第8章第4节 梯形
题型1 梯形 题型2 直角梯形
题型3 等腰梯形的性质 题型4 等腰梯形的判定
题型5 梯形中位线定理
▉题型1 梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
1．如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于G，BG＝4，则梯形AECD的周长为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
2．梯形的两底长分别为16cm和8cm，两底角分别为60°和30°，则较短的腰长为（ ）
A．8cm B．6cm C．1cm D．4cm
3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B＝90°，CD＝7，MN＝11，点M、N分别为AB、CD的中点，则线段AB＝ ．
4．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC与BD交于点O，AC＝4，BD＝6，则梯形ABCD的面积是 ．
5．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（a＞0）∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，（提示：S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD）梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2．
（2）如图3，网格中小正方形边长为1，
①点P为已给网格中格点上的点，求BP的最大值为 ．
②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高的长度为 ．
（3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的商，AB＝4，AC＝5，BC＝6，求AD的长．
6．背景介绍：
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：
把两个全等的直角三角形如图
（1）放置，其三边长分别为a，b，c显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE，请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到a2+b2＝c2．
S梯形ABCD＝ ） ，S△EBC＝，S四边形AECD＝ ，则它们满足的关系式为 ，经化简，可得到a2+b2＝c2．
（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）
[知识运用]
（1）如图（2），铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C，D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝24千米，BC＝14千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图（3）中作出P点的位置并求出AP的距离．
▉题型2 直角梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．
角：有两个内角是直角．
过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．
7．如图，梯形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，E点在CD上，且DE：EC＝1：4．若AB＝5，BC＝4，AD＝8，则四边形ABCE的面积为何？（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝18cm，BC＝30cm．点E从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动：点F从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，M为BC上一点且CM＝13cm，t＝ s秒时，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t．
（2）当t为何值时，△BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？
11．某小区计划在如图所示的空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮的售价为60元/m2，购买这种草皮需要多少钱？
12．如图，已知：如图梯形ABCD中，AD∥CB，AD＝2，AB＝5，CD＝4，∠C＝90°，求S梯形ABCD．
▉题型3 等腰梯形的性质
（1）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．
13．课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形状的风筝，（如图），其面积为450cm2，则每条对角线所用的竹条的长为（ ）
A．30cm B．30cm C．60cm D．60cm
14．等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（ ）
A．120° B．60° C．45° D．135°
15．如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，AC平分∠DAB，∠DCA＝30°，DC＝3cm，则∠BCA＝ °，梯形ABCD的周长为 cm．
16．三条边长分别为2、3、8的等腰梯形的周长是 ．
17．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为 度．
▉题型4 等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
18．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿边AD以每秒1cm的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿CB以每秒3cm的速度向B移动，P、Q同时出发．
（1）当运动多少秒时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）当运动多少秒时，四边形PQCD是直角梯形？
（3）多少秒后，梯形PQCD是等腰梯形？
▉题型5 梯形中位线定理
（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（3）梯形面积与中位线的关系：
梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即
梯形的面积2×中位线的长×高＝中位线的长×高
（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．
20．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（ ）
A．9 B．10.5 C．12 D．15
21．等腰梯形ABCD的中位线EF的长为5，腰AD的长为5，则等腰梯形ABCD的周长为 ．
22．已知梯形的中位线长是3cm，下底长是4cm，则它的上底长是 cm．第8章第4节 梯形
题型1 梯形 题型2 直角梯形
题型3 等腰梯形的性质 题型4 等腰梯形的判定
题型5 梯形中位线定理
▉题型1 梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
1．如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于G，BG＝4，则梯形AECD的周长为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝9，CD＝AB＝6，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴BE＝AB＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝3，
∵BG⊥AE，
∴∠BGE＝90°，AG＝EG，
∴EG2，
∴AE＝2EG＝4，
∴梯形AECD的周长＝AE+CE+CD+AD＝4+3+6+9＝22，
故选：B．
2．梯形的两底长分别为16cm和8cm，两底角分别为60°和30°，则较短的腰长为（ ）
A．8cm B．6cm C．1cm D．4cm
【答案】D
【解答】已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝16cm，AD∥BC，∠B＝60°，∠DCB＝30°，求AB的长．
解：过D点作DE∥AB交BC于E点，
∵AD∥BC，∴四边形AEFB为平行四边形，
即BE＝AD＝8，AB＝DE，∠DEC＝∠B＝60°，∠DCB＝30°，
∴△CDE为直角三角形，
DE＝CE sin30°＝（16﹣8）4，
∴AB＝DE＝4．
故选：D．
3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B＝90°，CD＝7，MN＝11，点M、N分别为AB、CD的中点，则线段AB＝ 29 ．
【答案】29．
【解答】解：如图，过点N作NE∥AD，交AB于E，NF∥BC，交AB于F，
则∠NEF＝∠A，∠NFE＝∠B，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠NEF+∠NFE＝90°，
∴∠ENF＝90°，
∵AB∥CD，
∴四边形ADNE、四边形BCNF为平行四边形，
∴AE＝DN，BF＝NC，
∴AE+BF＝DC＝7，
∵点M、N分别为AB、CD的中点，
∴DN＝NC，AM＝MB，
∴EM＝MF，
∴EF＝2MN＝22，
∴AB＝AE+BF+EF＝7+22＝29，
故答案为：29．
4．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC与BD交于点O，AC＝4，BD＝6，则梯形ABCD的面积是 12 ．
【答案】12
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴梯形的面积AC×BD4×6＝12．
故答案为：12．
5．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（a＞0）∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，（提示：S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD）梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2．
（2）如图3，网格中小正方形边长为1，
①点P为已给网格中格点上的点，求BP的最大值为 ．
②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高的长度为 ．
（3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的商，AB＝4，AC＝5，BC＝6，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）；
【解答】（1）证明：如图，设AD与BC交于点G，
∵BC⊥AD，∠BAC＝∠DEA＝90°，AB＝DE＝a，AC＝AE＝b，BC＝AD＝c，
∴S四边形ABDCAD BCc2，
S梯形AEDC（AC+ED）×AE（b+a）b，
S△EBDED BEa（a﹣b），
∵S四边形ABDC＝S梯形AEDC+S△EBD，
∴c2（b+a）ba（a﹣b），
化简，得c2＝b2+a2；
（2）解：①PB的最大值，
故答案为：；
②设AB边上的高为h．
∵AB2，
∴2h＝4×42×42×22×4，
∴h．
∴AB边上的高为．
故答案为：；
（3）解：设BD＝x，
∵BC＝6，
∴CD＝6﹣x，
在Rt△ABD中，
∵AB＝4，
∴由勾股定理，得AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2，
在Rt△ABD中，
∵AC＝5，
∴由勾股定理，得AD2＝AC2﹣CD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，
∴16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
∴x，
∴AD．
6．背景介绍：
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：
把两个全等的直角三角形如图
（1）放置，其三边长分别为a，b，c显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE，请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到a2+b2＝c2．
S梯形ABCD＝ （a2+ab） ，S△EBC＝ （ab﹣b2 ，S四边形AECD＝ c2 ，则它们满足的关系式为 （a2+ab）（ab﹣b2）c2 ，经化简，可得到a2+b2＝c2．
（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）
[知识运用]
（1）如图（2），铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C，D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝24千米，BC＝14千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图（3）中作出P点的位置并求出AP的距离．
【答案】小试牛刀：（1）（a2+ab）；（ab﹣b2；c2；（a2+ab）（ab﹣b2）c2；
[知识运用]（1）；（2）千米．
【解答】解：小试牛刀：（1）依题意得：AD＝AB＝a，AE＝BC＝b，AC＝DE＝c，∠ADE＝∠BAC，
∵∠DAB＝∠B＝90°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为直角梯形，
S梯形ABCD（AD+BC） AB（a+b） a（a2+ab），
∵AB＝a，AE＝b，
∴BE＝AB﹣AE＝a﹣b，
∴S△EBCBC BEb（a﹣b）（ab﹣b2），
∵∠DAB＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∵∠ADE＝∠BAC，
∴∠BAC+∠AED＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣（∠BAC+∠AED）＝90°，
即AC⊥DE，
∴S△ADEDE AF，S△CDEDE CF，
∴S△ADE+S△CDEDE（AF+CF）DE ACc2，
∴S四边形AECD＝S△ADE+S△CDEc2，
∵S梯形ABCD＝S△EBC+S四边形AECD，
∴（a2+ab）（ab﹣b2）c2，
整理得：a2+b2＝c2，
故答案为：（a2+ab）；（ab﹣b2；c2；（a2+ab）（ab﹣b2）c2．
[知识运用]（1）连接CD，过点C作CH⊥AD于H，如图2所示：
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴四边形ABCG为矩形，
∴AB＝CH＝30千米，AH＝BG＝14千米，
∴DH＝AD﹣AH＝24﹣14＝10（千米），
在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD（千米）；
∴两个村庄的距离为千米，
故答案为：．
（2）①连接CD，
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径画弧，两弧交于R，T，
③过点R，T作直线交AB于点P，
则点P为所求作的点，如图3所示：
理由如下：
由作图可知：RT为线段CD的垂直平分线，
∴PC＝PD，
在Rt△PAD中，由勾股定理得：PD2＝AP2+AD2，
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2，
∴AP2+AD2＝PB2+BC2，
∵在（1）的背景下，则AB＝30千米，AD＝24千米，BC＝14千米，
∴PB＝AB﹣AP＝（30﹣AP）千米，
∴AP2+242＝（30﹣AP）2+142，
整理得：60AP＝520，
∴AP（千米）．
▉题型2 直角梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．
角：有两个内角是直角．
过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．
7．如图，梯形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，E点在CD上，且DE：EC＝1：4．若AB＝5，BC＝4，AD＝8，则四边形ABCE的面积为何？（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】C
【解答】解：连接AC，
∵梯形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝4，AD＝8，
∴S梯形ABCD （AD+BC） AB30，
S△ABCAB BC5×4＝10，
∴S△ACD＝30﹣10＝20，
∵DE：EC＝1：4，
∴S△ACE＝2016，
∴S四边形ABCE＝10+16＝26．
故选：C．
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝18cm，BC＝30cm．点E从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动：点F从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，M为BC上一点且CM＝13cm，t＝ 或13 s秒时，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】或13
【解答】解：由题意得：DE＝t，CF＝2t，
∵AD∥BC，
当点F在点M的右边MF＝13﹣2t，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，DE＝MF，
即t＝13﹣2t，
解得：t；
当点F在点M的左边MF＝2t﹣13，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，DE＝MF，
即t＝2t﹣13，
解得：t＝13；
综上所述，ts或13s时，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或13．
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）75°；
（3）4．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
（3）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝4，
由勾股定理得：BC2，
∴S矩形ABCD＝22＝4．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t．
（2）当t为何值时，△BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？
【答案】（1）运动时间t为2；
（2）t为或时，△BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形．
【解答】解：（1）∵四边形ABQP为平行四边形，
∴AP＝BQ，
又∵AP＝AD﹣PD＝10﹣2t，
BQ＝BC﹣CQ＝8﹣t，
∴10﹣2t＝8﹣t，
解得t＝2，
答：运动时间t为2；
（2）如图，过P作PE⊥BC于E，
当∠BQP为顶角时，QB＝QP，BQ＝8﹣t，PE＝CD＝6，EQ＝CE﹣CQ＝2t﹣t，
依据BQ2＝PQ2有：（8﹣t）2＝62+（2t﹣t）2，
解得 t；
当∠BPQ为顶角时，PB＝PQ，
由BQ＝2EQ有：8﹣t＝2（2t﹣t），
解得t，
综上，t或t时，符合题意，
答：t为或时，△BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形．
11．某小区计划在如图所示的空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮的售价为60元/m2，购买这种草皮需要多少钱？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接AC，
∵AD＝3m，CD＝4m，∠D＝90°，
∴AC5m，
∵52+122＝132，
∴S四边形ABCD＝3×4÷2+5×12÷2＝36m2，
∴购买这种草皮需要＝36×60＝2160（元）．
故购买这种草皮需要2160元钱．
12．如图，已知：如图梯形ABCD中，AD∥CB，AD＝2，AB＝5，CD＝4，∠C＝90°，求S梯形ABCD．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，过点A作AE⊥BC于E，
则四边形AECD是矩形，
∴CE＝AD＝2，AE＝CD＝4，
∴在Rt△ABE中，BE3
∴BC＝5，
∴S梯形ABCD（2+5）×4＝14．
▉题型3 等腰梯形的性质
（1）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．
13．课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形状的风筝，（如图），其面积为450cm2，则每条对角线所用的竹条的长为（ ）
A．30cm B．30cm C．60cm D．60cm
【答案】B
【解答】解：如图，
∵AC＝BD且AC⊥BD，
∴S梯形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
BD×OABD×OC，
BD2，
又∵等腰梯形ABCD的面积为450cm2，
∴450cm2，
解得，BD＝30cm．
故选：B．
14．等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（ ）
A．120° B．60° C．45° D．135°
【答案】B
【解答】解：如图，过点D作DE∥BC，交AB于点E．
∴DE＝CB＝AD，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴腰与下底的夹角为60°．
故选：B．
15．如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，AC平分∠DAB，∠DCA＝30°，DC＝3cm，则∠BCA＝ 90 °，梯形ABCD的周长为 15 cm．
【答案】90，15．
【解答】解：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝30°，∠DAC＝30°，∠D+∠DAB＝180°，
∴AD＝DC＝3cm，
∵AD＝BC，
∴CB＝3cm，∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝2BC＝6cm，
∴梯形ABCD的周长为：3+3+3+6＝15cm．
故答案为：90，15．
16．三条边长分别为2、3、8的等腰梯形的周长是 21 ．
【答案】21
【解答】解：如图所示，
在等腰梯形ABCD中，过点A作腰CD的平行线，交BC于点E．
在等腰梯形ABCD中，
（1）若腰长AB＝2，则AE＝CD＝AB＝2，BE＝BC﹣AD＝8﹣3＝5．
那么AB+AE＝4＜BE＝5．故不成立．
（2）若腰长AB＝3，则AE＝CD＝AB＝3，BE＝BC﹣AD＝8﹣2＝6．
那么AB+AE＝BE．故不成立．
（3）若腰长AB＝8，则AE＝CD＝AB＝8，BE＝BC﹣AD＝3﹣2＝1．
符合三角形的两边之和大于第三边．
所以等腰梯形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝8+2+3+8＝21．
故答案为：21．
17．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为 45 度．
【答案】45
【解答】解：过点D作DE∥AB，∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，∴AB＝DE，
∵AB＝CD，∴DE＝CD，
∴△CDE是等腰三角形，又DF⊥CE，
∴EF＝CFCE（BC﹣AD）＝6cm，
∵高DF＝6cm，
∴DF＝CF＝6cm，
而∠DFC＝90°，∴∠DCF＝45°．
▉题型4 等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
18．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项错误；
B、对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项正确；
故选：D．
19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿边AD以每秒1cm的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿CB以每秒3cm的速度向B移动，P、Q同时出发．
（1）当运动多少秒时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）当运动多少秒时，四边形PQCD是直角梯形？
（3）多少秒后，梯形PQCD是等腰梯形？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：PA＝tcm，CQ＝3tcm，则PD＝AD﹣PA＝24﹣t（cm）．
（1）∵AD∥BC，
即PD∥CQ，
∴当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
即24﹣t＝3t，
解得：t＝6，
即当t＝6s时，四边形PQCD为平行四边形；
（2）当PA＝BQ时，四边形PQCD是直角梯形，
∴t＝26﹣3t，
∴t，
即ts时，四边形PQCD是直角梯形．
（3）过D作DE⊥BC于E，
则四边形ABED为矩形，
∴BE＝AD＝24cm，
∴EC＝BC﹣BE＝2cm，
当PQ＝CD时，四边形PQCD为等腰梯形，如图所示：
过点P作PF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，
则四边形PDEF是矩形，
∴EF＝PD，PF＝DE，
在Rt△PQF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL），
∴QF＝CE，
∴QC﹣PD＝QC﹣EF＝QF+EC＝2CE，
即3t﹣（24﹣t）＝4，
解得：t＝7，
即当t＝7s时，四边形PQCD为等腰梯形．
▉题型5 梯形中位线定理
（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（3）梯形面积与中位线的关系：
梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即
梯形的面积2×中位线的长×高＝中位线的长×高
（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．
20．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（ ）
A．9 B．10.5 C．12 D．15
【答案】C
【解答】解：∵EF梯形的中位线，∴EF∥BC，AD+BC＝2EF＝6．
∴∠EPB＝∠PBC．
又因为BP平分∠EBC，所以∠EBP＝∠PBC，
∴∠EPB＝∠EBP，
∴BE＝EP，∴AB＝2EP．
同理可得，CD＝2PF，所以AB+CD＝2EF＝6．
则梯形ABCD的周长为6+6＝12．
故选：C．
21．等腰梯形ABCD的中位线EF的长为5，腰AD的长为5，则等腰梯形ABCD的周长为 20 ．
【答案】20．
【解答】解：∵等腰梯形ABCD的中位线EF的长为5，
∴AB+CD＝2×5＝10．
又∵腰AD的长为5，
∴这个等腰梯形的周长为AB+CD+AD+BC＝10+5+5＝20．
故答案为：20．
22．已知梯形的中位线长是3cm，下底长是4cm，则它的上底长是 2 cm．
【答案】2
【解答】解：设上底边长xcm，
根据题意得，（x+4）＝3，
解得x＝2．
故答案为：2．
