第9章第1节 因式分解的概念
题型1 因式分解的意义
▉题型1 因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．a2﹣4ab﹣4b2＝（a﹣2b）2
B．x2﹣xy2﹣1＝xy（x﹣y）﹣1
C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
D．ax+ay+a＝a（x+y+1）
【答案】D
【解答】解：根据因式分解定义逐项分析判断如下：
A、a2﹣4ab﹣4b2＝（a﹣2b）2，等号左右两边不相等，故不符合题意；
B、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，等号右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
C、x2﹣xy2﹣1＝xy（x﹣y）﹣1，等号右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
D、ax+ay+a＝a（x+y+1）是因式分解，符合题意，
故选：D．
2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1
C．
D．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2
【答案】D
【解答】解：根据因式分解的定义：
A、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，属于整式的乘法，A不符合题意；
B、x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，
故B不符合题意；
C、，等式右边不是整式，不是因式分解，
故C不符合题意；
D、x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，属于因式分解，
故D符合题意；
故选：D．
3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab
C．x（x+2y）＝x2+2xy D．x2﹣2xy＝x（x﹣2y）
【答案】D
【解答】解：x2+2x+1＝x（x+2）+1中等号右边不是积的形式，则A不符合题意；
a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab是乘法运算，则B不符合题意；
x（x+2y）＝x2+2xy是乘法运算，则C不符合题意；
x2﹣2xy＝x（x﹣2y）符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．m2﹣3m﹣4＝m（m﹣3）﹣4
B．（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1
C．m2﹣4n2＝（m+2n）（m﹣2n）
D．m2﹣4m﹣5＝（m﹣2）2﹣9
【答案】C
【解答】解：m2﹣3m﹣4＝m（m﹣3）﹣4中等号右边不是积的形式，则A不符合题意，
（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1是乘法运算，则B不符合题意，
m2﹣4n2＝（m+2n）（m﹣2n）符合因式分解的定义，则C符合题意，
m2﹣4m﹣5＝（m﹣2）2﹣9中等号右边不是积的形式，则D不符合题意，
故选：C．
5．下列变形是因式分解的是（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
B．am+bm﹣m＝m（a+b）
C．y2﹣y（y）2
D．9+6（x+y）+（x+y）2＝（x+y+3）2
【答案】D
【解答】解：（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2是乘法运算，则A不符合题意；
am+bm﹣m＝m（a+b）中左右两边不相等，则B不符合题意；
y2﹣y（y）2中左右两边不相等，则C不符合题意；
9+6（x+y）+（x+y）2＝（x+y+3）2符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
6．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a）
【答案】B
【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ）
①（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
②m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
③a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
④2mR+2mr＝2m（R+r）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9是整式的乘法，不是因式分解，故①不正确；
②m2﹣4＝（m+2）（m﹣2），符合定义，是因式分解，故②正确
③a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1右边不是积的形式，故③不正确；
④2mR+2mr＝2m（R+r），符合定义，是因式分解，故④正确；
故选：B．
8．下列各恒等变形属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x+2＝x（x+2）+2 B．2xy2＝2x y
C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
【答案】D
【解答】解：A、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
9．下面四个多项式中，能进行因式分解的是（ ）
A．x2+y2 B．x2﹣y C．x2﹣1 D．x2+x+1
【答案】C
【解答】解：A、x2+y2不能进行因式分解，故本选项错误；
B、x2﹣y不能进行因式分解，故本选项错误；
C、x2﹣1能利用平方差公式进行因式分解，故本选项正确；
D、x2+x+1不能进行因式分解，故本选项错误．
故选：C．
10．下列各式：①x2﹣x2y4＝（x﹣xy2）（x+xy2），②x2﹣1+2x＝（x﹣1）（x+1）+2x，③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，④．属于正确的因式分解的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：①x2﹣x2y4＝x2（1﹣y4）＝x2（1﹣y2）（1+y2）＝x2（1+y）（1﹣y）（1+y2），故原题因式分解错误；
②x2﹣1+2x＝（x﹣1）2，故原题因式分解错误；
③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，正确；
④等式左边不是多项式，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，
所以属于正确的因式分解的有1个．
故选：A．
11．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x+2＝x（x+2）+2 B．2xy2＝2x y
C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
【答案】D
【解答】解：A．x2+2x+2＝x（x+2）+2，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．2xy2＝2x y，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1，从左到右的变形是整式乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
12．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．
C．m4﹣n4＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n）
D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z
【答案】C
【解答】解：A、从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；
D、从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
13．下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ）
A．xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2
B．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
D．2a2+4a＝2a（a+2）
【答案】D
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式的积，故B错误；
C、是整式的乘法，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式的积，故D正确；
故选：D．
14．下列从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A．2a（a2﹣3b）＝2a3﹣6ab B．a2+9＝（a+3）（a﹣3）
C．a2+2a+1＝（a+1）2 D．a2+4a+5＝a（a+4）+5
【答案】C
【解答】解：A．2a（a2﹣3b）＝2a3﹣6ab，从左边到右边的变形是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．多项式a2+9在实数范围内不能因式分解，故本选项不符合题意，
C．a2+2a+1＝（a+1）2，从左边到右边的变形是因式分解，故本选项符合题意；
D．a2+4a+5＝a（a+4）+5，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
15．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21
B．a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7）
C．（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21
D．a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25
【答案】B
【解答】解：A、a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21，不是因式分解，故A选项错误；
B、a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7），是因式分解，故B选项正确；
C、（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21，不是因式分解，故C选项错误；
D、a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25，不是因式分解，故D选项错误；
故选：B．
16．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+3x＝x（x+3）
B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1
D．6xy2＝3x 2y2
【答案】A
【解答】解：x2+3x＝x（x+3）符合因式分解的定义，则A符合题意；
（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2是乘法运算，则B不符合题意；
x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1中等号右边不是积的形式，则C不符合题意；
6xy2＝3x 2y2中6xy2是单项式，则D不符合题意；
故选：A．
17．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10
C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
D．6ab＝2a 3b
【答案】C
【解答】解：A、右边不是积的形式，故A选项错误；
B、是多项式乘法，不是因式分解，故B选项错误；
C、是运用完全平方公式，符合因式分解的定义，故C选项正确；
D、不是把多项式化成整式积的形式，故D选项错误．
故选：C．
18．下列各式从左到右，是因式分解的是（ ）
A．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1
B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1
C．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x）
D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
【答案】D
【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误；
B、结果不是积的形式，故本选项错误；
C、不是对多项式变形，故本选项错误；
D、运用完全平方公式分解x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，正确．
故选：D．
19．下列变形是因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
C．x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）
D．x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4
【答案】C
【解答】解：A：等式左边为单项式相乘，右边为多项式相加，不符合概念，故本项错误；
B：等式右边既有相乘，又有相加，不符合概念，故本项错误；
C：等式左边为多项式相加，左边为单项式相乘，符合概念，故本项正确；
D：等式右边既有相乘，又有相减，不符合概念，故本项错误．
故选：C．
20．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值．
解：设另一个因式是（2x+b），
根据题意，得2x2+x+a＝（x+2）（2x+b）．
展开，得2x2+x+a＝2x2+（b+4）x+2b．
所以，，解得
所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6．
请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设另一个因式是（3x+b），
根据题意，得3x2+10x+m＝（x+4）（3x+b）．
展开，得3x2+10x+m＝3x2+（b+12）x+4b．
所以，，解得：，
所以，另一个因式是（3x﹣2），m的值是﹣8．第9章第1节 因式分解的概念
题型1 因式分解的意义
▉题型1 因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．a2﹣4ab﹣4b2＝（a﹣2b）2
B．x2﹣xy2﹣1＝xy（x﹣y）﹣1
C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
D．ax+ay+a＝a（x+y+1）
2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1
C．
D．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2
3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab
C．x（x+2y）＝x2+2xy D．x2﹣2xy＝x（x﹣2y）
4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．m2﹣3m﹣4＝m（m﹣3）﹣4
B．（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1
C．m2﹣4n2＝（m+2n）（m﹣2n）
D．m2﹣4m﹣5＝（m﹣2）2﹣9
5．下列变形是因式分解的是（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
B．am+bm﹣m＝m（a+b）
C．y2﹣y（y）2
D．9+6（x+y）+（x+y）2＝（x+y+3）2
6．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a）
7．下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ）
①（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
②m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
③a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
④2mR+2mr＝2m（R+r）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列各恒等变形属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x+2＝x（x+2）+2 B．2xy2＝2x y
C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
9．下面四个多项式中，能进行因式分解的是（ ）
A．x2+y2 B．x2﹣y C．x2﹣1 D．x2+x+1
10．下列各式：①x2﹣x2y4＝（x﹣xy2）（x+xy2），②x2﹣1+2x＝（x﹣1）（x+1）+2x，③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，④．属于正确的因式分解的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x+2＝x（x+2）+2 B．2xy2＝2x y
C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
12．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．
C．m4﹣n4＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n）
D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z
13．下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ）
A．xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2
B．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
D．2a2+4a＝2a（a+2）
14．下列从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A．2a（a2﹣3b）＝2a3﹣6ab B．a2+9＝（a+3）（a﹣3）
C．a2+2a+1＝（a+1）2 D．a2+4a+5＝a（a+4）+5
15．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21
B．a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7）
C．（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21
D．a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25
16．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+3x＝x（x+3）
B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1
D．6xy2＝3x 2y2
17．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10
C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
D．6ab＝2a 3b
18．下列各式从左到右，是因式分解的是（ ）
A．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1
B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1
C．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x）
D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
19．下列变形是因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
C．x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）
D．x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4
20．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值．
解：设另一个因式是（2x+b），
根据题意，得2x2+x+a＝（x+2）（2x+b）．
展开，得2x2+x+a＝2x2+（b+4）x+2b．
所以，，解得
所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6．
请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值．
