第19章 19.2 平行四边形
题型1 三角形中位线定理 题型2 平行四边形的性质
题型3 平行四边形的判定 题型4 平行四边形的判定与性质
题型5 平行线分线段成比例
▉题型1 三角形中位线定理
【知识点的认识】
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
1．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长是（ ）
A．4 B．5 C．2 D．2
3．如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，若AC＝6，BC＝13，则DF的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
4．如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA、OB的中点D、E，量得DE＝10m，则A、B之间的距离是（ ）
A．5m B．10m C．20m D．40m
5．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的直线距离，在地面上确定可直线到达点A、点B的点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝20m，则A，B之间的直线距离是（ ）
A．25m B．30m C．35m D．40m
6．如图，小明为了测量某湖两岸A，B两点间的距离，先在AB外选定一点C，然后测量得到CA，CB的中点D，E，且DE＝30m，从而计算出A，B两点间的距离是（ ）
A．30m B．40m C．60m D．90m
7．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出它们的中点M、N．若测得MN＝16m，则A、B两点的距离为 ．
▉题型2 平行四边形的性质
【知识点的认识】
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
8．在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1
9．如图，在 ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝115°，则∠MCD的度数是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠B＝65°，求∠DAF＝（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
12．如图是一个破损的平行四边形ABCD纸片，已知∠B＝80°，则破损的∠D的度数是（ ）
A．80° B．100° C．85° D．95°
13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（ ）
A． B．6 C．8 D．
14．如图，点O是 ABCD的对角线的交点，∠ABC＝120°，∠ADC的平分线DE交AB于点E，AB＝2AD，连接OE．下列结论：①S ABCD＝AD BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④OE：BD：6；⑤S△ADE＝5S△OFE，其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝3，AE＝2，则DE的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
16．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边长m的取值范围为（ ）
A．0＜m＜10 B．0＜m＜6 C．4＜m＜6 D．2＜m＜8
17．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，若AB＝4，AC＝6，则BD的长为（ ）
A．10 B．5 C． D．2
18．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
19．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则OB的长为（ ）
A． B．6 C．7 D．
20．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
21．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝2，AF＝3，且 ABCD的周长为20，则 ABCD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．24
22．在 ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
23．如图，四边形ABCD是平行四边形，CE＝CD，∠B＝62°，则∠DEC的度数为（ ）
A．62° B．57° C．59° D．60°
24．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则 ABCD的周长是（ ）
A．16 B．14 C．20 D．24
25．在 ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A等于（ ）
A．40° B．50° C．130° D．140°
26．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为20，则 ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
27．如图， ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC交AD于点M，如果△CDM的周长是14cm，则 ABCD的周长为（ ）
A．28cm B．36cm C．42cm D．48cm
28．如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠DAE的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
29．如图，在 ABCD中，AB＝4，BD＝10，AC⊥AB，则 ABCD的面积是（ ）
A．12 B．20 C．24 D．40
30．如图，在 ABCD中，AB＝2，BF、CE分别是∠ABC与∠BCD的角平分线，交点为点O，EF＝1，则OB2+OC2＝（ ）
A．5 B．10 C．9 D．12
31．如图，在 ABCD中，AB＝4，∠ABC的平分线交AD于点E，ED＝3，则BC等于（ ）
A．2 B．7 C．4 D．5
32．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．12 B．10 C．13 D．14
33．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
34．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC．若BD＝8，AC＝4，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
35．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC 于点E，∠BCD＝60°，AD＝2AB，连接OE．下列说法正确的有（ ）
①S ABCD＝AB BD；
②AC平分∠BCD；
③AB＝DE；
④S△CDE＝S△BOC．
A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
36．如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（ ）
A．125° B．115° C．55° D．135°
37．如图，在 ABCD中，点E在DC边上，连接AE、BE，若AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，AE＝8，BE＝6，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．30 C．40 D．48
38．如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，AB＝AE，AD＝DE，若∠B＝68°，则∠CDE的度数为 ．
39．如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，点E是AD的中点，点F在线段CD上，连接EF，BF，若∠FBC＝15°，∠EFD＝60°，时，AB的长度为 ．
▉题型3 平行四边形的判定
【知识点的认识】
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
40．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC
C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD
41．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
42．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
43．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC，OB＝OD B．AB＝CD，AC＝BD
C．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，BC∥AD
44．在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或6 D．3或6
45．如图，在7×7的正方形网格图中，将△ABC平移到△DEF的位置，对于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：线段BE的长可以看作平移的最短距离；
乙：连接AD，CF，四边形ADFC是平行四边形．
A．只有甲的对 B．只有乙的对
C．甲、乙的都对 D．甲、乙的都不对
46．下面是嘉淇同学的不完整的推理过程：
∵∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD． 又∵※， ∴四边形ABCD为平行四边形．
为了使嘉淇的推理成立，则“※”处应补充的条件是（ ）
A．∠B+∠C＝180° B．AB＝CD
C．∠A＝∠B D．AD＝BC
47．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 ．
48．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝ s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
▉题型4 平行四边形的判定与性质
【知识点的认识】
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
49．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝110°；④S四边形AEFD＝6．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
50．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（ ）
A．2s B．5s C．2s或 D．5s或
51．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，CE，则下列结论：
①△ABD≌△ACE；②四边形BDEF是平行四边形；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
52．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：
①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（ ）
A．①② B．③ C．②④ D．②③④
53．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝110°；④S四边形AEFD＝1．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
54．下列关于平行四边形的说法中错误的是（ ）
A．平行四边形的对角相等，邻角互补
B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
55．如图，AC是 ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC交AD于点G，垂足为E，过点D作DH⊥AC交BC于点H，垂足为F，连接GH、EH．则下列结论：①BE＝DF；②四边形GBHD是平行四边形；③∠GAC＝∠DHC；④GH平分 ABCD的周长；⑤S△ABE＝S△EHC，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
▉题型5 平行线分线段成比例
【知识点的认识】
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
56．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（ ）
A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm第19章 19.2 平行四边形
题型1 三角形中位线定理 题型2 平行四边形的性质
题型3 平行四边形的判定 题型4 平行四边形的判定与性质
题型5 平行线分线段成比例
▉题型1 三角形中位线定理
【知识点的认识】
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
1．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中
，
∴△ADB≌△ADH（ASA）
∴AH＝AB＝4，BD＝DH，
∴HC＝AC﹣AH＝6﹣4＝2，
∵BD＝DH，BM＝MC，
∴DM是△BCH的中位线，
∴，
故选：D．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长是（ ）
A．4 B．5 C．2 D．2
【答案】D
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
由勾股定理得：AB4，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEAB＝2．
故选：D．
3．如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，若AC＝6，BC＝13，则DF的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】B
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DEBC13＝6.5，DE∥BC，
∴∠EFC＝∠BCF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC，
∵E是AC的中点，
∴CEAC6＝3，
∴EF＝3，
∴DF＝DE﹣EF＝6.5﹣3＝3.5．
故选：B．
4．如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA、OB的中点D、E，量得DE＝10m，则A、B之间的距离是（ ）
A．5m B．10m C．20m D．40m
【答案】C
【解答】解：∵点D、E分别为OA、OB的中点，
∴DE是△OAB的中位线，
∴AB＝2DE＝2×10＝20（m），
故选：C．
5．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的直线距离，在地面上确定可直线到达点A、点B的点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝20m，则A，B之间的直线距离是（ ）
A．25m B．30m C．35m D．40m
【答案】D
【解答】解：∵点C，D分别为OA，OB的中点，
∴CD为△OAB的中位线，
∴AB＝2CD＝2×20＝40（m），
故选：D．
6．如图，小明为了测量某湖两岸A，B两点间的距离，先在AB外选定一点C，然后测量得到CA，CB的中点D，E，且DE＝30m，从而计算出A，B两点间的距离是（ ）
A．30m B．40m C．60m D．90m
【答案】C
【解答】解：连接AB，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEAB，
∵DE＝30m，
∴AB＝60（m），
即A、B两点间的距离是60m，
故选：C．
7．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出它们的中点M、N．若测得MN＝16m，则A、B两点的距离为 32m ．
【答案】32m．
【解答】解：∵M、N分别是AC和BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴AB＝2MN＝2×16＝32（m）．
故答案为：32m．
▉题型2 平行四边形的性质
【知识点的认识】
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
8．在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，
即∠A和∠C的度数相等，∠B和∠D的度数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D，
故选：D．
9．如图，在 ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝115°，则∠MCD的度数是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝115°，
∴∠MCD＝180°﹣∠BCD＝65°．
故选：C．
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC∥AD，
∴∠CBE＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
同理：FD＝CD＝3，
∴AF＝AD﹣FD＝4﹣3＝1，
∴EF＝AE﹣AF＝3﹣1＝2．
故选：B．
11．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠B＝65°，求∠DAF＝（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝65°，
∴∠B＝∠D＝65°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF＝90°﹣∠D＝25°．
故选：B．
12．如图是一个破损的平行四边形ABCD纸片，已知∠B＝80°，则破损的∠D的度数是（ ）
A．80° B．100° C．85° D．95°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝80°．
故选：A．
13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（ ）
A． B．6 C．8 D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，OA＝OC，
∵OE⊥AC
∴CE＝AE＝4，
∵DE＝3，
∴CE2+DE2＝42+32＝25，CD2＝25，
∴CE2+DE2＝CD2，
∴△EDC是直角三角形，∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴AC4，
故选：A．
14．如图，点O是 ABCD的对角线的交点，∠ABC＝120°，∠ADC的平分线DE交AB于点E，AB＝2AD，连接OE．下列结论：①S ABCD＝AD BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④OE：BD：6；⑤S△ADE＝5S△OFE，其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解：在 ABCD中，
∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴，
∴E是AB的中点，
∴DE＝BE，
∴，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
∴S ABCD＝AD BD，故①正确；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠CDB＝∠CDE﹣∠BDE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠CDB＝BDE，
故DB平分∠CDE，故②正确；
依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE，故③错误；
∵O是BD中点，E为AB中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴，OE∥AD，
在Rt△ABD中，，
∴，
∴，故④正确；
∵OE∥AD，
∴△ADF∽△OEF，
∴，
∴S△ADF＝4S△OEF，S△AEF＝2S△OEF
∴S△ADE＝S△ADF+S△AEF＝6S△OEF，故⑤错误；
∴正确的有3个，
故选：B．
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝3，AE＝2，则DE的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，AB＝3，
∴AB∥CD，AB＝CD＝3，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠BAD+∠CDA＝180°，∠DAE＝∠AEB，∠ADE＝∠CED，
∴，，
∴，∠BAE＝∠AEB，∠DEC＝∠CDE，
∴AB＝BE＝3，CD＝EC＝3，
∴BC＝BE+CE＝3+3＝6＝AD，
∵AE＝2，
∴．
故选：B．
16．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边长m的取值范围为（ ）
A．0＜m＜10 B．0＜m＜6 C．4＜m＜6 D．2＜m＜8
【答案】D
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝10，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝5，
在△AOB中，由三角形的三边关系得：OB﹣OA＜m＜OB+OA，
即5﹣3＜m＜5+3，
∴2＜m＜8，
故选：D．
17．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，若AB＝4，AC＝6，则BD的长为（ ）
A．10 B．5 C． D．2
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，AC＝6，
∴，BO＝DO，
∵AC⊥AB，
∴三角形ABO是直角三角形，
在直角三角形ABO中，由勾股定理得：，
∴BD＝2BO＝10，
故选：A．
18．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
【答案】D
【解答】解：设BC＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，
∴BC+CD＝20，
∴CD＝20﹣x，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵ ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，
∴4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝12×4＝48．
故选：D．
19．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则OB的长为（ ）
A． B．6 C．7 D．
【答案】A
【解答】解：∵AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴，
∴，
故选：A．
20．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCDF是平行四边形，
∴OA＝OC，
故选项B一定正确．
故选：B．
21．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝2，AF＝3，且 ABCD的周长为20，则 ABCD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．24
【答案】C
【解答】解：设BC＝x，CD＝y．
则有，
解得，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC AE＝2×6＝12．
故选：C．
22．在 ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠C＝∠A，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A与∠B的度数之比为1：2，
∴∠B＝2∠A，
∴∠A+2∠A＝180°，
∴∠C＝∠A＝60°，
故选：D．
23．如图，四边形ABCD是平行四边形，CE＝CD，∠B＝62°，则∠DEC的度数为（ ）
A．62° B．57° C．59° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝62°（平行四边形的对角相等），
∵CE＝CD（已知），
∴∠DEC＝∠D＝62°，
故选：A．
24．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则 ABCD的周长是（ ）
A．16 B．14 C．20 D．24
【答案】C
【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵ ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
∵在 ABCD中，AD＝6，BE＝2，
∴AD＝BC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∴CD＝AB＝4，
∴ ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．
故选：C．
25．在 ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A等于（ ）
A．40° B．50° C．130° D．140°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝∠C＝50°，
故选：B．
26．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为20，则 ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
【答案】A
【解答】解：∵ ABCD的周长为20，
∴2（BC+CD）＝20，
∴BC+CD＝10，
设BC＝x，则CD＝10﹣x，
在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，如图，连接AC，则S△ABC＝S△ACD，
∴BC AECD AF，即：4x6（10﹣x），
解得：x＝6，
∴ ABCD的面积为BC AE＝6×4＝24，
故选：A．
27．如图， ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC交AD于点M，如果△CDM的周长是14cm，则 ABCD的周长为（ ）
A．28cm B．36cm C．42cm D．48cm
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴CB＝AD，AB＝CD，OA＝OC，
∵OM⊥AC交AD于点M，
∴OM垂直平分AC，
∴AM＝CM，
∴AD＝AM+DM＝CM+DM，
∵△CDM的周长是14cm，
∴AD+CD＝CM+DM+CD＝14cm，
∴CB+AB+AD+CD＝2（AD+CD）＝28cm，
∴ ABCD的周长为28cm，
故选：A．
28．如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠DAE的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】A
【解答】解：在 ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D＝50°．
∵AB＝CD，BE＝CD，
∴AB＝BE．
∴∠BAE＝∠BEA＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝65°，
故选：A．
29．如图，在 ABCD中，AB＝4，BD＝10，AC⊥AB，则 ABCD的面积是（ ）
A．12 B．20 C．24 D．40
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，，，
∵AC⊥AB，
∴∠BAD＝∠ACD＝90°，
∴，
∴AC＝2OA＝6，
∴．
故选：C．
30．如图，在 ABCD中，AB＝2，BF、CE分别是∠ABC与∠BCD的角平分线，交点为点O，EF＝1，则OB2+OC2＝（ ）
A．5 B．10 C．9 D．12
【答案】C
【解答】解：∵BF、CE分别是∠ABC与∠BCD的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，∠DCE＝∠BCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AFB＝∠FBC，∠DEC＝∠BCE，∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB＝AF＝2，CD＝DE＝2，∠FBC+∠ECB＝90°，
∴AD＝AF+DE﹣EF＝3＝BC，∠BOC＝90°，
∴OB2+OC2＝BC2＝9，
故选：C．
31．如图，在 ABCD中，AB＝4，∠ABC的平分线交AD于点E，ED＝3，则BC等于（ ）
A．2 B．7 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE＝4，
BC＝AD＝AE+ED＝4+3＝7．
故选：B．
32．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．12 B．10 C．13 D．14
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，
∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC，
∴CD+AD＝9，∠OAE＝∠OCF，
在△AEO与△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE＝OF＝1.5，AE＝CF，
∴四边形EFCD的周长＝ED+CD+CF+EF
＝DE+CF+CD+EF
＝AD+CD+EF
＝9+3
＝12，
故选：A．
33．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AD＝5，
∴BC＝AD＝5，AD∥BC，OC＝OA，，
∵AB＝3，AC＝4，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴S△AODOA CD3，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴S△BOE＝S△DOF，
则图中阴影部分的面积是＝S△AOF+S△BOE＝S△AOF+S△DOF＝S△AOD＝3，
故选：B．
34．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC．若BD＝8，AC＝4，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：在 ABCD中，AC⊥BC，BD＝8，AC＝4，
∴，，
在直角三角形BOC中，由勾股定理得：BC，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AB2，
故选：B．
35．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC 于点E，∠BCD＝60°，AD＝2AB，连接OE．下列说法正确的有（ ）
①S ABCD＝AB BD；
②AC平分∠BCD；
③AB＝DE；
④S△CDE＝S△BOC．
A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，BC＝AD，AB＝CD，OB＝OD，
∴∠CED＝∠ADE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠CED＝∠CDE，
∴CE＝CD，
∵∠BCD＝60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴DE＝CD，∠CED＝∠CDE＝60°，
∴AB＝DE，
故③符合题意；
∵AD＝2AB，
∴BC＝2CE，
∴BE＝CE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EBD+∠EDB＝∠CED，
∴2∠EDB＝60°，
∴∠EDB＝30°，
∴∠BDC＝60°+30°＝90°，
∴BD⊥CD，
∴ ABCD的面积＝CD BD＝AB BD，
故①符合题意；
∵AD＞CD，
∴∠ACD＞∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴∠ACD＞∠ACB，
故②不符合题意；
∴E是BC的中点，
∵O是BD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，
∴△CDE的面积＝△OCD的面积，
∵OB＝OD，
∴△BOC的面积＝△OCD的面积，
∴△CDE的面积＝△BOC的面积，
故④符合题意，
∴说法正确的有①③④．
故选：D．
36．如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（ ）
A．125° B．115° C．55° D．135°
【答案】A
【解答】解：∵∠DCE＝55°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣55°＝125°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠DCB＝125°，
故选：A．
37．如图，在 ABCD中，点E在DC边上，连接AE、BE，若AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，AE＝8，BE＝6，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．30 C．40 D．48
【答案】B
【解答】解：∵AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，
∴∠DAE＝∠EAB∠DAB，∠CBE＝∠ABE∠CBA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，AD∥BC，DC＝AB，
∴∠DEA＝∠EAB，∠CEB＝∠EBA，
∴∠DAE＝∠DEA，∠CEB＝∠CBE，
∴AD＝DE，BC＝EC，
∴AD+BC＝DE+CE＝CD．
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∵AE＝8，BE＝6，
∴AB10，
∴ ABCD的周长＝AD+DC+BC+AB＝3AB＝30．
故选：B．
38．如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，AB＝AE，AD＝DE，若∠B＝68°，则∠CDE的度数为 24° ．
【答案】24°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠B＝68°，
∴∠B+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B＝68°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝68°（两直线平行，同位角相等），
∵AD＝DE，
∴∠AED＝∠DAE＝68°，
∴∠ADE＝180°﹣2×68°＝44°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝68°﹣44°＝24°，
故答案为：24°．
39．如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，点E是AD的中点，点F在线段CD上，连接EF，BF，若∠FBC＝15°，∠EFD＝60°，时，AB的长度为 7 ．
【答案】7．
【解答】解：如图，延长FE交BA的延长线于点T，过点E作EH⊥DF于点H．
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠D＝45°，
∴∠T＝∠EFD，∠TAE＝∠D，
∴△AET≌△DEF（AAS），
∴AT＝DF，ET＝EF，
∵EH⊥DF，
∴DH＝EHDE，
∵∠EFD＝60°，
∴∠FEH＝30°，
∴EF＝2FH，
∵EF2＝EH2+FH2，
∴4FH2＝FH2+3，
∴FH＝1，EF＝TE＝2，
∴DF＝AT＝1，
∵∠FBC＝15°，∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝BFC＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴BT＝2FT＝8，
∴AB＝BT﹣AT＝8﹣（1）＝7．
故答案为：7．
▉题型3 平行四边形的判定
【知识点的认识】
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
40．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC
C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD
【答案】B
【解答】解：A、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB∥DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
41．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵∠ACB＝∠DAC＝40°，
∴AD∥BC，
∵AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D、∠ACB＝∠CAD＝40°，
∴AD∥BC，
∵∠ABD＝∠BDC＝35°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故选：C．
42．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
【答案】C
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形．故本选项符合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
43．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC，OB＝OD B．AB＝CD，AC＝BD
C．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，BC∥AD
【答案】C
【解答】解：A、AB∥CD，OB＝OD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B、AB＝CD，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故本选项符合题意；
D、AB＝CD，BC∥AD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故选：C．
44．在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或6 D．3或6
【答案】C
【解答】解：①点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，
当点F在C的左侧时，
根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝（6﹣2t）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，
根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2s或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故选：C．
45．如图，在7×7的正方形网格图中，将△ABC平移到△DEF的位置，对于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：线段BE的长可以看作平移的最短距离；
乙：连接AD，CF，四边形ADFC是平行四边形．
A．只有甲的对 B．只有乙的对
C．甲、乙的都对 D．甲、乙的都不对
【答案】C
【解答】解：∵将△ABC平移到△DEF的位置，平移的距离等于线段BE的长，
∴线段BE的长可以看作平移的最短距离，甲的说法正确；
∴AD＝CF，AD∥CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，乙的说法正确，
∴甲和乙的说法均正确．
故选：C．
46．下面是嘉淇同学的不完整的推理过程：
∵∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD． 又∵※， ∴四边形ABCD为平行四边形．
为了使嘉淇的推理成立，则“※”处应补充的条件是（ ）
A．∠B+∠C＝180° B．AB＝CD
C．∠A＝∠B D．AD＝BC
【答案】B
【解答】解：添加∠B+∠C＝180°后可得AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
仅一组对边平行，无法证明四边形ABCD是平行四边形，
故A选项错误，不合题意；
添加AB＝CD后可得AB＝CD，
AB∥CD满足一组对边平行且相等，
可证四边形ABCD是平行四边形，
故B选项正确，符合题意；
添加∠A＝∠B后，∠A＝∠B＝50°，
四边形ABCD为等腰梯形，不是平行四边形．
故C选项错误，不合题意；
添加AD＝BC后，满足一组对边平行，另一组对边相等，
不能证明四边形ABCD是平行四边形．
故D选项错误，不合题意；
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
47．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 2或3.5 ．
【答案】2或3.5
【解答】解：∵E是BC的中点，
∴BE＝CEBC＝9，
∵AD∥BC，
∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，
则得：9﹣3t＝5﹣t，
解得：t＝2，
②当Q运动到E和B之间时，
则得：3t﹣9＝5﹣t，
解得：t＝3.5；
∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：2或3.5．
48．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝ 2或6 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【答案】2或6
【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：2或6．
▉题型4 平行四边形的判定与性质
【知识点的认识】
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
49．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝110°；④S四边形AEFD＝6．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③错误；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AGAD，
∴S AEFD＝DF AG＝46，故④正确；
故选：C．
50．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（ ）
A．2s B．5s C．2s或 D．5s或
【答案】C
【解答】解：∵平行四边形ABCD，BF是∠ABC的平分线，
∴∠AFB＝∠CBF＝∠ABF，
∴AF＝AB＝6，
∵点E是BC的中点，
∴，
∴点P运动到F时间为6÷1＝6s，点Q运动到E时间为8÷2＝4s，
当0≤t＜4时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝8﹣2t，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE，
∴6﹣t＝8﹣2t，
解得，t＝2，
当4≤t＜6时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝2t﹣8，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE，
∴6﹣t＝2t﹣8，
解得，，
综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为2s或，
故选：C．
51．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，CE，则下列结论：
①△ABD≌△ACE；②四边形BDEF是平行四边形；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：作CH⊥EF于H．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），故①正确；
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CH，EF＝EC＝BD，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD CH，故③正确，
∵AC＝BC＝3，BD＝CF＝1，
∴CD＝2BD，AF＝2CF，
∵S△ABD1，
∴S△AEFS△AECS△ABD，故④错误，
∴①②③都正确，
故选：C．
52．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：
①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（ ）
A．①② B．③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【解答】解：延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N，
∵BDAB，DB＜DC，
∴CDAB，
故①不符合题意；
∵EF∥NG∥BC，EG＝CG，
∴FN＝NB，
∵GN⊥AB，
∴FG＝GB，
故②符合题意；
∵∠EAF＝∠MAF，AF＝AF，∠AFE＝∠AFM，
∴△AEF≌△AMF（ASA），
∴FE＝FM，
∵EG＝GC，
∴FG∥AC，
∴∠GFB＝∠CAB，
∴∠GBF＝∠EAB，
∴EA∥BG，
∵∠EAD＝∠DBG，AD＝BD，∠ADE＝∠BDG，
∴△AED≌△BGD（ASA），
∴AE＝BG，
∴四边形AEBG是平行四边形，
故③符合题意；
∵∠BFG+∠FBG+∠FGB＝180°，
∠EAF＝∠MAF＝∠BFG＝∠GBF，
∴∠EAC+∠FGB＝180°，
故④符合题意，
故选：D．
53．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝110°；④S四边形AEFD＝1．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③错误；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AGAD，
∴S AEFD＝DF AG＝46，故④错误；
∴正确的个数是2个，
故选：B．
54．下列关于平行四边形的说法中错误的是（ ）
A．平行四边形的对角相等，邻角互补
B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【解答】解：∵平行四边形的对角相等，且两组对边分别平行，
∴平行四边形的邻角互补，
故A不符合题意；
如图1，△ABE中，AE＝AB，在BE上取一点C，使CE≠BC，作AC的垂直平分线交AE于点F，连接并延长CF到点D，使DF＝EF，连接AD，
∵CF＝AF，DF＝EF，
∴CF+DF＝AF+EF，
∴CD＝AE＝AB，
在△AFD和△CFE中，
，
∴△AFD≌△CFE（SAS），
∴∠D＝∠E＝∠B，
∴四边形ABCD是一组对边相等，一组对角相等的四边形，但四边形ABCD不是平行四边形，
∴一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
故B符合题意；
如图2，AD∥BC，∠A＝∠C，∵∠A+∠B＝180°，
∴∠C+∠B＝180°，
∴CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴一组对平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
故C不符合题意；
根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故D不符合题意，
故选：B．
55．如图，AC是 ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC交AD于点G，垂足为E，过点D作DH⊥AC交BC于点H，垂足为F，连接GH、EH．则下列结论：①BE＝DF；②四边形GBHD是平行四边形；③∠GAC＝∠DHC；④GH平分 ABCD的周长；⑤S△ABE＝S△EHC，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EAB＝∠FCD，∠GAE＝∠FCH，
∵BG⊥AC，DH⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴△AEB≌△∠CFD（AAS），
∴BE＝DF，AE＝CE，故①正确；
∵∠GAE＝∠FCH，∠AEG＝∠CFH，
∴△GAE≌△∠FCH（ASA），
∴AG＝CH，
∴AD＝AG＝CB﹣CH，即GD＝BH，
∴四边形GBHD是平行四边形，故②正确；
∵∠GAC＝∠ACH，而∠ACH不一定等于∠DHC，
故③错误；
∵AG＝CH，GD＝HB，
∴AG+AB+BH＝GD+DC+CH，
故GH平分 ABCD的周长，
故④正确；
如图，过点E作EM⊥AD，并延长ME交BC于点N，
∵AD∥BC，
∴MN⊥BC，
则S△ABE＝S△ABG﹣S△AEG，
，
∵AG＝CH，
∴S△ABE＝S△EHC，
故⑤正确，故正确的有4个，
故选：C．
▉题型5 平行线分线段成比例
【知识点的认识】
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
56．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（ ）
A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm
【答案】C
【解答】解：已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，
∴，
∴，
解得：DF＝27cm．
∴BF＝BD+DF＝72cm，
∴BF＝BD+DF＝72cm，
故选：C．
