第8章第3节 三角形的中位线
题型1 三角形中位线定理
▉题型1 三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
1．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CF是AB边上的中线，DE是△ABC的中位线，若CF＝6，则DE的长（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝9，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝1，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝40m，则AB的长是（ ）
A．80m B．70m C．60m D．50m
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，FD⊥AB交CB的延长线于点F．若AF＝3，CF＝7，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
6．如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测AC，BC的中点为D，E，测得DE＝20m，则A，B之间的距离为（ ）
A．10m B．20m C．30m D．40m
7．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，则EF的长是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
8．如图，点A、B为定点，定直线l∥AB，P是l上的一个动点，点M、N分别是PA、PB的中点，对下列选项：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离：⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．②③⑤ B．②⑤ C．①③④ D．⑤
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD＝10，则EF的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
10．已知：在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝10，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围（ ）
A．2＜MN＜8 B．2＜MN≤8 C．4＜MN＜16 D．4＜MN≤16
11．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＞BC＞6，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝6，连接EF．分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．3
12．如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，BA＝8，则EF的长是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．1.5
13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，FD⊥AB交CB的延长线于点F．若AF＝3，CF＝7，则DE的长为 ．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝8，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点且EF＝2，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段BC的长为 ．
16．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、AC、BD的中点，若∠FEG＝50°，则∠EGF＝ ．
17．如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于N，BD⊥AN，AB＝6，BC＝8，则DF＝ ．
18．如图，∠AOB＝60°，C、D是边OA上的两点，且OD＝8，CD＝2，点P是OB上的一动点，连接PD，点Q是PD的中点，连接CQ，则CQ的最小值为 ．
19．如图是人字梯及其侧面的示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点．若DE＝40cm，则B，C两点间的距离是 cm．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P．
（1）求证：AP＝FP；
（2）若BC＝10，求DF的长．第8章第3节 三角形的中位线
题型1 三角形中位线定理
▉题型1 三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
1．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【解答】解：∵点D、E分别是边AB、BC的中点，
∴BDAB，BEBC，DEAC，
∴AB＝2BD，BC＝2BE，AC＝2DE，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2BD+2BE+2DE＝2（BD+BE+DE）＝2×△DBE的周长＝2×7＝14，
故选：D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CF是AB边上的中线，DE是△ABC的中位线，若CF＝6，则DE的长（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CF是AB边上的中线，
∴AB＝2CF＝12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE6，
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝9，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝1，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：∵BC＝9，BF＝1，
∴FC＝BC﹣BF＝9﹣1＝8，
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DEFC8＝4．
故选：C．
4．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝40m，则AB的长是（ ）
A．80m B．70m C．60m D．50m
【答案】A
【解答】解：∵D、E分别是AC和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×40＝80（m）．
故选：A．
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，FD⊥AB交CB的延长线于点F．若AF＝3，CF＝7，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【答案】A
【解答】解：∵D是AB的中点，FD⊥AB，
∴DF是线段AB的垂直平分线，
∴BF＝AF＝3，
∵CF＝7，
∴BC＝CF﹣BF＝7﹣3＝4，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC＝2，
故选：A．
6．如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测AC，BC的中点为D，E，测得DE＝20m，则A，B之间的距离为（ ）
A．10m B．20m C．30m D．40m
【答案】D
【解答】解：∵AC，BC的中点为D，E，测得DE＝20m，
∴DE是三角形ABC的中位线，
∴，
∵DE＝20m，
∴AB＝2DE＝2×20＝40（m）．
故选：D．
7．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，则EF的长是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，
∴PE是△ADB的中位线，
∴PE∥AB，且PEAB＝3，PF∥CD且PFCD＝4．
又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF，
即EF＝5；
故选：D．
8．如图，点A、B为定点，定直线l∥AB，P是l上的一个动点，点M、N分别是PA、PB的中点，对下列选项：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离：⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．②③⑤ B．②⑤ C．①③④ D．⑤
【答案】B
【解答】解：①∵点M，N分别为PA、PB的中点，
∴，即线段MN的长不会随点P的移动而变化；
②PA、PB随点P的移动而变化，
∴△PAB的周长随点P的移动而变化；
③∵点M，N分别为PA、PB的中点，
∴，MN∥AB，
∵点A，B为定点，
∴AB的长为定值，
∴线段MN的长为定值，
∵MN∥AB，l∥AB，
∴MN∥l，
∵P是l上的一个动点，
∴点P到MN的距离为定值，
∴△PMN的面积为定值，
即△PMN的面积不会随点P的移动而变化；
④∵MN∥AB，
∴直线MN，AB之间的距离不会随点P的移动而变化；
⑤∠APB的大小随点P的移动而变化；
综上分析可知，会随点P的移动而变化的是②⑤，故B正确．
故选：B．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD＝10，则EF的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴AB＝2CD＝20，
∵点E、F分别是AC、BC的中点，
∴EFAB＝10，
故选：A．
10．已知：在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝10，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围（ ）
A．2＜MN＜8 B．2＜MN≤8 C．4＜MN＜16 D．4＜MN≤16
【答案】B
【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB＝6，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MGAB6＝3．
∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝10，
∴NG是△BCD的中位线，NGCD10＝5，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即5﹣3＜MN＜5+3，
∴2＜MN＜8，
当MN＝MG+NG，即MN＝8时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是2＜MN≤8．
故选：B．
11．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＞BC＞6，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝6，连接EF．分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解答】解：延长FN并延长，使ND＝NF，连接AD，ED，如图所示：
∵AN＝BN，
∵∠AND＝∠BNF，
在△AND和△BNF中，
，
∴△AND≌△BNF（SAS），
∴AD＝BF，∠DAN＝∠FBN，
∴AD∥BC，
∴∠DAC+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠DAC＝60°，
∵AD＝BF，AE＝BF＝6，
∴AE＝AD，
∴DE＝AD＝6，
∴，
故答案为：D．
12．如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，BA＝8，则EF的长是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．1.5
【答案】C
【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，BC＝6，BA＝8，
∴DE∥AB，DEAB＝4，BD＝CD＝3，
∴∠ABF＝∠BFD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠DBF，
∴∠DBF＝∠BFD，
∴DF＝BD＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故选：C．
13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，FD⊥AB交CB的延长线于点F．若AF＝3，CF＝7，则DE的长为 2 ．
【答案】2
【解答】解：∵在△ABC中，D是AB的中点，FD⊥AB，AF＝3，
∴FD是AB的垂直平分线，
∴FB＝AF＝3，
∴CB＝CF﹣FB＝7﹣3＝4，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DECB4＝2，
所以DE的长为2，．
故答案为：2．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
【答案】
【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DECM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB10，
∵S△ABC，
∴CM，
∴DE，
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，AB＝8，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点且EF＝2，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段BC的长为 12 ．
【答案】12．
【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，
∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝8，
∴DFAB8＝4，
∵EF＝2．
∴DE＝EF+DF＝6．
∴BC＝12，
故答案为：12．
16．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、AC、BD的中点，若∠FEG＝50°，则∠EGF＝ 65° ．
【答案】65°．
【解答】解：∵E、F、G分别是AB、AC、BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴EG，EF，
又∵AD＝BC，
∴EG＝EF，
∴∠EGF＝∠EFG，
又∵∠FEG＝50°，
∴∠EGF65°，
故答案为：65°．
17．如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于N，BD⊥AN，AB＝6，BC＝8，则DF＝ 1 ．
【答案】1．
【解答】解：如图，∵BD⊥AN，
∴∠ADB＝90°．
∵E是AB的中点，
∴ED是斜边AB上的中线，
∵AB＝6，
∴EDAB＝3．
∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线．
∴EFBC．
∵BC＝8，
∴EF＝4．
∴DF＝EF﹣ED＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
18．如图，∠AOB＝60°，C、D是边OA上的两点，且OD＝8，CD＝2，点P是OB上的一动点，连接PD，点Q是PD的中点，连接CQ，则CQ的最小值为 ．
【答案】．
【解答】解：如图，取OD的中点M，连接MQ，过点C作CQ′⊥MQ于点Q′，
∵点Q是PD的中点，
∴MQ是△DOP的中位线，
连接DQ′并延长交OB于点P′，
∴DQ′＝Q′P′，
∴Q点的运动轨迹是射线MQ，
∴CQ的最小值为CQ′的长，
∵∠CMQ′＝∠AOB＝60°，OD＝8，M是OD的中点，
∴MDOD＝4，
∵CD＝2，
∴MC＝MD﹣CD＝2，
∴MQ′MC＝1，
∴CQ′MQ′，
∴CQ的最小值为．
故答案为：．
19．如图是人字梯及其侧面的示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点．若DE＝40cm，则B，C两点间的距离是 80 cm．
【答案】80．
【解答】解：连接BC，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，
∴BC＝2DE，
∵DE＝40cm，
∴BC＝80cm，
∴B，C两点的距离为80cm．
故答案为：80．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P．
（1）求证：AP＝FP；
（2）若BC＝10，求DF的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）5．
【解答】（1）证明：连接EF，AE．
∵点E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EFAB．
又∵ADAB，
∴EF＝AD．
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AF与DE互相平分，
∴AP＝FP；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵E为BC的中点，BC＝10，
∴AEBC＝5．
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF＝AE＝5．
