第18章 18.2 勾股定理的逆定理
题型1 两点间的距离公式 题型2 勾股定理的逆定理
题型3 勾股数 题型4 勾股定理的应用
▉题型1 两点间的距离公式
【知识点的认识】
两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．
说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
1．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点M（x1，y1），N（x2，y2），那么两点间的距离，例如：若点M（4，1），N（3，2），则．
（1）已知A（3，5），B（﹣1，﹣3），求A，B两点间的距离；
（2）已知A（1，2），B（﹣3，4），C（﹣1，6），判断△ABC的形状；
（3）代数式的最小值是 ．
【答案】（1）；
（2）等腰三角形；
（3）．
【解答】解：（1）∵A（3，5），B（﹣1，﹣3），
∴A，B两点间的距离为；
（2）∵A（1，2），B（﹣3，4），C（﹣1，6），
∴，，，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（3），可以看成是（x，0）到点（3，5）之间的距离，，可以看成是（x，0）到点（4，﹣3）之间的距离，
根据两点之间线段最短得出的最小值为：，
故答案为：．
2．阅读下列一段文字，然后回答下列问题：
已知平面内两点M（x1，y1）、N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：MN．
例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），则这两点的距离PQ．
特别地，如果两点M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN＝|x1﹣x2|或|y1﹣y2|．
（1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；
（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）AB；
（2）AB＝5﹣（﹣1）＝6；
（3）△ABC为直角三角形．理由如下：
∵AB，AC2，BC5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形．
▉题型2 勾股定理的逆定理
【知识点的认识】
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
3．下列长度的三条线段能首尾相接构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
【答案】B
【解答】解：A、∵22+32＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵42+32＝25，52＝25，
∴42+32＝52，
∴能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵42+52＝41，62＝36，
∴42+52≠62，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵52+62＝61，72＝49，
∴52+62≠72，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1，1， B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，11
【答案】A
【解答】解：A、∵12+12＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；
B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵42+52≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵62+82≠112，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；
故选：A．
5．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝3：4：5 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．a：b：c＝1：2：
【答案】B
【解答】解：A、正确，因为a：b：c＝3：4：5，所以设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则（3x）2+（4x）2＝（5x）2，故为直角三角形；
B、错误，因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．
C、正确，因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故为直角三角形；
D、正确，12+（）2＝22符合勾股定理的逆定理，故成立；
故选：B．
6．五根小木棒，其长度（单位：cm）分别为8，9，12，15，17，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵82+152＝172，92+122＝152，
∴用长度为8，15，17和9，12，15的小木棒能分别摆成两个直角三角形，
故选：C．
7．能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB，AC，BC B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．AB：AC：BC＝12：5：13 D．∠A＝30°，∠C＝45°
【答案】C
【解答】解：A．∵，
∴△ABC不是直角三角形，故原选项不合题意；
B．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴，
∴△ABC不是直角三角形，故原选项不合题意；
C．设AB＝12x，则AC＝5x，BC＝13x，
∵（12x）2+（5x）2＝（13x）2，
∴△ABC是直角三角形，故原选项符合题意；
D．∵∠A＝30°，∠C＝45°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝105°，
∴△ABC不是直角三角形，故原选项不合题意．
故选：C．
8．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．5，11，13 B．，2，5 C．1，，4 D．7，24，25
【答案】D
【解答】解：A、∵52+112＝146≠132，∴不能构成直角三角形，不符合题意；
B、∵，∴不能构成直角三角形，不符合题意；
C、∵，∴不能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵72+242＝625＝252，∴能构成直角三角形，符合题意，
故选：D．
9．《数书九章》里记载有这样一道题，其大意是：有一块三角形沙地，三条边长分别为5里，12里，13里，则该沙田的面积为（ ）
A．30平方里 B．50平方里 C．60平方里 D．65平方里
【答案】A
【解答】解：根据勾股定理，满足 52+122＝132，则该三角形为直角三角形，
直角边为5里和12里，斜边为13里，
所以该直角三角形面积公式为：S（平方里）．
故选：A．
10．小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，3，4 D．6，8，10
【答案】D
【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、42+52≠62，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、32+42≠72，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、62+82＝102，能构成直角三角形，符合题意，
故选：D．
11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝c2 B．∠A＝90°﹣∠B
C．a：b：c＝1：2：3 D．6∠A＝2∠B＝3∠C
【答案】C
【解答】解：分析各选项如下：
选项A、∵（a+b）（a﹣b）＝c2，展开得a2﹣b2＝c2，即a2＝b2+c2，符合勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形；
选项B、∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
又∵三角形内角和为180°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°，故△ABC是直角三角形，
选项C、设a＝k，b＝2k，c＝3k（k＞0），
则a+b＝c，不能构成三角形，故该选项符合题意，
选项D：D、设6∠A＝2∠B＝3∠C＝6k，则∠A＝k，∠B＝3k，∠C＝2k，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴k+3k+2k＝180°，解得k＝30°，则∠B＝90°，故△ABC是直角三角形．
故选：C．
12．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（ ）
A．65平方里 B．60平方里 C．325平方里 D．30平方里
【答案】D
【解答】解：∵52+122＝169，132＝169，
∴根据勾股定理，52+122＝132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：（平方里）．
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故选：D．
13．在△ABC中，AC＝6，BC＝a，AB＝b，如果a，b满足（a+6）（a﹣6）+b2＝0，则△ABC的形状是 直角三角形 ．
【答案】直角三角形．
【解答】解：∵（a+6）（a﹣6）+b2＝0，
∴a2﹣62﹣b2＝0，
整理得，a2＝62+b2，
∴△ABC是直角三角形，
即△ABC的形状为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
14．如图，D为△ABC内一点，∠ADB＝90°，AD＝3，BD＝4，AC＝5，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【解答】解：∵∠ADB＝90°，AD＝3，BD＝4，
∴AB5，
又∵AB2＝52＝25，BC2＝（5）2＝50，AC2＝52＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△ABD
AB ACAD BD
5×54×3
．
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长．
【答案】（1）见解析．
（2）．
【解答】（1）证明：连接BE，如图：
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AE＝BE，
∵CB2＝AE2﹣CE2，
∴CB2＝BE2﹣CE2，
∴CB2+CE2＝BE2，
∴∠C＝90°；
（2）设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，
∴在Rt△BCE中，
EC2+BC2＝BE2，
即x2+62＝（8﹣x）2
解得：，
则．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∠D是直角．
理由：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；
（2）解：∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，
∴S四边形ABCDAB BCAD CD，
，
＝234．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12．
（1）判断△BCD的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．
【答案】（1）直角三角形，理由见解析；
（2）．
【解答】解：（1）△BCD是直角三角形．理由如下：
∵BC＝20，CD＝16，BD＝12，122+162＝202，
∴BD2+CD2＝BC2．
∴△BCD是直角三角形且∠BDC＝90°；
（2）∵AB＝AC，BD＝12．
∴设AD＝x，则AC＝AB＝AD+BD＝x+12，
由（1），得∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC2＝AD2+CD2，即（x+12）2＝x2+162，
解得．
∴．
∴△ABC的周长为．
▉题型3 勾股数
【知识点的认识】
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
18．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11
【答案】C
【解答】解：A、22+32≠52，不能构成勾股数，不符合题意；
B、72+82≠92，不能构成勾股数，不符合题意；
C、62+82＝102，能构成勾股数，符合题意；
D、52+112≠122，不能构成勾股数，不符合题意，
故选：C．
19．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1 B．3，4，5 C．， D．1，2，
【答案】B
【解答】解：A、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；
B、32+42＝52，是勾股数，符合题意；
C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
D、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
20．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．3，4，4
【答案】C
【解答】解：A、1.5，2，2.5不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意；
B、∵42+52≠62，
∴4，5，6不是勾股数，不符合题意；
C、∵62+82＝102，
∴6，8，10是勾股数，符合题意；
D、∵32+42≠42，
∴3，4，4不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
21．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6
C． D．0.3，0.4，0.5
【答案】A
【解答】解：A、32+42＝52，是勾股数，符合题意；
B、52+42≠62，不是勾股数，不符合题意；
C、，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
D、0.32+0.42＝0.52，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意，
故选：A．
22．下列四组数据中是勾股数的有（ ）
①5、7、8 ②、3
③9、12、15 ④n2+1，n2﹣1 2n（n＞1）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】A
【解答】解：①8、5、7 不是勾股数，因为72+52≠82；
②、、3 不是勾股数，因为、不是整数；
③9、12、15 是勾股数，因为92+122＝152；
④n2+1、n2﹣1、2n（n＞1）不是勾股数，因为2n、n2﹣1、n2+1不一定是整数．
故选：A．
23．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是 4，3，5（答案不唯一） ．
【答案】4，3，5（答案不唯一）
【解答】解：∵如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，
∴当m为大于1的任意整数时，a，b，c为勾股数，
如m＝2，那么a＝2m＝4，b＝m2﹣1＝3，c＝m2+1＝5，
故答案为4，3，5（答案不唯一）．
24．观察下列一组数：
列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；
列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；
列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；
…
列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝ 84 ，c＝ 85 ．
【答案】84；85
【解答】解：在32＝4+5中，4，5；
在52＝12+13中，12，13；
…
则在13、b、c中，b84，c85．
▉题型4 勾股定理的应用
【知识点的认识】
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
25．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（ ）
A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4
【答案】B
【解答】解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线直径为5cm，高为12cm，
由勾股定理可得杯里面管长为13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm；
则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．
故选：B．
26．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．13m B．17m C．18m D．26m
【答案】B
【解答】解：∵高为5m，坡面长为13m的楼梯，
由勾股定理得：楼梯的水平宽度为：12（m），
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是12+5＝17（m）．
故选：B．
27．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5m，树的顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度是（ ）
A．16m B．18m C．22m D．24m
【答案】A
【解答】解：如图：
∵BC＝7.5m，AC＝4m，
∵∠C＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
即AB2＝42+7.52，
∴AB＝8.5m，
∴这棵树在折断之前的高度＝8.5+7.5＝16m．
故选：A．
28．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和10cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（ ）cm．
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】D
【解答】解：由题意知：盒子底面对角线长为10（cm），
盒子的对角线长：20（cm），
细木棒长25cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是：25﹣20＝5cm．
故选：D．
29．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）
A．45m B．40m C．50m D．56m
【答案】B
【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝32m，OB＝24m，
∴AB40m．
故选：B．
30．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为，
故选：C．
31．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD＝1.5m，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
【答案】B
【解答】解：由题意可知，BD＝CE，BE＝CD＝1.5m，AC＝5m，则AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3（m），
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE4（m），
∴BD＝CE＝4米，
即门铃恰好自动响起，则BD的长为4米，
故选：B．
32．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（米），间距为8米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离10（米）．
故选：D．
33．如图，一条笔直的铁路AB的同侧有两个村庄C，D，它们到铁路AB的距离分别为15km和10km，分别过C，D两点作AB的垂线，垂足为M，N，测量得MN＝25km．现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站到M点的距离为（ ）
A．6km B．8km C．10km D．12km
【答案】C
【解答】解：∵C，D两村到E站的距离相等，
∴DE＝CE，
∵DN⊥AB，CM⊥AB，
∴∠CME＝∠END＝90°，
∴ME2+CM2＝CE2，NE2+DN2＝DE2，
∴ME2+CM2＝NE2+DN2，
设ME＝x，则NE＝MN﹣ME＝（25﹣x）km，
∵一条笔直的铁路AB的同侧有两个村庄C，D，它们到铁路AB的距离分别为15km和10km，
∴CM＝15km，DN＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴ME＝10km，
∴E站到M点的距离为10km，
故选：C．
34．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2.5（m），
∴A′B＝AB＝2.5米，
在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD2（m），
∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），
即小巷的宽为2.7米，
故选：D．
35．消防车上的云梯示意图如图①所示，云梯最多只能伸长到20m，消防车高3m．如图②，消防员借助云梯对位于15m高的点A处的老人实施救援时消防车上的云梯伸长至最长，在完成A处的救援后发现在A处上方4m的B处有一个老人未及时撤离，为了能成功地救出B处的老人，则消防车需要从C处向着火的楼房靠近的距离CD为（ ）
A．4m B．3m C．2m D．1m
【答案】A
【解答】解：由题意得，CE⊥AE，AC＝BD＝20m，EF＝3m长即为消防车的高，AB＝4m，
∴AE＝15﹣3＝12m，BE＝AE+AB＝16m，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：CE16（m），
在Rt△BED中，由勾股定理得：DE12（m），
∴CD＝CE﹣DE＝4m，
故选：A．
36．如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．米 B．米 C．4米 D．6米
【答案】D
【解答】解：如图，根据题意BC＝2米，∠BCA＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4米，
∴2+4＝6米．
故选：D．
37．一辆汽车从点A出发沿正东方向行驶30km到达点B，然后转向行驶40km到达点C，最后从点C沿CA方向直接回到出发点A．如果汽车从出发到返回共行驶了120km，那么BC的方向是（ ）
A．正东或正西 B．正南
C．正北 D．正南或正北
【答案】D
【解答】解：由题意得，汽车从点C沿CA方向直接回到出发点A行驶了120﹣30﹣40＝50km，
∵302+402＝502，
∴BC⊥AB，
∴BC的方向是正南或正北，
故选：D．
38．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】B
【解答】解：由题意知，在正方形ABCD中，
Rt△ABE≌Rt△CDG≌Rt△DAH≌Rt△BCF，
∵AB＝10，AE＝8，
∴BE6，
∵BF＝AE＝8，
∴正方形EFGH的边长EF＝BF﹣BE＝8﹣6＝2，
∴正方形EFGH的面积＝EF2＝4．
故选：B．
39．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年一公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若a＝3，b＝1，则长方形的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解答】解：由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的长方形中，如图，a＝3，b＝1，
∴CD＝DE＝EF＝CF＝b＝1，
∴BD＝BG＝BC﹣CD＝a﹣b＝2，
设AF＝AG＝x，
∴AC＝x+1，AB＝x+2，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
∴（x+2）2＝（x+1）2+32，
解得x＝3，
∴AF＝3，
∴AC＝4，
∴长方形的面积为3×4＝12．
故选：C．
40．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 1.5 米．
【答案】1.5
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米）
故答案为：1.5．
41．如图，大风把一棵树刮断，量得AC＝4m，BC＝3m，则树刮断前的高度为 8 m．
【答案】8．
【解答】解：设大树断掉的部分AB长为xm，
∵∠BCA＝90°，
∴BC2+CA2＝AB2，
∴32+42＝x2，
解得x＝5（m），
∴大树原高为：3+5＝8（m），
答：树刮断前的高度为8m，
故答案为：8．
42．以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形，如果三个正方形的面积分别为S1，S2，S3，如果S1＝4，S2＝18，则S3＝ 22或14 ．
【答案】22或14．
【解答】解：∵以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形，
根据勾股定理结合正方形的面积可知S1+S2＝S3，或S2﹣S1＝S3，
∴S3＝4+18＝22或S3＝18﹣4＝14，
故答案为：22或14．
43．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 18 米．
【答案】18
【解答】解：如图所示：
∵△ABC是直角三角形，AB＝5m，AC＝12m，
∴BC12（m），
∴大树的高度＝AB+BC＝5+13＝18（m），
故答案为：18．
44．2025年1月，山西省太原市会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道铺上地毯（如图），已知地毯每平方米10元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 340 元．
【答案】340．
【解答】解：如图所示，由题意得：
由勾股定理可得：AC12（m），
则地毯总长为17（m），
则地毯的总面积为：17×2＝34（m2），
所以铺完这个楼道至少需要：34×10＝340（元）；
故答案为：340．
45．如图，这是可近似看作一个等腰△ABC的衣架，其中腰长26cm，底边的高长10cm，则底边BC＝ 48 cm．
【答案】48
【解答】解：∵AB＝AC＝26cm，AD＝10cm，AD⊥BC，
∴BC＝2CD＝2248（cm），
答：底边BC＝48cm，
故答案为：48．
46．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，大致意思为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离AB为1尺，将它往前水平推送10尺，即A′C＝10尺，此时秋千踏板离地的距离A′D与身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索OA长为x尺，则可列方程为 102+（x+1﹣5）2＝x2 ．
【答案】102+（x+1﹣5）2＝x2
【解答】解：由题意得：AB为1尺，A′C＝10尺，A′D＝5尺，设绳索OA＝OA′长为x尺，
在直角三角形A′OC中，由勾股定理得：102+（x+1﹣5）2＝x2，
故答案为：102+（x+1﹣5）2＝x2．
47．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 1.6 米．
【答案】1.6
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米米，
在Rt△ADE中，AD＝1.5米米，
由勾股定理得：AE0.9（米），
∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），
∴CD＝BE＝1.6米，
故答案为：1.6．
48．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：24（米）；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），
根据勾股定理得：25，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
49．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km．
（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
【答案】（1）台风中心经过15h从B点移到D点；
（2）A市受到台风影响的时间持续12h．
【解答】解：（1）由题意可知，AD⊥BC，AB＝340km，AD＝160km，
在Rt△ABD中，，
∵300÷20＝15，
∴台风中心经过15h从B点移到D点；
（2）如图，在射线BC上取点E、F，使得AE＝AF＝200km，
由AD⊥BC得DE＝DF，
在Rt△AED中，，
∴EF＝2ED＝240km，
∴t＝240÷20＝12，
∴A市受到台风影响的时间持续12h．
50．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知BC＝ 5 米，用含有x的式子表示AC为 （x+1） 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意知：BC＝5米，AC＝（x+1）米．
故答案为：5；（x+1）；
（2）在直角△ABC中，由勾股定理得：
BC2+AB2＝AC2，
即52+x2＝（x+1）2．
解得x＝12．
答：旗杆的高度为12米．第18章 18.2 勾股定理的逆定理
题型1 两点间的距离公式 题型2 勾股定理的逆定理
题型3 勾股数 题型4 勾股定理的应用
▉题型1 两点间的距离公式
【知识点的认识】
两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．
说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
1．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点M（x1，y1），N（x2，y2），那么两点间的距离，例如：若点M（4，1），N（3，2），则．
（1）已知A（3，5），B（﹣1，﹣3），求A，B两点间的距离；
（2）已知A（1，2），B（﹣3，4），C（﹣1，6），判断△ABC的形状；
（3）代数式的最小值是 ．
2．阅读下列一段文字，然后回答下列问题：
已知平面内两点M（x1，y1）、N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：MN．
例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），则这两点的距离PQ．
特别地，如果两点M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN＝|x1﹣x2|或|y1﹣y2|．
（1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；
（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．
▉题型2 勾股定理的逆定理
【知识点的认识】
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
3．下列长度的三条线段能首尾相接构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1，1， B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，11
5．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝3：4：5 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．a：b：c＝1：2：
6．五根小木棒，其长度（单位：cm）分别为8，9，12，15，17，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB，AC，BC B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．AB：AC：BC＝12：5：13 D．∠A＝30°，∠C＝45°
8．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．5，11，13 B．，2，5 C．1，，4 D．7，24，25
9．《数书九章》里记载有这样一道题，其大意是：有一块三角形沙地，三条边长分别为5里，12里，13里，则该沙田的面积为（ ）
A．30平方里 B．50平方里 C．60平方里 D．65平方里
10．小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，3，4 D．6，8，10
11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝c2 B．∠A＝90°﹣∠B
C．a：b：c＝1：2：3 D．6∠A＝2∠B＝3∠C
12．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（ ）
A．65平方里 B．60平方里 C．325平方里 D．30平方里
13．在△ABC中，AC＝6，BC＝a，AB＝b，如果a，b满足（a+6）（a﹣6）+b2＝0，则△ABC的形状是 ．
14．如图，D为△ABC内一点，∠ADB＝90°，AD＝3，BD＝4，AC＝5，，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12．
（1）判断△BCD的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．
▉题型3 勾股数
【知识点的认识】
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
18．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11
19．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1 B．3，4，5 C．， D．1，2，
20．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．3，4，4
21．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6
C． D．0.3，0.4，0.5
22．下列四组数据中是勾股数的有（ ）
①5、7、8 ②、3
③9、12、15 ④n2+1，n2﹣1 2n（n＞1）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
23．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是 ．
24．观察下列一组数：
列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；
列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；
列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；
…
列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝ ，c＝ ．
▉题型4 勾股定理的应用
【知识点的认识】
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
25．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（ ）
A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4
26．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．13m B．17m C．18m D．26m
27．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5m，树的顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度是（ ）
A．16m B．18m C．22m D．24m
28．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和10cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（ ）cm．
A．20 B．15 C．10 D．5
29．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）
A．45m B．40m C．50m D．56m
30．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
31．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD＝1.5m，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
32．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．7 B．8 C．9 D．10
33．如图，一条笔直的铁路AB的同侧有两个村庄C，D，它们到铁路AB的距离分别为15km和10km，分别过C，D两点作AB的垂线，垂足为M，N，测量得MN＝25km．现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站到M点的距离为（ ）
A．6km B．8km C．10km D．12km
34．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
35．消防车上的云梯示意图如图①所示，云梯最多只能伸长到20m，消防车高3m．如图②，消防员借助云梯对位于15m高的点A处的老人实施救援时消防车上的云梯伸长至最长，在完成A处的救援后发现在A处上方4m的B处有一个老人未及时撤离，为了能成功地救出B处的老人，则消防车需要从C处向着火的楼房靠近的距离CD为（ ）
A．4m B．3m C．2m D．1m
36．如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．米 B．米 C．4米 D．6米
37．一辆汽车从点A出发沿正东方向行驶30km到达点B，然后转向行驶40km到达点C，最后从点C沿CA方向直接回到出发点A．如果汽车从出发到返回共行驶了120km，那么BC的方向是（ ）
A．正东或正西 B．正南
C．正北 D．正南或正北
38．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
39．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年一公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若a＝3，b＝1，则长方形的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
40．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 米．
41．如图，大风把一棵树刮断，量得AC＝4m，BC＝3m，则树刮断前的高度为 m．
42．以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形，如果三个正方形的面积分别为S1，S2，S3，如果S1＝4，S2＝18，则S3＝ ．
43．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 米．
44．2025年1月，山西省太原市会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道铺上地毯（如图），已知地毯每平方米10元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
45．如图，这是可近似看作一个等腰△ABC的衣架，其中腰长26cm，底边的高长10cm，则底边BC＝ cm．
46．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，大致意思为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离AB为1尺，将它往前水平推送10尺，即A′C＝10尺，此时秋千踏板离地的距离A′D与身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索OA长为x尺，则可列方程为 ．
47．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 米．
48．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
49．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km．
（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
50．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知BC＝ 米，用含有x的式子表示AC为 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
