第7章第2节 概率
题型1 可能性的大小 题型2 概率的意义
题型3 概率公式 题型4 几何概率
▉题型1 可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
1．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，在下列四个选项中，可能性最大的是（ ）
A．点数小于4 B．点数大于4 C．点数大于5 D．点数小于5
2．从一个装有6个红球、4个蓝球、2个白球和1个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ）
A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球
3．下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．旭日东升 B．瓜熟蒂落 C．大海捞针 D．十拿九稳
4．把正面分别写有7，4，5，7，5，5的6张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数字是 ．
5．任意取三个连续自然数，其中有一个是3的倍数的可能性 有一个是4的倍数的可能性．（填“＞”“＜”或“＝”）
6．转动如图的转盘一周以上，指针指向 色区域的可能性最大．
7．某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 灯．（填“红、绿、黄”）
8．盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，摸出 色球的可能性最大．
9．某省于24﹣25年实行新高考“3+1+2”方案．“3”是指语文数学外语三门学科为必考科目，“1”是指考生在物理和历史两门学科里面必须选一科，“2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门学科中选择两科．这样，新高考方案中最多出现 种考试科目组．
▉题型2 概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
10．下列说法正确的是（ ）
A．为了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此调查中，样本容量为50名学生的视力
B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖
C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式
D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件
11．某植物研究院培育的新品植株的成活率约为0.9，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（ ）
A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵
12．下列说法中正确的是（ ）
A．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
B．“画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
C．“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”是必然事件
D．“长度分别是2cm，4cm，6cm的三根木条能组成一个三角形”是必然事件
13．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色外，形状、大小、质地等完全相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总数为 个．
14．小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，当她掷第11次时，正面朝上的概率为 ．
15．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为 ．
▉题型3 概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
16．掷一枚质地均匀的硬币200次，下列说法正确的是（ ）
A．不可能200次正面朝上
B．不可能100次正面朝上
C．必有100次正面朝上
D．可能100次正面朝上
17．盒中装有4只白球和5只黑球，从中任取一只球，取出的球是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
18．一只不透明的袋子中装有白、红两种不同颜色的小球，其中白球有3个，红球有7个，这些球除颜色外完全相同．若从袋子中任意取一个球，则摸到白球的概率为 ．
19．在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 ．
20．在一个不透明的口袋中装有若干个质地相同，而颜色不完全相同的球，如果口袋中只装有4个黄球，且摸出黄球的概率为，那么袋中共有 个球．
21．一个不透明袋子中，装有8个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋中白球的个数是 ．
22．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求盒子中黑球的个数；
（2）从中任意摸出一个球，摸出 球的概率最小；
（3）能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量．
23．手机是现代入生活中不可或缺的工具．某校“小记者”为了了解市民使用手机的品牌，随机调查了我区部分市民的手机品牌，并对调查结果进行整理．绘制了如图所示的不完整的统计图表．
组别 手机品牌 频数（人数）
A OPPO 80
B VIVO m
C 小米 100
D 华为 120
E 其他 60
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，扇形统计图中E组所占的百分比为 ；
（2）我区拥有30万手机用户，请估计其中使用华为手机的用户数量；
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人用小米手机的概率是 ．
▉题型4 几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
24．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
25．如图，下列三个转盘中各个扇形的面积都相等，分别转动三个转盘，停止转动时，“指针落在灰色区域内”可能性最大的转盘是 转盘．
26．在如图所示（A，B，C三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在A 区域的可能性最大（填A或B或C）．第7章第2节 概率
题型1 可能性的大小 题型2 概率的意义
题型3 概率公式 题型4 几何概率
▉题型1 可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
1．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，在下列四个选项中，可能性最大的是（ ）
A．点数小于4 B．点数大于4 C．点数大于5 D．点数小于5
【答案】D
【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后共有6种等可能的情况，
即：点数为1，2，3，4，5，6；其中点数小于4的有3种，点数大于4的有2种，点数大于5的有1种，点数小于5的有4种，
故点数小于5的可能性较大，
故选：D．
2．从一个装有6个红球、4个蓝球、2个白球和1个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ）
A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球
【答案】D
【解答】解：∵所有的球中黑球最少，
∴摸出黑球的可能性最小，
故选：D．
3．下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．旭日东升 B．瓜熟蒂落 C．大海捞针 D．十拿九稳
【答案】C
【解答】解：根据可能性大小逐项分析判断如下：
旭日东升、瓜熟蒂落是必然事件，
十拿九稳是随机事件，但发生的可能性比较大，不符合题意；
大海捞针是随机事件，可能性极小，
故选：C．
4．把正面分别写有7，4，5，7，5，5的6张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数字是 5 ．
【答案】5．
【解答】解：∵7，4，5，7，5，5的6张卡片写有5的有3张最多，
∴从中任意摸一张，摸到可能性最大的数字是5，
故答案为：5．
5．任意取三个连续自然数，其中有一个是3的倍数的可能性 ＞ 有一个是4的倍数的可能性．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞．
【解答】解：任意取三个连续自然数，其中有一个是3的倍数的可能性为1，是4的倍数的可能性为0到1，
∴有一个是3的倍数的可能性＞有一个是4的倍数的可能性．
故答案为：＞．
6．转动如图的转盘一周以上，指针指向 黄 色区域的可能性最大．
【答案】黄．
【解答】解：由图可知：黄色区域占的面积最多，
∴转盘停止转动时指针指向黄色区域的可能性最大．
故答案为：黄．
7．某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 黄 灯．（填“红、绿、黄”）
【答案】黄
【解答】解：∵遇到红灯的概率；
遇到绿灯的概率；
遇到黄灯的概率，
∴遇到黄灯的可能性最小．
故答案为：黄．
8．盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，摸出 红 色球的可能性最大．
【答案】红．
【解答】解：从中任意摸出一个球，有可能是红球，有可能是黄球，有可能是黑球，
由红球有7个，黄球有2个，黑球有1个，
所以摸出红球的概率最大，摸出黑球的概率最小．
故答案为：红．
9．某省于24﹣25年实行新高考“3+1+2”方案．“3”是指语文数学外语三门学科为必考科目，“1”是指考生在物理和历史两门学科里面必须选一科，“2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门学科中选择两科．这样，新高考方案中最多出现 12 种考试科目组．
【答案】12．
【解答】解：∵“3”是指语文、数学、英语三门必考科目，
∴只有1种选择，
∵“1”是指考生在物理和历史两门中必须选一科，
∴有物理和历史2种选择，
∵“2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门中选择两科，
∴有化学+生物，化学+思想政治，化学+地理，生物+思想政治，生物+地理，思想政治+地理6种选择，
∴新高考方案中最多出现1×2×6＝12（种）考试科目组，
故答案为：12．
▉题型2 概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
10．下列说法正确的是（ ）
A．为了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此调查中，样本容量为50名学生的视力
B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖
C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式
D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件
【答案】C
【解答】解：A、为了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50，本选项错误；
B、若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏有一次中奖，本选项错误；
C、了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式，本选项正确；
D、因为一枚硬币有正反两面，所以“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，本选项错误．
故选：C．
11．某植物研究院培育的新品植株的成活率约为0.9，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（ ）
A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵
【答案】A
【解答】解：利用“总数×成活率＝成活棵树”计算可得：
50×0.9＝45（棵），
故选：A．
12．下列说法中正确的是（ ）
A．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
B．“画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
C．“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”是必然事件
D．“长度分别是2cm，4cm，6cm的三根木条能组成一个三角形”是必然事件
【答案】C
【解答】解：A、“概率为0.0001的事件”是随机事件，故A不符合题意；
B、“画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，故B不符合题意；
C、“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”是必然事件，故C符合题意；
D、“长度分别是2cm，4cm，6cm的三根木条能组成一个三角形”是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C．
13．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色外，形状、大小、质地等完全相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总数为 9 个．
【答案】9
【解答】解：由题意可得：33×3＝9，
即口袋中球的总数为9个．
故答案为：9．
14．小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，当她掷第11次时，正面朝上的概率为 ．
【答案】
【解答】解：小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，当她掷第11次时，正面朝上的概率为，
故答案为：．
15．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为 ．
【答案】
【解答】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为．
故答案为：．
▉题型3 概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
16．掷一枚质地均匀的硬币200次，下列说法正确的是（ ）
A．不可能200次正面朝上
B．不可能100次正面朝上
C．必有100次正面朝上
D．可能100次正面朝上
【答案】D
【解答】解：A．掷一枚质地均匀的硬币200次，可能200次正面朝上，只是概率很小，所以A选项不符合题意；
B．掷一枚质地均匀的硬币200次，可能100次正面朝上，所以B选项不符合题意；
C．掷一枚质地均匀的硬币200次，不一定有100次正面朝上，所以C选项不符合题意；
D．掷一枚质地均匀的硬币200次，可能100次正面朝上，所以D选项符合题意．
故选：D．
17．盒中装有4只白球和5只黑球，从中任取一只球，取出的球是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意知，共有9种等可能的结果，其中取出的球是白球的结果有4种，
∴取出的球是白球的概率是．
故选：C．
18．一只不透明的袋子中装有白、红两种不同颜色的小球，其中白球有3个，红球有7个，这些球除颜色外完全相同．若从袋子中任意取一个球，则摸到白球的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：∵白球有3个，红球有7个，
∴从袋子中任意取一个球，摸到白球的概率为，
故答案为：．
19．在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 3个 ．
【答案】3个．
【解答】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：，
解得x＝3，
经检验：x＝3是原分式方程的解，
∴黄球的个数为3个．
故答案为：3个．
20．在一个不透明的口袋中装有若干个质地相同，而颜色不完全相同的球，如果口袋中只装有4个黄球，且摸出黄球的概率为，那么袋中共有 12 个球．
【答案】12
【解答】解：设袋中共有x个球，
∵袋中只装有4个黄球，且摸出黄球的概率为，
∴，解得x＝12．
故答案为：12．
21．一个不透明袋子中，装有8个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋中白球的个数是 16 ．
【答案】16．
【解答】解：设袋中白球的个数是x，
∵装有8个红球和一些白球，从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，
∴，
解得x＝16．
故答案为：16．
22．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求盒子中黑球的个数；
（2）从中任意摸出一个球，摸出 红 球的概率最小；
（3）能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量．
【答案】（1）12个；
（2）红；
（3）可以将盒子中的黑球拿出5个．
【解答】解：（1）∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，
∴520，
故盒子中黑球的个数为：20﹣3﹣5＝12；
（2）因为红球的数量最少，任意摸出一个球是红球的概率最小；
故答案为：红；
（3）∵任意摸出一个球是红球的概率为，
∴可以将盒子中的黑球拿出5个．
23．手机是现代入生活中不可或缺的工具．某校“小记者”为了了解市民使用手机的品牌，随机调查了我区部分市民的手机品牌，并对调查结果进行整理．绘制了如图所示的不完整的统计图表．
组别 手机品牌 频数（人数）
A OPPO 80
B VIVO m
C 小米 100
D 华为 120
E 其他 60
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ 40 ，扇形统计图中E组所占的百分比为 15% ；
（2）我区拥有30万手机用户，请估计其中使用华为手机的用户数量；
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人用小米手机的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）80÷20%＝400（人），400×10%＝40（人），60÷400＝15%，
故答案为：40；15%；
（2）3030×30%＝9（万人）
答：其中使用华为手机的用户数量为9万人；
（3），
故答案为：．
▉题型4 几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
24．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【解答】解：如图，
由题意可知，AB＝CD＝5，BC＝9，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣5＝4，
∴S大正方形＝AC2＝AB2+BC2＝106，
则中间小正方形的面积为4×4＝16，
小正方形的外阴影部分的4S△ABD＝44×5＝40，
∴阴影部分的面积为16+40＝56，
∴针尖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
25．如图，下列三个转盘中各个扇形的面积都相等，分别转动三个转盘，停止转动时，“指针落在灰色区域内”可能性最大的转盘是 乙 转盘．
【答案】乙．
【解答】解：三个转盘中各个扇形的面积都相等，分别转动三个转盘，停止转动时，
甲转盘“指针落在灰色区域内”可能性为，
乙转盘“指针落在灰色区域内”可能性为，
丙转盘“指针落在灰色区域内”可能性为．
故指针落在灰色区域内”可能性最大的转盘是乙盘．
故答案为：乙．
26．在如图所示（A，B，C三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在A 区域的可能性最大（填A或B或C）．
【答案】A
【解答】解：由题意得：SA＞SB＞SC，
故落在A区域的可能性大，
故答案为：A．
