售出20件，每件售价100元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果该童装每降价3元，那么平均每天就可多售出6件，已知该商品进价60元，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元并尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？
22．（列一元二次方程解应用题）
在一块长22米、宽17米的矩形地面上，要修建宽度相同的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分种植花草，使花草的面积为300平方米．求道路的宽度．
23．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
24．如图，有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．若无盖方盒的底面积为300cm2，求切去的正方形的边长．
25．用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m．
（1）若围成的花圃面积为40m2，求BC的长；
（2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为50m2，则能否成功围成花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．
26．某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324元的价格出售．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）售货员向经理建议：先公布降价5%，然后再降价15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？
27．随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文创店将进价为20元/个的哪吒钥匙扣以30元/个出售，平均每天能售出50个，该文创店通过两查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨1元，其每天的销售量就减少2个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为608元，且售价不能超过38元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？
28．某化工企业4月份第一周排放生产废水400吨，该企业积极转型，对生产设备进行改造升级，朝着绿色化工方向发展，4月份第三周排放生产废水324吨，若该企业4月份每周的污水排放量的减少率相同，求该企业4月份每周的污水排放量的减少率．
29．某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为30元/盏．试销一段时间后，发现按40元/盏的价格销售，每周可售出600盏；当每盏台灯售价在40元至60元之间时，每盏售价每上涨2元，每周的销售量将减少20盏．
（1）若每盏台灯销售价为46元，求这周的销售量；
（2）如果要实现每周的销售利润10000元的目标，求每盏台灯的销售价格．
30．某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为300kW h，为了响应国家关于生产总值能源消耗降低的号召，该企业自2022年开始进行技术改革，到2024年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到243kW h．
（1）求该企业从2022年到2024年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率；
（2）若2025年该企业生产一台电冰箱能耗的平均降低率与前两年相同，请计算2025年该企业生产一台电冰箱的能耗是多少？
31．请阅读下面材料，解决后面的问题：
材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他每支队伍比赛一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行4﹣1＝3场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：场．
材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示．
材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．
（1）大连是中国著名的“足球城”，某区组织区内企业进行足球比赛，在上届比赛中，有一支球队参加了8场比赛，以不败战绩获得积分18分，求这支球队胜了多少场；
（2）在本届比赛中，由于报名参加比赛的队伍增多，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行496场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛能决出冠军？
32．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
33．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为480平方米、求车道的宽度．
34．某超市一月份的营业额为200万元，二、三月份连续两个月营业额增长率相同，三月份的营业额为288万元，求平均每月的增长率．
35．某商店进了一批服装，进价为每件50元，按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件，若商店计划获利12000元，且尽可能减少进货量，问销售单价应定为多少元？
36．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元，据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
（3）商场能否平均每天盈利2300元？如能，请求出每件商品降价多少元，若不能，请说明理由．
37．如图所示，花都区某学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽．
38．我校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排45场比赛，求七年级有多少个班级．
39．某工业企业2023年完成工业总产值440亿元，如果要在2025年达到743.6亿元，那么2023年到2025年的工业总产值年平均增长率是多少？
40．为了减轻老百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为400元，2024年该药剂价格为196元．
（1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率；
（2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于147元，则此次价格的下降率最多是多少？
41．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米．
（1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长；
（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．
