19.1 多边形
题型1 多边形 题型2 多边形的对角线
题型3 多边形内角与外角
▉题型1 多边形
【知识点的认识】
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．轴对称图形
【答案】A
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
2．下列结论中：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；②两条对角线互相垂直的四边形是菱形；③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；⑤平行四边形对角相等；⑥菱形每一条对角线平分一组对角．其中正确的结论是 ①③⑤⑥ （填序号）．
【答案】①③⑤⑥
【解答】解：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；
④对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
⑤平行四边形对角相等；
⑥菱形每一条对角线平分一组对角，
故答案为：①③⑤⑥．
3．如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD是一个凹四边形．
（1）求凹四边形ABCD的周长；
（2）连接AC，∠ACD是直角吗？求出凹四边形ABCD的面积．
【答案】（1）12+5；（2）∠ACD是直角，6.5．
【解答】解：（1）由勾股定理得：AD5，CD5，
∵AB＝4，BC＝3，
∴凹四边形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝4+3+5+512+5；
（2）由勾股定理得：AC2＝32+42＝25，
∵AC2+CD2＝25+25＝50，AD2＝50，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD是直角，
凹四边形ABCD的面积＝△ACD的面积﹣△ABC的面积AC CDAB BC5×54×3＝6.5．
▉题型2 多边形的对角线
【知识点的认识】
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
4．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是 10 ．
【答案】10
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣2＝8，解得n＝10．
所以这个多边形的边数是10．
▉题型3 多边形内角与外角
【知识点的认识】
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
5．若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】D
【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意得：
180（n﹣2）＝3×360，
180n﹣360＝1080，
180n＝1440，
n＝8，
∴这个多边形是八边形，
故选：D．
6．若一个多边形的内角和为其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
依题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得：n＝10，
∴这个多边形的边数是10．
故选：D．
7．小敏利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如你从点A出发，沿直线走10米后向左转θ度，接着沿直线前进10米后，再向左转θ度…如此下去，当她第一次回到A点时，发现自己走了100米，则θ的度数为（ ）
A．36° B．40° C．45° D．60°
【答案】A
【解答】解：由题意可知，这个多边形是正多边形，边数为100÷10＝10，
所以θ36°，
故选：A．
8．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
【答案】A
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
解得n＝7，
故选：A．
9．下列说法错误的是（ ）
A．多边形的外角和为360°
B．等边三角形的每一个内角都为60°
C．五边形的内角和为720°
D．正六边形的每一个外角都为60°
【答案】C
【解答】解：A．多边形的外角和为360°，故此选项说法正确，不符合题意；
B．等边三角形的每一个内角都为60°，故此选项说法正确，不符合题意；
C．五边形的内角和为540°，不是720°，故此选项说法错误，符合题意；
D．正六边形的每一个外角都为60°，故此选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
10．若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得（n﹣2）×180＝1800，
解得n＝12，
∴这个多边形是12边形．
故选：D．
11．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1260°，那么这个多边形的一个外角等于（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
【答案】C
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n﹣2） 180°＝1260，
解得n＝9；
那么这个多边形的一个外角是360÷9＝40度，
即这个多边形的一个外角等于40度．
故选：C．
12．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7
【答案】D
【解答】解：如图，
剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1，
②只过一个顶点剪，则和原来边数相等，
③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1，
设内角和为720°的多边形的边数是n，
∴（n﹣2） 180＝720，
解得：n＝6．
则原多边形的边数为5或6或7．
故选：D．
13．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（ ）边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，
∴这个多边形的内角和为720°+360°＝1080°，
设多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝1080°，
解得：n＝8，
即多边形是八边形，
故选：C．
14．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【答案】A
【解答】解：设多边形的边数为n，
（n﹣2） 180°＝900°，
解得：n＝7．
故选：A．
15．如果一个多边形的内角和等于一个五边形的外角和，那么这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【解答】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得：
（n﹣2） 180＝360，
解得：n＝4，
故选：B．
16．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 六 边形．
【答案】六
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2） 180°＝2×360°，
解得：n＝6，
即这个多边形是六边形，
故答案为：六．
17．一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 10 ．
【答案】10
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
依题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得：n＝10，
∴这个多边形的边数是10．
故答案为：10．
18．如果一个正多边形的外角和与内角和的比为1：2，那么这个多边形是正 6 边形．
【答案】6．
【解答】解：∵一个正多边形的外角和与内角和的比为1：2，
∴这个正多边形的内角和为360°×2＝720°，
720°÷180°+2
＝4+2
＝6（条）．
故答案为：6．
19．如图，已知∠POQ＝50°，正六边形ABCDEF的顶点A，E分别在射线OP、OQ上，则∠OEF+∠OAF＝ 70° ．
【答案】70°．
【解答】解：延长AF交OQ于点G，
∵∠POQ＝50°，
∴∠EGF＝∠O+∠OAF＝∠OAF+50°，
∴∠EFA＝∠OEF+∠EGF＝∠OEF+∠OAF+50°，
∵ABCDEF为正六边形，
∴，
∴∠OEF+∠OAF+50°＝120°，
∴∠OEF+∠OAF＝70°．
故答案为：70°．
20．正六边形的一个内角的度数是 120 °．
【答案】120．
【解答】解：由题意得：180°×（6﹣2）÷6＝120°，
故答案为：120．
21．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是 100° ．
【答案】100°
【解答】解：根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠5＝360﹣4×70＝80°，
∴∠AED＝180﹣∠5＝180﹣80＝100°．
22．如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 102 度．
【答案】102．
【解答】解：如图：
∵四边形、五边形、六边形的各内角相等，
∴四边形的每个内角是90°，五边形的每个内角是108°，六边形的每个内角是120°，
∴∠2+∠BAC＝90°，∠3+∠BCA＝90°，∠1+∠ABC＝360°﹣108°﹣120°＝132°，
∵∠1＝30°，
∴∠ABC＝132°﹣30°＝102°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣102°＝78°，
∵∠2+∠BAC+∠3+∠BCA＝90°+90°＝180°，
∴∠2+∠3＝180°﹣78°＝102°，
故答案为：102．
23．如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D共线，E为公共顶点．则∠BEC＝ 75° ．
【答案】75°．
【解答】解：由多边形的内角和可得，
∠ABE135°，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣135°＝45°，
∵∠DCE120°，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝60°，
由三角形的内角和得：
∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75°．
24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD的度数为 25° ．
【答案】25°
【解答】解：∵∠A′BC＝20°，
∴∠BA′C＝70°，
∴∠DA′B＝110°，
∴∠DAB＝110°，
∴∠ABC＝70°，
∴∠ABA′＝∠ABC﹣∠A′BC＝70°﹣20°＝50°，
∴∠A′BD∠ABA′＝25°．
故答案为：25°
25．如图，小林从点P向西直走6米后，向左转，转动的角度为α，再走6米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为 30° ．
【答案】30°．
【解答】解：设边数为n，根据题意，
n＝72÷6＝12，
则α＝360°÷12＝30°．
故答案为：30°．
26．如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是 84° ．
【答案】84°
【解答】解：如图，
由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，
则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°
故答案为84°．
27．如图，某人从点A出发沿直线前进5m到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5m，到达点C后，又向左旋转α，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了60m，则每次旋转的角度α为 30° ．
【答案】30°
【解答】解：向左转的次数60÷5＝12（次），
则左转的角度是360°÷12＝30°．
故答案为：30°．
28．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝100°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 280° ．
【答案】280°
【解答】解：如图，∵∠EAB+∠5＝180°，∠EAB＝100°，
∴∠5＝80°．
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360﹣80°＝280°
故答案为280°．
29．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是 十 边形．
【答案】十
【解答】解：设这个多边形有n条边．
由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得n＝10．
则这个多边形是十边形．
故答案为：十．
30．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 300° ．
【答案】300°
【解答】解：由题意得，∠5＝180°﹣∠EAB＝60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣∠5＝300°．
故答案为：300°．
31．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连接AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①∠ABO的度数是 20° ；
②当∠BAD＝∠ABD时，∠OAC的度数是 120° ；
当∠BAD＝∠BDA时，∠OAC的度数是 60° ；
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
【答案】（1）①20°； ②120°，60°；
（2）30°或 75°或 15°．
【解答】解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝∠BON＝20°；
②当∠BAD＝∠ABD时，
∵∠ABO＝∠AOB＝20°，
∴∠BAD＝20°，∠BAO＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∴∠OAC＝∠BAO﹣∠BAD＝120°；
当∠BAD＝∠BDA时，
∵∠ABO＝20°，
∴∠BAD＝∠BDA＝80°，
∵∠AOB＝20°，
∴∠OAC＝∠BDA﹣∠AOB＝60°；
故答案为：①20°； ②120°，60°；
（2）①当∠BDC＝2∠BFC时，如图，
∵AB⊥OM，∠MON＝40°，
∴∠BFC＝50°，
∴∠BDC＝2∠BFC＝100°，
∵∠ABO＝∠BFC+∠BON＝50°+20°＝70°，
∴∠BAC＝∠BDC﹣∠ABO＝100°﹣70°＝30°，
∴α＝30°；
②当点C在F左边，∠DBF＝2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，
∴∠DBF＝∠AOB+∠OAB＝20°+90°＝110°，∠BFC＝50°，
∴∠DCF∠DBF＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BFC﹣∠ACF＝180°﹣50°﹣55°＝75°，
∴α＝75°；
③当点C在F右边，∠DBF＝2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，
∴∠DBF＝∠ABO＝90°﹣∠AOB＝90°﹣20°＝70°，∠AFO＝50°，
∴∠DCF∠DBF＝35°，∠AFC＝130°，
∴∠BAC＝180°﹣∠DCF﹣∠AFC＝180°﹣35°﹣130°＝15°，
∴α＝15°；
综上所述，当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°或15°．
32．按要求完成下列各小题．
（1）如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求∠BAC的度数；
（2）如图2，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点A作AE⊥BC于点E，若∠EAD＝5°，∠C＝50°，求∠B的度数．
【答案】（1）150°；
（2）60°．
【解答】解：（1）∵正方形内角和为360°，
∴其每个内角为360°÷4＝90°．
∵正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
∴其每个内角为720°÷6＝120°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣120°＝150°；
（2）∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°．
∵∠EAD＝5°，
∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝85°．
∵∠C＝50°，
∴∠CAD＝∠ADE﹣∠C＝35°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAD＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝60°．19.1 多边形
题型1 多边形 题型2 多边形的对角线
题型3 多边形内角与外角
▉题型1 多边形
【知识点的认识】
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．轴对称图形
2．下列结论中：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；②两条对角线互相垂直的四边形是菱形；③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；⑤平行四边形对角相等；⑥菱形每一条对角线平分一组对角．其中正确的结论是 （填序号）．
3．如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD是一个凹四边形．
（1）求凹四边形ABCD的周长；
（2）连接AC，∠ACD是直角吗？求出凹四边形ABCD的面积．
▉题型2 多边形的对角线
【知识点的认识】
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
4．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是 ．
▉题型3 多边形内角与外角
【知识点的认识】
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
5．若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
6．若一个多边形的内角和为其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．小敏利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如你从点A出发，沿直线走10米后向左转θ度，接着沿直线前进10米后，再向左转θ度…如此下去，当她第一次回到A点时，发现自己走了100米，则θ的度数为（ ）
A．36° B．40° C．45° D．60°
8．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
9．下列说法错误的是（ ）
A．多边形的外角和为360°
B．等边三角形的每一个内角都为60°
C．五边形的内角和为720°
D．正六边形的每一个外角都为60°
10．若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
11．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1260°，那么这个多边形的一个外角等于（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
12．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7
13．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（ ）边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
14．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
15．如果一个多边形的内角和等于一个五边形的外角和，那么这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
16．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 边形．
17．一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ．
18．如果一个正多边形的外角和与内角和的比为1：2，那么这个多边形是正 边形．
19．如图，已知∠POQ＝50°，正六边形ABCDEF的顶点A，E分别在射线OP、OQ上，则∠OEF+∠OAF＝ ．
20．正六边形的一个内角的度数是 °．
21．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是 ．
22．如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 度．
23．如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D共线，E为公共顶点．则∠BEC＝ ．
24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD的度数为 ．
25．如图，小林从点P向西直走6米后，向左转，转动的角度为α，再走6米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为 ．
26．如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是 ．
27．如图，某人从点A出发沿直线前进5m到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5m，到达点C后，又向左旋转α，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了60m，则每次旋转的角度α为 ．
28．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝100°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
29．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是 边形．
30．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
31．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连接AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①∠ABO的度数是 ；
②当∠BAD＝∠ABD时，∠OAC的度数是 ；
当∠BAD＝∠BDA时，∠OAC的度数是 ；
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
32．按要求完成下列各小题．
（1）如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求∠BAC的度数；
（2）如图2，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点A作AE⊥BC于点E，若∠EAD＝5°，∠C＝50°，求∠B的度数．
