第9章第3节 公式法
题型1 因式分解-运用公式法 题型2 提公因式法与公式法的综合运用
题型3 因式分解的应用
▉题型1 因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
1．下面分解因式正确的是（ ）
A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1
B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）
C．4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2
D．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2
【答案】C
【解答】解：A、原式＝（2a﹣1）2，不符合题意；
B、原式＝（a+2b）（a﹣2b），不符合题意；
C、原式＝（2a﹣3）2，符合题意；
D、原式＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣（a﹣b）2，不符合题意．
故选：C．
2．下列多项式中，属于4x2﹣1的一个因式的是（ ）
A．4x﹣1 B．4x+1 C．2x﹣1 D．4x2
【答案】C
【解答】解：4x2﹣1
＝（2x）2﹣12
＝（2x+1）（2x﹣1），
所以4x2﹣1的因式是2x﹣1或2x+1．
故选：C．
3．下列各式中，能用公式法分解因式的有（ ）
①﹣x2﹣y2；
②；
③a2+ab+b2；
④﹣x2+2xy﹣y2；
⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解：①原式＝﹣（x2+y2），它无法利用公式法因式分解；
②原式，它可以利用平方差公式因式分解；
③a2+ab+b2无法因式分解；
④原式＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，它可以利用完全平方公式因式分解；
⑤原式，它可以利用完全平方公式因式分解；
综上，能用公式法分解因式的有3个，
故选：B．
4．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣2xy+y2 D．x2+y2
【答案】A
【解答】解：根据平方差公式的特点可得到只有A可以运用平方差公式分解，
故选：A．
5．计算：1252﹣50×125+252＝（ ）
A．100 B．150 C．10000 D．22500
【答案】C
【解答】解：1252﹣50×125+252
＝（125﹣25）2
＝10000．
故选：C．
6．已知4a＝7﹣b，则代数式16a2+8ab+b2的值为 49 ．
【答案】49．
【解答】解：由条件可知4a+b＝7，
∴16a2+8ab+b2＝（4a+b）2＝72＝49，
故答案为：49．
7．（1）解不等式组.；
（2）因式分解（x2+9）2﹣36x2．
【答案】（1）﹣2＜x≤1；
（2）（x+3）2（x﹣3）2．
【解答】解：（1）由﹣3（x+1）﹣（x﹣3）＜8得：x＞﹣2；
由得：x≤1；
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1；
（2）原式＝（x2+9）2﹣（6x）2
＝（x2﹣6x+9）（x2+6x+9）
＝（x+3）2（x﹣3）2．
8．（1）利用因式分解进行简便运算：992+202×99+1012；
（2）因式分解：5x（x﹣y）2+10（y﹣x）3．
【答案】（1）40000；（2）5（y﹣x）2（2y﹣x）．
【解答】解：（1）992+202×99+1012
＝992+2×101×99+1012
＝（99+101）2
＝2002
＝40000；
（2）5x（x﹣y）2+10（y﹣x）3
＝5x（y﹣x）2+10（y﹣x）3
＝5（y﹣x）2（2y﹣x）．
▉题型2 提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
9．分解因式：2mx2﹣18m＝ 2m（x+3）（x﹣3） ．
【答案】2m（x+3）（x﹣3）．
【解答】解：2mx2﹣18m＝2m（x2﹣9）＝2m（x+3）（x﹣3），
故答案为：2m（x+3）（x﹣3）．
10．分解因式2x3﹣8x2+8x＝ 2x（x﹣2）2 ．
【答案】2x（x﹣2）2
【解答】解：原式＝2x（x2﹣4x+4）＝2x（x﹣2）2，
故答案为：2x（x﹣2）2
11．分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝y（x﹣y）2 ．
【答案】y（x﹣y）2
【解答】解：∵x2y﹣2xy2+y3＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2．
故答案为：y（x﹣y）2．
12．分解因式：2x3﹣8x＝ 2x（x﹣2）（x+2） ．
【答案】2x（x﹣2）（x+2）
【解答】解：2x3﹣8x，
＝2x（x2﹣4），
＝2x（x+2）（x﹣2）．
13．因式分解：3x3﹣12x＝ 3x（x+2）（x﹣2） ．
【答案】3x（x+2）（x﹣2）
【解答】解：3x3﹣12x
＝3x（x2﹣4）
＝3x（x+2）（x﹣2）
故答案为：3x（x+2）（x﹣2）．
14．因式分解：
（1）x（a﹣b）+2（b﹣a）；
（2）2x2﹣12xy+18y2．
【答案】（1）（a﹣b）（x﹣2）；
（2）2（x﹣3y）2．
【解答】解：（1）x（a﹣b）+2（b﹣a）
＝x（a﹣b）﹣2（a﹣b）
＝（a﹣b）（x﹣2）；
（2）2x2﹣12xy+18y2
＝2（x2﹣6xy+9y2）
＝2（x﹣3y）2．
15．分解因式：
（1）4x（x﹣y）2﹣12（x﹣y）3；
（2）9a2﹣24ab+16b2；
（3）ma2﹣18ma﹣40m；
（4）3a2﹣27．
【答案】（1）4（x﹣y）2（﹣2x+3y）；
（2）（3a﹣4b）2；
（3）m（a+2）（a﹣20）；
（4）3（a+3）（a﹣3）．
【解答】解：（1）4x（x﹣y）2﹣12（x﹣y）3
＝4（x﹣y）2[x﹣3（x﹣y）]
＝4（x﹣y）2（x﹣3x+3y）
＝4（x﹣y）2（﹣2x+3y）；
（2）9a2﹣24ab+16b2
＝（3a﹣4b）2；
（3）ma2﹣18ma﹣40m
＝m（a2﹣18a﹣40）
＝m（a2﹣18a+81﹣121）
＝m[（a﹣9）2﹣112]
＝m（a﹣9+11）（a﹣9﹣11）
＝m（a+2）（a﹣20）；
（4）3a2﹣27
＝3（a2﹣9）
＝3（a+3）（a﹣3）．
16．因式分解
（1）﹣2a3+12a2﹣18a
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2；
（2）原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
▉题型3 因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
17．对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
【答案】B
【解答】解：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1）2﹣52＝（2n+1﹣5）（2n+1+5）＝（2n﹣4）（2n+6）＝4（n﹣2）（n+3），
∴对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数，
∴对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能被4整除，
故选：B．
18．已知a，b，c是△ABC的三边，且ab﹣ac+bc﹣c2＝0，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：由条件可得a（b﹣c）+c（b﹣c）＝（a+c）（b﹣c）＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
故a+c＞0，
则b﹣c＝0，
即b＝c，
∴△ABC一定是等腰三角形．
故选：A．
19．已知a，b分别是长方形的长和宽，它的周长为12，面积为8，则的值为 24 ．
【答案】24．
【解答】解：根据题意，得ab＝8，2（a+b）＝12，则得a+b＝6，
∴
＝24．
故答案为：24．
20．[阅读材料]
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组：二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用”3+1”分组；若无法构成，则采用”2+2”“分组．
例如，x2+2x+1﹣4＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）；
am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．
[应用知识]
（1）因式分解：a2﹣ab+bc﹣ac；
（2）因式分解：﹣a2﹣6ab﹣9b2+9；
[拓展应用]
（3）已知一三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，2a2＝c（2a﹣c）+b（2a﹣b），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）a2﹣ab+bc﹣ac
＝（a2﹣ab）+（bc﹣ac）
＝a（a﹣b）﹣c（a﹣b）
＝（a﹣b）（a﹣c）；
（2）﹣a2﹣6ab﹣9b2+9
＝（﹣a2﹣6ab﹣9b2）+9
＝9﹣（a2+6ab+9b2）
＝32﹣（a+3b）2
＝（3+a+3b）（3﹣a﹣3b）；
（3）这个三角形是等边三角形，理由如下：
∵2a2＝c（2a﹣c）+b（2a﹣b），
∴2a2＝2ac﹣c2+2ab﹣b2，
∴2a2﹣2ac+c2﹣2ab+b2＝0，
（a2﹣2ac+c2）+（a2﹣2ab+b2）＝0
（a﹣c）2+（a﹣b）2＝0，
∴a﹣c＝0，a﹣b＝0，
∴a＝c，a＝b，
∴a＝b＝c，
∴这个三角形是等边三角形．
21．根据以下信息，判断三角形的形状．
（1）三角形的三边长a，b，c满足a2﹣ab＝bc﹣ac，判断此三角形的形状；
（2）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20，判断△ABC的形状．
【答案】（1）等腰三角形；
（2）直角三角形．
【解答】解：（1）∵a2﹣ab＝bc﹣ac，
∴a（a﹣b）+c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a+c）＝0，
∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴a+c＞0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
∴此三角形是等腰三角形；
（2）∵CD⊥AB，BD＝9，BC＝15，AC＝20，
∴，，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，
∴AC2+BC2＝202+152＝625＝252＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
22．（1）如图1所示的四个图形可拼成如图2所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2） ；
（2）如图3，有足够多的边长为a的大正方形，长为a、宽为b的长方形和边长为b的小正方形，利用拼图将多项式a2+4ab+3b2进行因式分解，在图4虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果；
（3）若多项式9a2+12ab+kb2（k为正整数）可以用拼图法因式分解，则k＝ 4或3 ．
【答案】（1）x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；
（2）图见解析，a2+4ab+3b2＝（a+b）（a+3b）；
（3）4或3．
【解答】解：（1）所示的四个图形可拼成如图2所示的一个大长方形，由图形得x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；
故答案为：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；
（2）如图，a2+4ab+3b2＝（a+b）（a+3b）；
（3）如图：
或
∴9a2+12ab+kb2＝9a2+12ab+4b2，
或9a2+12ab+kb2＝9a2+12ab+3b2，
故答案为：4或3．
23．数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2可以得到： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）利用图2所得的等式解答下列问题：
若实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．
【答案】（1）a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）45．
【解答】解：（1）（a+b+c）2
＝（a+b+c）（a+b+c）
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc），
∴112＝a2+b2+c2+38×2，
∴a2+b2+c2＝45．
答：a2+b2+c2的值是45．
24．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．
（1）解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b是整数）的形式 22+52 ；
（2）探究问题：已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（xy是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由；
（3）拓展结论：已知x，y满足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值．
【答案】（1）22+52；（2）36；（3）4．
【解答】解：（1）因为29＝4+25＝22+52，
所以29写成a2+b2（a，b是整数）的形式是22+52．
故答案为：22+52．
（2）因为xy是整数，k是常数，
S＝2x2+y2+2xy+12x+k
＝（x2+y2+2xy）+（x2+12x+k）
＝（x+y）2+（x2+12x+k），
要使要使S为“完美数”，
则x2+12x+k是完全平方数，
所以k＝36时，x2+12x+k＝x2+12x+36＝（x+6）2，
此时S＝（x+y）2+（x+6）2．
所以符合条件的k的值是36．
（3）因为x，y满足﹣x2+3x+y﹣5＝0，
所以x，y满足y＝x2﹣3x+5，
所以有：
x+y
＝x+x2﹣3x+5
＝x2﹣2x+5
＝（x﹣1）2+4，
因为（x﹣1）2≥0，
所以（x﹣1）2+4≥4，
所以当x＝1时，x+y有最小值是4．第9章第3节 公式法
题型1 因式分解-运用公式法 题型2 提公因式法与公式法的综合运用
题型3 因式分解的应用
▉题型1 因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
1．下面分解因式正确的是（ ）
A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1
B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）
C．4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2
D．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2
2．下列多项式中，属于4x2﹣1的一个因式的是（ ）
A．4x﹣1 B．4x+1 C．2x﹣1 D．4x2
3．下列各式中，能用公式法分解因式的有（ ）
①﹣x2﹣y2；
②；
③a2+ab+b2；
④﹣x2+2xy﹣y2；
⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣2xy+y2 D．x2+y2
5．计算：1252﹣50×125+252＝（ ）
A．100 B．150 C．10000 D．22500
6．已知4a＝7﹣b，则代数式16a2+8ab+b2的值为 ．
7．（1）解不等式组.；
（2）因式分解（x2+9）2﹣36x2．
8．（1）利用因式分解进行简便运算：992+202×99+1012；
（2）因式分解：5x（x﹣y）2+10（y﹣x）3．
▉题型2 提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
9．分解因式：2mx2﹣18m＝ ．
10．分解因式2x3﹣8x2+8x＝ ．
11．分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝ ．
12．分解因式：2x3﹣8x＝ ．
13．因式分解：3x3﹣12x＝ ．
14．因式分解：
（1）x（a﹣b）+2（b﹣a）；
（2）2x2﹣12xy+18y2．
15．分解因式：
（1）4x（x﹣y）2﹣12（x﹣y）3；
（2）9a2﹣24ab+16b2；
（3）ma2﹣18ma﹣40m；
（4）3a2﹣27．
16．因式分解
（1）﹣2a3+12a2﹣18a
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
▉题型3 因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
17．对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
18．已知a，b，c是△ABC的三边，且ab﹣ac+bc﹣c2＝0，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．无法确定
19．已知a，b分别是长方形的长和宽，它的周长为12，面积为8，则的值为 ．
20．[阅读材料]
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组：二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用”3+1”分组；若无法构成，则采用”2+2”“分组．
例如，x2+2x+1﹣4＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）；
am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．
[应用知识]
（1）因式分解：a2﹣ab+bc﹣ac；
（2）因式分解：﹣a2﹣6ab﹣9b2+9；
[拓展应用]
（3）已知一三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，2a2＝c（2a﹣c）+b（2a﹣b），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
21．根据以下信息，判断三角形的形状．
（1）三角形的三边长a，b，c满足a2﹣ab＝bc﹣ac，判断此三角形的形状；
（2）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20，判断△ABC的形状．
22．（1）如图1所示的四个图形可拼成如图2所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解： ；
（2）如图3，有足够多的边长为a的大正方形，长为a、宽为b的长方形和边长为b的小正方形，利用拼图将多项式a2+4ab+3b2进行因式分解，在图4虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果；
（3）若多项式9a2+12ab+kb2（k为正整数）可以用拼图法因式分解，则k＝ ．
23．数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2可以得到： ；
（2）利用图2所得的等式解答下列问题：
若实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．
24．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．
（1）解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b是整数）的形式 ；
（2）探究问题：已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（xy是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由；
（3）拓展结论：已知x，y满足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值．
