18.1 勾股定理
题型1 勾股定理
▉题型1 勾股定理
【知识点的认识】
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
1．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16 B．25 C．144 D．169
2．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．S△ABC＝10
B．∠BAC＝90°
C．AB＝2
D．点A到直线BC的距离是2
3．若实数m，n满足|m﹣3|0，且m，n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为（ ）
A．3或4 B．5或 C．5 D．
4．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB长为半径画弧，交最上方的网格线与点D，则CD的长为（ ）
A． B．0.8 C． D．
5．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（ ）
A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD
C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD
7．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A．50 B．16 C．25 D．41
8．如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形，每个小正方形的边长都是1cm，则一只蚂蚁从正方体表面A处爬到B处至少要爬（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
10．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
11．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．5 D．
13．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A．1 B．3 C． D．
14．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，如果S2+S1﹣S3＝16，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．4 C．5 D．8
15．如图，l1和l2是两块相互平行的平面镜，l1与l2之间的距离为3dm，光线从点A出发，照射到点B后，再反射到点C，AC＝8dm．根据“知识桥”的内容可知，光线AB的长为（ ）
知识桥：根据镜面反射规律，若一束光线AB照射到镜面l1上，反射光线为BC，则一定有∠1＝∠2．
A．3dm B．4dm C．5dm D．6dm
16．已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（ ）
A．12 B．169 C．144或194 D．144或169
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．4π﹣6 D．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为（ ）
A．18 B．24 C．12 D．30
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S1﹣S2＝26，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．12 D．13
20．如图，Rt△ABC的直角边AC在数轴上，点A表示﹣2，且AC＝3，BC＝1，若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点P，则点P表示的数为（ ）
A． B．3 C．1.2 D．2
21．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为（ ）cm2．
A．36 B．18 C．81 D．27
22．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A． B． C． D．
24．如图，点O，B在数轴上所表示的数分别为0，4，CB⊥OB于点B，BC＝2，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
25．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠C＝30°．小红作图过程如下：以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，连接AD，则CD的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．
26．在Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．无法计算
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，BC＝2，则AB的长是（ ）
A． B． C．2 D．
28．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于点D，若CB＝10，AC＝6，则△ACD的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
29．如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（ ）
A．2 B．1.8 C．﹣1+2 D．
30．如图，在△ABC中，AB＝4，点D，E在边BC上，∠BAD＝90°，AD＝2，BE＝DE＝CD，若点F是AC边的中点，则DF的长度为（ ）
A． B． C．2 D．1
31．如图，数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC＝1，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点A右边的点P，则点P所表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
32．如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
33．如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
34．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形ABDE和正方形BCFG，再以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACH，∠H＝90°，若AH＝1，CH＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
35．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝3，S3＝4，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
36．如图，等腰三角形ABC的底边长为16，底边上的高AD长为6，则腰AB的长度为 ．
37．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．
38．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 ．
39．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ．
40．如图，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是 ．
41．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2025＝ ．
42．在△ABC中，AB＝30，AC＝26，高AD＝24，则三角形ABC的周长为 ．
43．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为 ．
44．如图：用四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x为长直角边，y为短直角边），则下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是 ．
45．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离为 ．
46．如图，△ABC中，∠A＝45°，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O，BD＝CE，∠BOC＝120°，若，CD＝6，则BD＝ ．
47．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD＝4，BD平分∠ABC交AC于点D，则点D到AB的距离是 ．
48．一个直角三角形的三边长从小到大依次为x，4，5，则x＝ ．
49．如图，5×5网格中每个小正方形的边长均为1，点A，D在格点上，点B在网格线上，线段AB的垂直平分线恰好经过格点C，则BD的长是 ．
50．若我们把对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD＝3，BC＝8，则AB2+CD2＝ ．
51．如图，∠ACB＝90°，AB＝4cm，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 ．
52．如图，∠AOB＝30°，OA＝6cm，点M是射线OB上一个动点，当△AOM为直角三角形时，OM的长为 ，
53．如图，矩形ABCD的顶点A、B在数轴上，点A表示﹣2，AB＝2，AD＝1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则点M所表示的数为 ．
54．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，CD是边AB上的中线，则CD的长为 ．
55．如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD，则正方形ABCD的边长为 ．
56．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝25，BC＝14，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC于点E，则DE的长为 ．
57．将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，AE与BC交于点F，若AB＝10cm，则AF＝ cm．
58．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以BC和AC为边向外分别作正方形，面积分别为S1和S2．若S1＝52，S2＝16，则△ABC的面积为 ．
59．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
60．【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．
【应用探究】
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝2．求证：△ABC是“奇异三角形”；
（2）已知，等腰△ABC是“奇异三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长．（结果保留根号）18.1 勾股定理
题型1 勾股定理
▉题型1 勾股定理
【知识点的认识】
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
1．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16 B．25 C．144 D．169
【答案】B
【解答】解：
根据勾股定理得出：AB，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
2．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．S△ABC＝10
B．∠BAC＝90°
C．AB＝2
D．点A到直线BC的距离是2
【答案】A
【解答】解：A、S△ABC＝4×43×41×22×4＝5，本选项结论错误，符合题意；
B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵AB2＝20，
∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
则25×h，
解得，h＝2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：A．
3．若实数m，n满足|m﹣3|0，且m，n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为（ ）
A．3或4 B．5或 C．5 D．
【答案】B
【解答】解：∵|m﹣3|0，
∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，
∴m＝3，n＝4，
当m、n为直角边时，第三边长是5，
当n为斜边时，第三边长是，
综上所述，第三条边长为5或，
故选：B．
4．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB长为半径画弧，交最上方的网格线与点D，则CD的长为（ ）
A． B．0.8 C． D．
【答案】D
【解答】解：如图：连接AD，
由题意可得：AD＝AB＝CE＝3，
AE＝2，∠E＝90°，
∴DE，
∴CD＝CE﹣DE＝3，
故选：D．
5．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：11，
故选：B．
6．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（ ）
A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD
C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD
【答案】C
【解答】解：如图，连接CF，
∵AC＝AD，AC⊥AD，
∴∠ACD＝45°＝∠ADC，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD，
∵∠ABC+∠ACB+∠ADB+∠ABD+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠CBD＝45°，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∴∠CBD＝∠BCF＝45°，即∠CFD＝90°，
∴BF2+DF2＝CD2＝AC2+AD2．
故选：C．
7．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A．50 B．16 C．25 D．41
【答案】A
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25，
∴CD2+BD2＝BC2＝25，
∴阴影部分的面积＝25+25＝50，
故选：A．
8．如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴AC，
∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P，
∴AP＝AC，
∴点P表示的数是﹣1；
故选：A．
9．如图，一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形，每个小正方形的边长都是1cm，则一只蚂蚁从正方体表面A处爬到B处至少要爬（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【解答】解：将正方体的前面、上面展开后如图所示，
此时AB5（cm），
故选：C．
10．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【答案】D
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
11．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，
∴每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方，
A、由勾股定理得：S＝5+15＝20，故选项A不符合题意；
B、由勾股定理得：S＝8+6＝14，故选项B不符合题意；
C、由勾股定理得：S＝8﹣6＝2，故选项C不符合题意；
D、由勾股定理得：S＝15﹣5＝10，故选项D符合题意；
故选：D．
12．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．5 D．
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
即S1+S2＝S3，
∵S3+S2﹣S1＝18，
∴S2＝9，
由图形可知，阴影部分的面积S2，
∴阴影部分的面积，
故选：B．
13．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【解答】解：连接AD，
由题意知：AD＝AB＝3，
在Rt△AED中，由勾股定理得：ED，
∴CD＝CE﹣DE＝3，
故选：B．
14．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，如果S2+S1﹣S3＝16，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【解答】解：由勾股定理得S2﹣S3＝S1，
∵S2+S1﹣S3＝16，
∴S1＝8，
由图形可知，阴影部分的面积为，
故选：B．
15．如图，l1和l2是两块相互平行的平面镜，l1与l2之间的距离为3dm，光线从点A出发，照射到点B后，再反射到点C，AC＝8dm．根据“知识桥”的内容可知，光线AB的长为（ ）
知识桥：根据镜面反射规律，若一束光线AB照射到镜面l1上，反射光线为BC，则一定有∠1＝∠2．
A．3dm B．4dm C．5dm D．6dm
【答案】C
【解答】解：l1和l2是两块相互平行的平面镜，l1与l2之间的距离为3dm，如图，作BD⊥AC于D，
，
∴∠BAD＝∠1，∠BCD＝∠2，BD＝3dm，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴AB＝CB，
∵BD⊥AC，
∴AD＝CD＝4dm，
∴，
故选：C．
16．已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（ ）
A．12 B．169 C．144或194 D．144或169
【答案】C
【解答】解：分为两种情况：①当第三边是斜边时，第三边的平方是52+132＝194；
②当第三边是直角边时，第三边的平方是132﹣52＝144；
故选：C．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．4π﹣6 D．
【答案】A
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝25，
则阴影部分的面积AC×BCπ×（）2π×（）2π×（）2
3×4π（AC2+BC2﹣AB2）
＝6，
故选：A．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为（ ）
A．18 B．24 C．12 D．30
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，AB10，
∵分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，
∴AB＝AD＝BD＝10，
∴△ABD的周长为3×10＝30．
故选：D．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S1﹣S2＝26，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．12 D．13
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，由勾股定理得：BC2﹣AC2＝AB2，
∵分别以这个三角形三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3S1，
∴S3﹣S2＝S1，
∵S3+S1﹣S2＝26，
∴S1＝13，
由图形可知，阴影部分的面积为，
故选：B．
20．如图，Rt△ABC的直角边AC在数轴上，点A表示﹣2，且AC＝3，BC＝1，若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点P，则点P表示的数为（ ）
A． B．3 C．1.2 D．2
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，
∴AB，
由题意可知，AP＝AB，
∵点A表示﹣2，
∴点P表示的数为：2，
故选：D．
21．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为（ ）cm2．
A．36 B．18 C．81 D．27
【答案】C
【解答】解：如图，
由勾股定理可得：正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形E的面积，正方形C的面积+正方形D的面积＝正方形F的面积，正方形E的面积+正方形F的面积＝正方形G的面积，
∴正方形A，B，C，D的面积之和＝92＝81cm2，
故选：C．
22．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝1，
∴BC＝AD＝1，∠ABC＝90°．
∵∠ABC＝90°，BC＝1，AB＝3，
∴AC，
∴AM＝AC，
∴点M所表示的数为1．
故选：D．
23．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：数轴上正方形的边长为1，
则正方形的对角线长为：，
则点A表示的数为．
故选：C．
24．如图，点O，B在数轴上所表示的数分别为0，4，CB⊥OB于点B，BC＝2，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【答案】A
【解答】解：在Rt△OBC中，由勾股定理得，
OC2，
∴OA＝OC＝2，
故选：A．
25．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠C＝30°．小红作图过程如下：以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，连接AD，则CD的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，如图：
∵AB＝AD，
∵AE⊥BD，
∴BE＝DE，
在Rt△AEC，AC＝8，∠C＝30°，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∴DE＝BE＝3，
∴．
故选：D．
26．在Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．无法计算
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，斜边BC＝2，
由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，即4＝AB2+AC2，
∴AB2+AC2+BC2＝BC2+BC2＝4+4＝8．
故选：C．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，BC＝2，则AB的长是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB，
故选：D．
28．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于点D，若CB＝10，AC＝6，则△ACD的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解答】解：由题意可得：AD＝BD，
∴AD+CD＝BD+CD，
∴AD+CD＝BC，
∴AC+CD+AD＝AC+BC＝6+10＝16．
故选：B．
29．如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（ ）
A．2 B．1.8 C．﹣1+2 D．
【答案】C
【解答】解：如图，
由题意可知，BA＝BC，∠BDC＝90°，BD＝CD＝2，
∴BC2，
∴BA＝2，
∴DA＝BA﹣BD＝22，
∴数轴上点A所表示的数为22+1＝﹣1+2，
故选：C．
30．如图，在△ABC中，AB＝4，点D，E在边BC上，∠BAD＝90°，AD＝2，BE＝DE＝CD，若点F是AC边的中点，则DF的长度为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：∵∠BAD＝90°，AD＝2，AB＝4，
∴BD，
∵BE＝DE，
∴AE，
∵DE＝CD，点F是AC的中点，
∴DF，
故选：B．
31．如图，数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC＝1，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点A右边的点P，则点P所表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，
∴AC＝1﹣（﹣2）＝3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB，
∴点P表示的数为2，
故选：A．
32．如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
AB＝3，BC＝2，AB⊥BC，
∴AC，
∴AD．
∴点D表示数为2．
故选：C．
33．如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，AO＝2，
∴OB，
又∵OB＝OP，
∴OP，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为．
故选：A．
34．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形ABDE和正方形BCFG，再以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACH，∠H＝90°，若AH＝1，CH＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：在Rt△AHC中，由勾股定理得，
AC2＝AH2+HC2＝1+24＝25，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2+BC2＝AC2＝25，
∵分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形ABDE和正方形BCFG，
∴正方形AEDB的面积+正方形BGFC的面积＝AB2+BC2＝AC2＝25，
又∵S△AHC，
∴图中阴影部分的面积＝25，
故选：C．
35．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝3，S3＝4，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解答】解：∵BC2＝AC2+AB2，，
∴S阴影＝S四边形DEFG，
∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3＝2+3+4＝9，
即两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为9，
故选：C．
36．如图，等腰三角形ABC的底边长为16，底边上的高AD长为6，则腰AB的长度为 10 ．
【答案】10
【解答】解：如图，AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DCBC＝8，
∴AB10，
故答案为：10．
37．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 24 cm．
【答案】24
【解答】解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：
（2n﹣2）2+（2n）2＝（2n+2）2，
解得：n1＝4，n2＝0（不合题意舍去），
即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．
所以，其周长为6+8+10＝24cm．
38．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：如图所示：
∵BC，BC＝BA，
∴AO1，
∵点A在原点左边，
∴a的值为1．
39．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 25 ．
【答案】25．
【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝9，一直角边的平方＝16，
则斜边的平方＝9+16＝25．
故答案为：25．
40．如图，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是 8π ．
【答案】8π．
【解答】解：∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB2＝100，BD2＝36，
∴AD2＝100﹣36＝64，
∴AD＝8，
∴以AD为直径的半圆的面积是π（AD）2πAD2＝8π．
故答案为：8π．
41．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2025＝ ．
【答案】．
【解答】解：在直角三角形OPP1中，由勾股定理得：，
在直角三角形OP1P2中，由勾股定理得：，
在直角三角形OP2P3中，由勾股定理得：，
……，
依此类推，（n为正整数），
当n＝2025时，，
∴．
故答案为：．
42．在△ABC中，AB＝30，AC＝26，高AD＝24，则三角形ABC的周长为 84或64 ．
【答案】84或64．
【解答】解：当高AD在△ABC的内部时，如图1，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
∴BC＝BD+CD＝28，
此时△ABC的周长是AB+BC+AC＝30+28+26＝84；
当高AD在△ABC的外部时，如图2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
∴BC＝BD﹣CD＝8，
此时△ABC的周长是AB+BC+AC＝30+8+26＝64；
综上所述，△ABC的周长是84或64．
故答案为：84或64．
43．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为 3 ．
【答案】3
【解答】解：连接AD，
由题意知：AD＝AB＝3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
DE，
∴CD＝CE﹣DE＝3，
故CD的长为3，
故答案为：3．
44．如图：用四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x为长直角边，y为短直角边），则下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是 ①②③ ．
【答案】①②③．
【解答】解：①大正方形的面积是49，则其边长是7，利用勾股定理可得x2+y2＝49，
故①说法正确，符合题意；
②小正方形面积为4，则其边长是2，
因为是四个全等三角形，所以有x＝y+2，所以x﹣y＝2，
故②说法正确，符合题意；
③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，即4xy+4＝49，化简得2xy+4＝49，
故③说法正确，符合题意；
④因为（x+y）2＝x2+y2+2xy＝49+45＝94，所以x+y，
故④说法不正确，不符合题意；
综上所述，说法正确的是①②③．
故答案为：①②③．
45．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，
在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝5，
则AD3，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝3，即点D到BC的距离为3，
故答案为：3．
46．如图，△ABC中，∠A＝45°，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O，BD＝CE，∠BOC＝120°，若，CD＝6，则BD＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：如图，过点C作NF∥AB，且CF＝BE，过点D作DN⊥FN于N，
则∠DCN＝∠A＝45°，
∴DN＝CN，
由勾股定理得：DN2+CN2＝CD2＝62＝36，
∴DN＝CN＝3，
∴FN＝347，
∵CF∥BE，CF＝BE，
∴四边形BEFC为平行四边形，
∴BF＝EC＝BD，BF∥EC，
∴∠DBF＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∴△BDF为等边三角形，
∴BD＝DF，
由勾股定理得：DF2，
故答案为：2．
47．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD＝4，BD平分∠ABC交AC于点D，则点D到AB的距离是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥AB于M，则∠AMD＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD＝4，
∴，
∴点D到AB的距离是2，
故答案为：2．
48．一个直角三角形的三边长从小到大依次为x，4，5，则x＝ 3 ．
【答案】3．
【解答】解：根据题意知，该直角三角形的斜边长为5，x、4是两条直角边，则x3．
故答案为：3．
49．如图，5×5网格中每个小正方形的边长均为1，点A，D在格点上，点B在网格线上，线段AB的垂直平分线恰好经过格点C，则BD的长是 ．
【答案】．
【解答】解：连接CA，CB，
因为每个小正方形的边长均为1，
则勾股定理得，
AC2＝12+52＝26．
因为线段AB的垂直平分线恰好经过格点C，
所以CB＝CA，
则CB2＝CA2＝26．
在Rt△BCD中，
BD．
故答案为：．
50．若我们把对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD＝3，BC＝8，则AB2+CD2＝ 73 ．
【答案】73．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，
在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2，
∴CB2+AD2＝BO2+CO2+OD2+OA2＝64+9＝73，
∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2，
∴AB2+CD2＝BO2+AO2+OC2+OD2＝（BO2+OD2）+（AO2+OC2）＝CB2+AD2＝73．
故答案为：73．
51．如图，∠ACB＝90°，AB＝4cm，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 16cm2 ．
【答案】16cm2．
【解答】解：由已知可得，
阴影部分的面积为，
∵∠ACB＝90°，AB＝4cm，
∴BC2+AC2＝AB2＝42＝16，
∴
＝16，
故答案为：16cm2．
52．如图，∠AOB＝30°，OA＝6cm，点M是射线OB上一个动点，当△AOM为直角三角形时，OM的长为 3cm和4cm ，
【答案】3cm和4cm．
【解答】解：分两种情况：
当∠AMO＝90°时，如图：
∵∠AOM＝30°，
∴AMOA6＝3（cm），
∴OM3（cm）；
当∠OAM＝90°时，如图：
∵∠AOM＝30°，
∴OM＝2AM，
∵AM2+OA2＝OM2，
即 AM2+OA2＝（2AM）2，
∴AMOA＝2（cm），
∴OM＝2AM＝4（cm）．
综上所述：OM的值为3cm和4cm．
故答案为：3cm和4cm．
53．如图，矩形ABCD的顶点A、B在数轴上，点A表示﹣2，AB＝2，AD＝1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则点M所表示的数为 ．
【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵AB＝2，AD＝1，
∴，
∵以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，A表示的数为﹣2，
∴，
∴，
∴点M表示点数为．
故答案为：．
54．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，CD是边AB上的中线，则CD的长为 ．
【答案】．
【解答】解：由勾股定理得：AC2＝12+22＝5，BC2＝22+52＝20，AB2＝32+42＝25，
则AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AB2＝25，
∴AB＝5（负值舍去），
在Rt△ABC中，CD是边AB上的中线，
则CDAB，
故答案为：．
55．如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD，则正方形ABCD的边长为 ．
【答案】．
【解答】解：设左下角的字母为E，如图所示：
在Rt△ABE中，AE＝1，BE＝3，∠AEB＝90°，
∴，
∴正方形ABCD的边长为．
故答案为：．
56．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝25，BC＝14，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC于点E，则DE的长为 6.72 ．
【答案】6.72．
【解答】解：作DF⊥AB于点F，如图所示，
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴AD⊥BC，DE＝DF，∠ADB＝90°，D为BC的中点，
∵AB＝25，BC＝14，
∴BD＝7，
∴AD24，
∵S△ABC＝S△ADB+S△ADC，
∴，
即，
解得DE＝DF＝6.72，
故答案为：6.72．
57．将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，AE与BC交于点F，若AB＝10cm，则AF＝ 5 cm．
【答案】5cm．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴ACcm，
由题意可知，BC∥DE，
∴∠AFC＝∠E＝45°，
∴∠CAF＝∠AFC＝45°，
∴CF＝AC＝5cm，
∴AF5（cm），
故答案为：5cm．
58．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以BC和AC为边向外分别作正方形，面积分别为S1和S2．若S1＝52，S2＝16，则△ABC的面积为 12 ．
【答案】12．
【解答】解：∵S1＝52，S2＝16，
∴，，
∴AC＝4，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2＝36，
∴AB＝6，
∴△ABC的面积为，
故答案为：12．
59．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
PQ2（cm）；
（2）解：根据题意得：BQ＝BP，
即2t＝8﹣t，
解得：t；
即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；
（3）解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
∴AC10（cm），
∴CQ＝AQAC＝5（cm），
∴BC+CQ＝11（cm），
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12（cm），
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE4.8（cm）
∴CE3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
60．【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．
【应用探究】
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝2．求证：△ABC是“奇异三角形”；
（2）已知，等腰△ABC是“奇异三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长．（结果保留根号）
【答案】（1）见解析；
（2）或．
【解答】（1）证明：如图，BD为三角形ABC底边AC上的中线，
则CD1，
又∵BC，
∴BDAC，
∴△ABC是“奇异三角形”；
（2）解：分两种情况：如图，当腰上的中线BD＝AC时，则AB＝BD，过B作BE⊥AD于E
∵AB＝AC＝20，
∴BD＝20，，
∴CE＝10+5＝15，
∴Rt△BDE中，BE2＝BD2﹣DE2＝375，
∴Rt△BCE中，；
如图，当底边上的中线AD＝BC 时，则AD⊥BC，且AD＝2BD，
设BD＝x，则x2+（2x）2＝202，
∴x2＝80，
又∵x＞0，
∴，
∴，
综上所述，底边BC的长为或．
