第20章 20.3 数据的离散程度
题型1 方差 题型2 统计量的选择
▉题型1 方差
【知识点的认识】
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
1．一组数据x1，x2，x3，……，xn的方差是a，平均数是b，则另一组数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，……，3xn+2的方差和平均数分别是（ ）
A．a，b B．9a，3b+2 C．3b，2a D．3a+2，b+2
【答案】B
【解答】解：∵数据x1，x2，x3，……，xn的方差是a，平均数是b，
∴数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，……，3xn+2的方差和平均数分别是32a＝9a，3b+2．
故选：B．
2．甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是S甲2＝2.5，S乙2＝1.3，S丙2＝1.8，S丁2＝0.8，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解答】解：∵S甲2＝2.5，S乙2＝1.3，S丙2＝1.8，S丁2＝0.8，
∴S丁2＜S乙2＜S丙2＜S甲2，
∴这四名射击运动员中成绩最稳定的是丁，
故选：D．
3．某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了八年级某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：h）进行统计，数据如图表，两组数据的平均数分别为M甲、M乙，方差分别为、，则（ ）
甲组 4 5 6 6 7 8
乙组 2 5 6 6 7 10
A．M甲＞M乙，
B．M甲＝M乙，
C．M甲＝M乙，
D．M甲＝M乙，
【答案】B
【解答】解：M甲＝（4+5+6+6+7+8）÷6＝6，
M乙＝（2+5+6+6+7+10）÷6＝6，
所以，M甲＝M乙，
从表格中可以看出，甲组的数据分布于4﹣8，乙组的数据分布于2﹣10，
根据方差的概念和意义可知，甲组的数据波动比乙组的数据波动更小，离散程度更小，稳定性也更大，
所以，
故答案为：B．
4．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示：
月用水量（吨） 3 4 5 6
户数 4 6 8 2
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是7 B．中位数是5 C．众数是5 D．方差是1
【答案】C
【解答】解：这组数据出现次数最多的是5吨，共出现8次，所以用水量的众数是5吨，因此选项A符合题意；
这组数据的平均数为4.4（吨），因此选项A不符合题意；
将这20户的用水量从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为4.5（吨），因此选项B不符合题意；
这组数据的方差为[（3﹣4.4）2×4+（4﹣4.4）2×6+（5﹣4.4）2×8+（6﹣4.4）2×2]≈0.84，因此选项D不符合题意；
故选：C．
5．某班准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加全校的科技创新竞赛．如表，表格中记录了各组平时成绩的平均分（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加竞赛，则应选择的小组是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均分 96 97 97 95
方差 1 1.1 0.9 0.9
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【解答】解：∵乙、丙成绩的平均数大于甲、丁，
∴从乙和丙中选择一人参加比赛，
∵丙的方差比乙小，
∴丙的成绩好且状态稳定，
∴选择丙参赛；
故选：C．
6．小明和小聪最近5次数学测验的平均成绩相同，方差分别是：s小明2＝3.1，s小聪2＝4.4，则成绩较为稳定的是（ ）
A．小聪 B．小明 C．一样稳定 D．无法比较
【答案】B
【解答】解：∵3.1＜4.4，
∴，
∴成绩较为稳定的是小明，
故选：B．
7．在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮练习，每人投篮成绩的平均数都是9.3，方差分别S甲2＝0.62，S乙2＝0.56，S丙2＝0.45，S丁2＝0.53，成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【解答】解：∵，，，，
∴丙方差最小，
∴成绩最稳定的是丙．
故选：C．
8．某校初中篮球队共有25名球员，为了球队的健康发展和培养球员，要求从13岁到16岁每个年龄段都必须有球员，下表是该球队的年龄分布统计表：
年龄（单位：岁） 13 14 15 16
频数（单位：名） 3 11 x 11﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数 B．平均数、方差
C．众数、方差 D．众数，中位数
【答案】D
【解答】解：平均数的求得，是需要将原表中的频数与年龄相乘求得总和再除以25，因此，对于不同的x，频数和年龄的乘积肯定不同，因此平均数会发生改变．
又因为方差的公式：S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，很容易发现，方差和平均数有关，因此方差也会改变．
对于中位数，25名球员，年龄在由小到大排序后，取得的中位数为第13名和第14名年龄的平均值，而年龄为13和14的频数总和为14，说明在年龄由小到大排序后，第13和第14均为14，因此中位数是14，不随x变化而变化．
对于众数，我们发现第14岁和第16岁的频数相加也不过才为11，因此众数肯定是14岁的年龄，频数为11，不随x变化而变化．
故选：D．
9．一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
【答案】A
【解答】解：由平均数的公式得，（0+1+2+3+x）÷5＝2，
解得，x＝4，
∴方差＝[（0﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]÷5＝2．
故选：A．
10．为考查甲、乙、丙、丁四个学生的学习情况，对这四名同学的四次测试成绩进行统计的平均数与方差为：
85，88，0.5，S乙2＝S丙2＝4.5，则成绩又高又稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解答】解：因为85，88，
所以乙和丁的成绩相等且较高，
又因为0.5，S乙2＝S丙2＝4.5，
所以丁的方差比乙小，
所以成绩又高又稳定的是丁．
故选：D．
11．下列说法：
①一组数据2，2，3，4的中位数是2；
②一组数据的﹣2，4，1，4，2众数是4；
③若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定；
④小明的三次数学检测成绩106分，110分，116分，这三次成绩的平均数是111分．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【解答】解：A、数据2，2，3，4从小到大排列后为2、2、3、4，其中位数为2.5，此选项错误；
B、一组数据的﹣2，4，1，4，2出现最多的是4，即众数是4，此选项正确；
C、∵S甲2＞S乙2，
∴乙组数据比甲组数据更稳定，此选项正确；
D、小明的三次数学检测成绩106分，110分，116分，这三次成绩的平均数是（106+110+116）（分），此选项错误；
故选：B．
12．对于一组数据：85，95，85，80，80，85，下列说法不正确的是（ ）
A．平均数为85 B．众数为85
C．中位数为82.5 D．方差为25
【答案】C
【解答】解：数据重新排列为80，80，85，85，85，95，
则这组数据的平均数为（80+80+85+85+85+95）＝85，故A选项正确；
众数为85，故B正确；
中位数为85，故C选项错误；
方差为[（80﹣85）2×2+（85﹣85）2×3+（95﹣85）2]＝25，故D选项正确；
故选：C．
13．在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和方差可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：∵他们两人成绩的“一般水平”大体相当，
∴应从平均数大体相当中选，
∴应从选项A和D中找，
又∵甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，
∴从甲方差小于乙方差中选，
∴D选项符合题意；
故选：D．
14．甲、乙两名同学的5次立定跳远平均成绩都是1.90米，他们的方差分别为S甲2＝0.40，S乙2＝0.55，则这两名同学5次立定跳远成绩最稳定的是 甲 ．
【答案】甲．
【解答】解：∵S甲2＜S乙2，
∴甲同学成绩更稳定，
故答案为：甲．
15．一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 3.5 ．
【答案】3.5
【解答】解：平均数为：，
故方差是：[（4﹣5）2+（5﹣5）2+（8﹣5）2+（3﹣5）2]＝3.5．
故答案为：3.5．
16．甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是S甲2＝0.9，S乙2＝0.3，S丙2＝1.7，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”或“丙”）．
【答案】乙．
【解答】解：∵甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是S甲2＝0.9，S乙2＝0.3，S丙2＝1.7，
∴S乙＜S甲＜S丙，
这三名运动员中5次射击训练成绩最稳定的是乙，
故答案为：乙．
17．甲、乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天中日平均气温方差的大小关系是S ＞ S（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＞．
【解答】解：由折线统计图知，乙地这10天中日平均气温的波动幅度明显小于甲地，
∴SS，
故答案为：＞．
18．甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击6次，甲的成绩（单位：环）为：8，8，9，9，6，8，乙的成绩（单位：环）为：6，10，6，10，9，7，这两名射击运动员的平均成绩均为8环，则这两名运动员中发挥得更稳定的是 甲 （选填“甲”或“乙”）．
【答案】甲．
【解答】解：∵，
，
∴，
∴甲组数据稳定．
故答案为：甲．
19．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，甲芭蕾舞团的女演员的身高（单位：cm）分别为：163，164，164，164，165；乙芭蕾舞团的女演员身高（单位：cm）分别为：162，163，164，165，166．两个舞团的女演员平均身高均为164cm．则甲、乙两个芭蕾舞团女演员的身高更整齐的是 甲 ．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲．
【解答】解：S甲2[（163﹣164）2+3×（164﹣164）2+（165﹣164）2]＝0.4，
S乙2[（162﹣164）2+（163﹣164）2+（164﹣164）2+（165﹣164）2+（166﹣164）2]＝2，
因为S甲2＜S乙2，
所以甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐．
故答案为：甲．
20．甲、乙两人在相同情况下各射靶10次，环数的方差分别是S1，S1.2，则射击稳定性高的是 甲 ．
【答案】甲．
【解答】解：∵S1，S1.2，
∴SS，
∴射击稳定性高的是甲，
故答案为：甲．
21．某运动队要从甲、乙、丙三名跳高运动员中选拔一人参加比赛，教练组统计了最近几次队内选拔赛的成绩并进行了分析，得到下表：
甲 乙 丙
平均数（cm） 176 173 176
方差（cm2） 10.5 10.5 42.1
根据表中数据，教练组应该选择 甲 参加比赛（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【答案】甲
【解答】解：∵，
∴从甲和丙中选择一人参加，
∵S甲2＜S丙2，
∴教练组应该选择甲参加比赛；
故答案为：甲．
22．一组数据48，49，50，51，52的方差是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：这组数据的平均数：（48+49+50+51+52）＝50，
s2[（48﹣50）2+（49﹣50）2+（50﹣50）2+（51﹣50）2+（52﹣50）2]
10
＝2，
故答案为：2．
23．甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，经过三轮比赛后，三人的成绩平均分相同，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝3.3，S丙2＝1.5．你认为成绩比较稳定的是 甲 （填“甲”或“乙”或“丙”）．
【答案】甲．
【解答】解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝3.3，S丙2＝1.5，
∴S甲2＜S丙2＜S乙2，
∴成绩比较稳定的是甲，
故答案为：甲．
24．某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息．
c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表
同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差
甲 m 9和10 85 1.85
乙 8.5 8 87 s2
丙 8 n p 2.01
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ 9 ，n＝ 8 ；
（2）求丙同学的面试成绩p；
（3）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对 乙 同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
（4）按笔试成绩占40%，面试成绩占60%选出综合成绩最高的同学是 乙 （填“甲”、“乙”或“丙”）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数m9，
由扇形图可知丙的得分（8分）的最多，故众数n＝8；
故答案为：9，8；
（2）6×10×20%+8×10×40%+9×10×10%+10×10×30%＝83，
答：丙同学的面试成绩p为83；
（3）由题意可知，甲的方差比丙的小，由折线统计图可知乙的得分的波动比甲小，所以评委对乙同学的评价更一致；
故答案为：乙；
（4）甲的综合成绩为：87×40%+85×60%＝85.8（分），
乙的综合成绩为：85×40%+87×60%＝86.2（分），
丙的综合成绩为：90×40%+83×60%＝85.8（分），
86.2＞85.8，
所以综合成绩最高的是乙．
故答案为：乙．
25．s某校为了普及消防安全知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加消防安全知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：
学生消防安全知识竞赛得分统计表
平均数 众数 中位数
七年级参赛学生成绩 85.5 80 c
八年级参赛学生成绩 85.5 b 86
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：b＝ 85 ，c＝ 86.5 ；
（2）若七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为，，则 ＞ （用“＞”“＜”或“＝”填空）；
（3）结合统计数据进行分析，哪个年级参赛学生的成绩较好．（写出两条即可）
【答案】（1）85，86.5；
（2）＞；
（3）八年级的成绩较好，理由见解答（答案不唯一）．
【解答】解：（1）八年级成绩中85分的最多，所以众数b＝85，
将七年级样成绩重新排列为：74，80，80，80，86，87，88，89，93，98，所以中位数c86.5，
故答案为：85，86.5；
（2）由折线统计图可知，七年级的波动比八年级大，故，
故答案为：＞；
（3）八年级的成绩较好，理由如下：
①八年级成绩的方差比七年级的小，成绩更稳定；②八年级成绩的众数比七年级大．（答案不唯一）．
26．某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数、在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下：甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．经初步整理得如表数据：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 3.76
乙组 b 7 C S乙2
（1）填空：a＝ 6 ，b＝ 7 ，c＝ 7 ；
（2）求乙组S乙2的值；
（3）若从甲、乙两组中选择一组成绩较好的小组参加决赛，应选 乙 组．
【答案】（1）6，7，7；
（2）2；
（3）乙．
【解答】解：（1）甲组的中位数为（6+6）＝6，
即a＝6，
乙组的平均数为（5+6+6+6+7+7+7+7+9+10）＝7，
即b＝7；
乙组的众数为7，即c＝7；
故答案为：6，7，7；
（2）S乙2[（5﹣7）2+3（6﹣7）2+4（7﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]＝2；
（3）因为甲、乙两组的平均成绩相同，但乙的中位数、众数都比甲组的高，乙组的方差小于甲组的方差，
所以乙组的成绩较好
所以选乙组．
故答案为：乙．
27．某镇想了解全镇居民上年度人均收入情况，随机抽取了20户家庭进行调查，得到人均收入的结果如下（单位：万元）：
3.4，3.5，3.4，3.8，3.8，3.0，3.1，3.3，3.5，3.6，
3.7，3.9，3.6，3.5，3.8，3.6，3.9，3.2，3.1，3.3．
试据此估计该镇居民上年度的人均收入及方差．
【答案】人均收入为3.5，方差为0.071．
【解答】解：该镇居民上年度的人均收入为：（3.4+3.5+3.4+3.8+3.8+3.0+3.1+3.3+3.5+3.6+3.7+3.9+3.6+3.5+3.8+3.6+3.9+3.2+3.1+3.3）÷20＝3.5；
方差为：[（3.4﹣3.5）2+3×（3.5﹣3.5）2+2×（3.3﹣3.5）2+（3.0﹣3.5）2+2×（3.1﹣3.5）2+3×（3.6﹣3.5）2+（3.7﹣3.5）2+2×（3.8﹣3.5）2+2×（3.9﹣3.5）2+（3.2﹣3.5）2]
（0.01+0.08+0.25+0.32+0.03+0.04+0.18+0.09+0.32）
＝0.071．
28．根据以下素材，探索完成“问题解决”中的任务1和任务2．
让学生了解班级粮食浪费现状．体会浪费粮食的危害
背景 为了解落实“光盘行动”的情况，某校同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．
素材1 从七、八年级中随机抽取了10个班的餐厨垃圾质量，数据如表：（单位：kg） 七年级0.80.90.80.91.11.72.31.11.91.6八年级1.00.91.31.01.91.00.91.72.31.0
素材2 餐厨垃圾质量用x表示．分四个等级： A：x＜l；B：1≤x＜1.5；C：1.5≤x＜2；D：≥2．（备注：餐厨垃圾质量越小，说明光盘行动落实越到位）
素材3 七、八年级抽取的班级餐厨垃圾数据分析表 年级平均数中位数众数方差A等级所占百分比七年级a1.10.80.2640%八年级1.3b1.00.22c
问题解决
任务1 数据处理 （1）求出素材3表格中的a，b，c的值；
任务2 数据分析 （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好，请说明理由．（写出一条理由即可）．
【答案】（1）a＝1.31，b＝1.0，m＝20%．
（2）见解析．
【解答】解：（1）由题可知：a（0.8+0.9+0.8+0.9+1.1+1.7+2.3+1.1+1.9+1.6）＝1.31，b1.0，m100%＝20%．
（2）七年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①七年级各班餐厨垃圾质量众数0.8，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数1.0．
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨质量垃圾质量A等级的20%．
29．风鸣山中学组织全校学生参加国家禁毒知识学习，现让八年级和九年级参与学习的学生参加禁毒知识竞赛，再从中各随机选出20名同学的成绩进行分析．，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．x≤70，B：70≤x＜80．C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96：
九年级等级C的学生成绩为：86，88，83，81，87，82，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
学生 平均数 中位数 众数 方差
八年级 85.2 86 b 59.66
九年级 85.2 a 91 91.76
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 87.5 ，b＝ 88 ，m＝ 40 ；
（2）根据以上数据，你认为在此次禁毒知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八年级有700名学生参加禁毒知识学习，九年级有800名学生参加禁毒知识学习，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
【答案】（1）87.5；88；40；（2）九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级；（3）530人．
【解答】解：（1）九年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故中位数a87.5；
八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数b＝88；
由题意可得m%＝1﹣10%﹣15%100%＝40%，故m＝40，
故答案为：87.5；88；40；
（2）九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级；
（3）700800×40%＝210+320＝530（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有530人．
30．疫情防控人人有责，为此我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：
（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D：95≤x≤100）
七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，99，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92.4 b c 52
八年级 92 93 100 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 八 年级成绩更平衡，更稳定；
（2）直接写出上述a、b、c的值：a＝ 40 ，b＝ 96 ，c＝ 96 ；
（3）我校八年级共1200人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是多少？
【答案】（1）八；（2）40；96；96；（3）840人．
【解答】解：（1）因为八年级的方差比七年级的方差小，
所以这次比赛中八年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：八；
（2）∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为100%＝30%，
∴1﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴a＝40，
将七年级成绩重新排列为：80，82，86，90，96，96，96，99，99，100，
则这组数据的中位数b96，众数c＝96，
故答案为：40；96；96；
（3）1200×（1﹣20%﹣10%）＝840（人），
答：估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是840人．
31．为了解八年级学生的体质健康状况．某校在八年级学生中随机抽取了45名学生进行体质检测（满分10分，最低5分），并按照男生、女生把成绩整理如下：
平均数 中位数 众数 方差
男生 7.36 7.5 c 2.07
女生 a b 7 1.96
根据上述信息，解答下列问题：
（1）求抽取的女生人数；
（2）根据统计图可知．a＝ 7.6 ，b＝ 7.5 .c＝ 8 ．
【答案】（1）20；（2）7.6，7.5，8．
【解答】解：（1）45﹣3﹣5﹣4﹣8﹣3﹣2＝20（人），
答：抽取的女生人数为20人；
（2）a（10×20×10%+9×20×15%+8×20×25%+7×20×30%+6×20×15%+5×20×5%）＝7.6，
b7.5，
c＝8．
故答案为：7.6，7.5，8；
32．我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如表所示．（1）根据图示计算出a、b、c的值；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算初中代表队决赛成绩的方差sn中，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2）
初中部 a 85 b S2初中
高中部 85 C 100 160
【答案】（1）a＝85，b＝85，c＝80；
（2）初中部成绩较好；
（3）初中代表队选手成绩比较稳定．
【解答】（1）初中5名选手的成绩是：75，80，85，85，100，a85，众数b＝85，
高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c＝80，
（2）由表格可知初中部与高中部的平均数相同，初中部的中位数比高中部高，故初中部成绩较好；
（3）S2初中[（75﹣85）2+（80﹣85）2+2×（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
∵，
∴初中代表队选手成绩比较稳定．
33．甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
（1）a＝ 7 ；b＝ 7.5 ；c＝ 4.2 ；
（2）填空：（填“甲”或“乙”）．
①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是 乙 ；
②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是 乙 ；
③成绩相对较稳定的是 甲 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）a（5+2×6+4×7+2×8+9）＝7，
b（7+8）＝7.5，
c[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（10﹣7）2+（9﹣7）2]
＝4.2；
故答案为：7，7.5，4.2；
（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩好于甲，乙的方差大于甲．
①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是：乙；
②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是乙；
③成绩相对较稳定的是：甲．
故答案为：乙，乙，甲．
34．某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙组：50，50，60，70，70，80，80，80，90，90．
（1）
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 68分 a 376 90% 30%
乙组 b c 196 80% 20%
以上成绩统计分析表中a＝ 60 分，b＝ 72 分，c＝ 75 分；
（2）小亮同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上面表格判断，小亮可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由
（3）如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪一组？并说明理由
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）甲组的中位数为60，即a＝60，乙组的中位数为75，即c＝75；
乙组的平均数为（50+50+60+70+70+70+80+80+80+90+90）＝72，即b＝72，
故答案为60，72，75；
（2）∵甲组的中位数为60，乙组的中位数为75，而小亮的成绩位于小组中上游，
∴小亮属于甲组学生；
（3）应选择甲组同学代表学校参加复赛，因为甲组有得满分的同学．（答案合理即可给分）．
▉题型2 统计量的选择
【知识点的认识】
（1）一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．但这并不是绝对的，有时多数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值．从而导致这些量度数值较大，因此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动大小．
（2）平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的离散程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好．
35．某校有11名同学参加了中学生规范汉字书写大赛的初赛，他们的成绩各不相同，在统计这些同学的成绩后取前5名代表学校参加复赛．如果小新只知道自己的成绩，想判断自己能否进入复赛，那么他需要知道这组数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．频数
【答案】B
【解答】解：由于总共有11个人，且他们的成绩各不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数．
故选：B．
36．13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
【答案】D
【解答】解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：D．
37．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【答案】D
【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：D．
38．端午节之前，学校对全校教师爱吃A，B，C哪家公司的粽子做调查，以决定最终向哪家公司采购，则调查所得数据中，最值得学校关注的统计量是 众数 ．
【答案】众数..
【解答】解：因为众数是数据中出现次数最多的数，
所以学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数；
故答案为：众数．第20章 20.3 数据的离散程度
题型1 方差 题型2 统计量的选择
▉题型1 方差
【知识点的认识】
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
1．一组数据x1，x2，x3，……，xn的方差是a，平均数是b，则另一组数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，……，3xn+2的方差和平均数分别是（ ）
A．a，b B．9a，3b+2 C．3b，2a D．3a+2，b+2
2．甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是S甲2＝2.5，S乙2＝1.3，S丙2＝1.8，S丁2＝0.8，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了八年级某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：h）进行统计，数据如图表，两组数据的平均数分别为M甲、M乙，方差分别为、，则（ ）
甲组 4 5 6 6 7 8
乙组 2 5 6 6 7 10
A．M甲＞M乙，
B．M甲＝M乙，
C．M甲＝M乙，
D．M甲＝M乙，
4．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示：
月用水量（吨） 3 4 5 6
户数 4 6 8 2
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是7 B．中位数是5 C．众数是5 D．方差是1
5．某班准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加全校的科技创新竞赛．如表，表格中记录了各组平时成绩的平均分（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加竞赛，则应选择的小组是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均分 96 97 97 95
方差 1 1.1 0.9 0.9
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．小明和小聪最近5次数学测验的平均成绩相同，方差分别是：s小明2＝3.1，s小聪2＝4.4，则成绩较为稳定的是（ ）
A．小聪 B．小明 C．一样稳定 D．无法比较
7．在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮练习，每人投篮成绩的平均数都是9.3，方差分别S甲2＝0.62，S乙2＝0.56，S丙2＝0.45，S丁2＝0.53，成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．某校初中篮球队共有25名球员，为了球队的健康发展和培养球员，要求从13岁到16岁每个年龄段都必须有球员，下表是该球队的年龄分布统计表：
年龄（单位：岁） 13 14 15 16
频数（单位：名） 3 11 x 11﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数 B．平均数、方差
C．众数、方差 D．众数，中位数
9．一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
10．为考查甲、乙、丙、丁四个学生的学习情况，对这四名同学的四次测试成绩进行统计的平均数与方差为：
85，88，0.5，S乙2＝S丙2＝4.5，则成绩又高又稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．下列说法：
①一组数据2，2，3，4的中位数是2；
②一组数据的﹣2，4，1，4，2众数是4；
③若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定；
④小明的三次数学检测成绩106分，110分，116分，这三次成绩的平均数是111分．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
12．对于一组数据：85，95，85，80，80，85，下列说法不正确的是（ ）
A．平均数为85 B．众数为85
C．中位数为82.5 D．方差为25
13．在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和方差可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．甲、乙两名同学的5次立定跳远平均成绩都是1.90米，他们的方差分别为S甲2＝0.40，S乙2＝0.55，则这两名同学5次立定跳远成绩最稳定的是 ．
15．一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 ．
16．甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是S甲2＝0.9，S乙2＝0.3，S丙2＝1.7，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是 （填“甲”或“乙”或“丙”）．
17．甲、乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天中日平均气温方差的大小关系是S S（填“＞”、“＜”或“＝”）．
18．甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击6次，甲的成绩（单位：环）为：8，8，9，9，6，8，乙的成绩（单位：环）为：6，10，6，10，9，7，这两名射击运动员的平均成绩均为8环，则这两名运动员中发挥得更稳定的是 （选填“甲”或“乙”）．
19．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，甲芭蕾舞团的女演员的身高（单位：cm）分别为：163，164，164，164，165；乙芭蕾舞团的女演员身高（单位：cm）分别为：162，163，164，165，166．两个舞团的女演员平均身高均为164cm．则甲、乙两个芭蕾舞团女演员的身高更整齐的是 ．（填“甲”或“乙”）
20．甲、乙两人在相同情况下各射靶10次，环数的方差分别是S1，S1.2，则射击稳定性高的是 ．
21．某运动队要从甲、乙、丙三名跳高运动员中选拔一人参加比赛，教练组统计了最近几次队内选拔赛的成绩并进行了分析，得到下表：
甲 乙 丙
平均数（cm） 176 173 176
方差（cm2） 10.5 10.5 42.1
根据表中数据，教练组应该选择 参加比赛（填“甲”或“乙”或“丙”）．
22．一组数据48，49，50，51，52的方差是 ．
23．甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，经过三轮比赛后，三人的成绩平均分相同，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝3.3，S丙2＝1.5．你认为成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”或“丙”）．
24．某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息．
c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表
同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差
甲 m 9和10 85 1.85
乙 8.5 8 87 s2
丙 8 n p 2.01
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求丙同学的面试成绩p；
（3）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对
同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
（4）按笔试成绩占40%，面试成绩占60%选出综合成绩最高的同学是 （填“甲”、“乙”或“丙”）．
25．s某校为了普及消防安全知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加消防安全知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：
学生消防安全知识竞赛得分统计表
平均数 众数 中位数
七年级参赛学生成绩 85.5 80 c
八年级参赛学生成绩 85.5 b 86
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：b＝ ，c＝ ；
（2）若七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为，，则 （用“＞”“＜”或“＝”填空）；
（3）结合统计数据进行分析，哪个年级参赛学生的成绩较好．（写出两条即可）
26．某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数、在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下：甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．经初步整理得如表数据：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 3.76
乙组 b 7 C S乙2
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）求乙组S乙2的值；
（3）若从甲、乙两组中选择一组成绩较好的小组参加决赛，应选 组．
27．某镇想了解全镇居民上年度人均收入情况，随机抽取了20户家庭进行调查，得到人均收入的结果如下（单位：万元）：
3.4，3.5，3.4，3.8，3.8，3.0，3.1，3.3，3.5，3.6，
3.7，3.9，3.6，3.5，3.8，3.6，3.9，3.2，3.1，3.3．
试据此估计该镇居民上年度的人均收入及方差．
28．根据以下素材，探索完成“问题解决”中的任务1和任务2．
让学生了解班级粮食浪费现状．体会浪费粮食的危害
背景 为了解落实“光盘行动”的情况，某校同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．
素材1 从七、八年级中随机抽取了10个班的餐厨垃圾质量，数据如表：（单位：kg） 七年级0.80.90.80.91.11.72.31.11.91.6八年级1.00.91.31.01.91.00.91.72.31.0
素材2 餐厨垃圾质量用x表示．分四个等级： A：x＜l；B：1≤x＜1.5；C：1.5≤x＜2；D：≥2．（备注：餐厨垃圾质量越小，说明光盘行动落实越到位）
素材3 七、八年级抽取的班级餐厨垃圾数据分析表 年级平均数中位数众数方差A等级所占百分比七年级a1.10.80.2640%八年级1.3b1.00.22c
问题解决
任务1 数据处理 （1）求出素材3表格中的a，b，c的值；
任务2 数据分析 （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好，请说明理由．（写出一条理由即可）．
29．风鸣山中学组织全校学生参加国家禁毒知识学习，现让八年级和九年级参与学习的学生参加禁毒知识竞赛，再从中各随机选出20名同学的成绩进行分析．，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．x≤70，B：70≤x＜80．C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96：
九年级等级C的学生成绩为：86，88，83，81，87，82，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
学生 平均数 中位数 众数 方差
八年级 85.2 86 b 59.66
九年级 85.2 a 91 91.76
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为在此次禁毒知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八年级有700名学生参加禁毒知识学习，九年级有800名学生参加禁毒知识学习，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
30．疫情防控人人有责，为此我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：
（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D：95≤x≤100）
七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，99，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92.4 b c 52
八年级 92 93 100 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 年级成绩更平衡，更稳定；
（2）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）我校八年级共1200人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是多少？
31．为了解八年级学生的体质健康状况．某校在八年级学生中随机抽取了45名学生进行体质检测（满分10分，最低5分），并按照男生、女生把成绩整理如下：
平均数 中位数 众数 方差
男生 7.36 7.5 c 2.07
女生 a b 7 1.96
根据上述信息，解答下列问题：
（1）求抽取的女生人数；
（2）根据统计图可知．a＝ ，b＝ .c＝ ．
32．我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如表所示．（1）根据图示计算出a、b、c的值；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算初中代表队决赛成绩的方差sn中，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2）
初中部 a 85 b S2初中
高中部 85 C 100 160
33．甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
（1）a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）填空：（填“甲”或“乙”）．
①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；
②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是 ；
③成绩相对较稳定的是 ．
34．某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙组：50，50，60，70，70，80，80，80，90，90．
（1）
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 68分 a 376 90% 30%
乙组 b c 196 80% 20%
以上成绩统计分析表中a＝ 分，b＝ 分，c＝ 分；
（2）小亮同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上面表格判断，小亮可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由
（3）如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪一组？并说明理由
▉题型2 统计量的选择
【知识点的认识】
（1）一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．但这并不是绝对的，有时多数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值．从而导致这些量度数值较大，因此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动大小．
（2）平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的离散程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好．
35．某校有11名同学参加了中学生规范汉字书写大赛的初赛，他们的成绩各不相同，在统计这些同学的成绩后取前5名代表学校参加复赛．如果小新只知道自己的成绩，想判断自己能否进入复赛，那么他需要知道这组数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．频数
36．13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
37．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
38．端午节之前，学校对全校教师爱吃A，B，C哪家公司的粽子做调查，以决定最终向哪家公司采购，则调查所得数据中，最值得学校关注的统计量是 ．
