第10章第2节 分式的基本性质
题型1 分式的基本性质 题型2 约分
题型3 通分 题型4 最简分式
题型5 最简公分母
▉题型1 分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
1．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式中的变形，错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍
C．缩小为原来的 D．扩大4倍
4．下列式子一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列式子从左到右，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ）
A．3 B．3x+3 C．xy D．x+y
7．如果将分式中的a和b都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的3倍
C．缩小到原来的 D．缩小到原来的
▉题型2 约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
8．下列分式的约分正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．约分的结果是（ ）
A．3x B．3xy C．3xy2 D．3x2y
10．约分：
（1）；
（2）．
▉题型3 通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
11．（1）约分：①；
②；
（2）通分：．
▉题型4 最简分式
最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
12．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
13．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
14．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
15．分式①②③④中，属于最简分式的有 （填序号）
16．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有 个．
▉题型5 最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
17．分式和的最简公分母是（ ）
A．2xy B．2x2y2 C．6x2y2 D．6x3y3
18．分式，的最简公分母是 ．
19．分式和的最简公分母是 ．
20．分式的最简公分母是 ．
21．分式与的最简公分母是 ．
22．分式，的最简公分母是 ．
23．分式与的最简公分母是 ．第10章第2节 分式的基本性质
题型1 分式的基本性质 题型2 约分
题型3 通分 题型4 最简分式
题型5 最简公分母
▉题型1 分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
1．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据分式的基本性质逐项分析判断如下：
A、，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项符合题意；
C、，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、，与不一定相等，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．下列各式中的变形，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
3．把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍
C．缩小为原来的 D．扩大4倍
【答案】B
【解答】解：把分式中的x和y都扩大2倍可得，
是分式的2倍，
故选：B．
4．下列式子一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、若a≠b，则，故A选项错误；
B、若c＝0，则，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故选：D．
5．下列式子从左到右，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、当m≠0时，，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
6．若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ）
A．3 B．3x+3 C．xy D．x+y
【答案】D
【解答】解：A、当A＝3时，，
∴分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，
故A不符合题意；
B、当A＝3x+3时，，
∴分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，
故B不符合题意；
C、当A＝xy时，，
∴分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，
故C不符合题意；
D、当A＝x+y时，，
∴分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，
故D符合题意；
故选：D．
7．如果将分式中的a和b都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的3倍
C．缩小到原来的 D．缩小到原来的
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，，
∴分式的值不变．
故选：A．
▉题型2 约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
8．下列分式的约分正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
B、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
C、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意，
故选：D．
9．约分的结果是（ ）
A．3x B．3xy C．3xy2 D．3x2y
【答案】B
【解答】解：，
故选：B．
10．约分：
（1）；
（2）．
【答案】（1）．
（2）．
【解答】解：（1）．
（2）．
▉题型3 通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
11．（1）约分：①；
②；
（2）通分：．
【答案】（1）①﹣3x2y；②；（2），．
【解答】解：（1）①，
②；
（2）依题意，，．
▉题型4 最简分式
最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
12．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：（A）原式1，故A错误；
（B）原式，故B错误；
（D）原式，故D错误；
故选：C．
13．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意；
B、，原分式不是最简分式，不符合题意；
C、，原分式不是最简分式，不符合题意；
D、是最简分式，符合题意；
故选：D．
14．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、x﹣y，不是最简分式，不符合题意；
B、x+y，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、y﹣x，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
15．分式①②③④中，属于最简分式的有 ② （填序号）
【答案】②．
【解答】解：①因为，所以①不是最简分式；
②因为分子分母没有公因式，所以②是最简分式；
③因为，所以③不是最简分式；
④因为1，所以④不是最简分式．
故答案为：②．
16．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有 2 个．
【答案】2
【解答】解：①是最简分式；
②，不是最简分式；
③，不是最简分式；
④是最简分式；
最简分式有①④，共2个；
故答案为：2．
▉题型5 最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
17．分式和的最简公分母是（ ）
A．2xy B．2x2y2 C．6x2y2 D．6x3y3
【答案】C
【解答】解：分式和的最简公分母是6x2y2，
故选：C．
18．分式，的最简公分母是 6x2y ．
【答案】6x2y
【解答】解：分式，的最简公分母是6x2y．
故答案为：6x2y．
19．分式和的最简公分母是 6a2b3c ．
【答案】6a2b3c
【解答】解：和的最简公分母是6a2b3c，
故答案为：6a2b3c．
20．分式的最简公分母是 （m+1）（m﹣1） ．
【答案】（m+1）（m﹣1）．
【解答】解：分式的最简公分母是（m+1）（m﹣1），
故答案为：（m+1）（m﹣1）．
21．分式与的最简公分母是 6a2b3 ．
【答案】6a2b3
【解答】解：2、3的最小公倍数为6，
a的最高次幂为2，b的最高次幂为3，
所以最简公分母为6a2b3．
故答案为：6a2b3．
22．分式，的最简公分母是 x2yz ．
【答案】x2yz
【解答】解：分式，的最简公分母是x2yz．
故答案为：x2yz．
23．分式与的最简公分母是 2a2b2 ．
【答案】2a2b2
【解答】解与的分母分别是2a2b、ab2，故最简公分母是2a2b2；
故答案为：2a2b2．
