第11章第1节 二次根式的概念
题型1 二次根式的定义 题型2 二次根式有意义的条件
题型3 二次根式的性质与化简
▉题型1 二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
1．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．下列式子中，一定是二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
4．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．108
5．已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
6．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．若是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是 ．
▉题型2 二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
9．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2
10．已知代数式有意义则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠3 D．x≥﹣2且x≠3
11．若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≥﹣2
12．代数式有意义的x的取值范围是 ．
▉题型3 二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
13．化简的结果是（ ）
A．2 B．±2 C． D．±
14．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（ ）
A．2a﹣3 B．﹣1 C．1 D．3﹣2a
15．实数a、b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（ ）
A．2b B．2a C．2b﹣2a D．0
16．已知ab＜0，且，，则a+b结果是（ ）
A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8
17．已知b＜0，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
18．化简二次根式的结果为（ ）
A． B． C． D．
19．若，则x的取值范围是（ ）
A．x＞6 B．x＜6 C．x≥6 D．x≤6
20．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ）
A．a﹣2b B．﹣a﹣2b C．﹣2a﹣b D．a+2b
21．若a﹣4，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4
22．化简： ．第11章第1节 二次根式的概念
题型1 二次根式的定义 题型2 二次根式有意义的条件
题型3 二次根式的性质与化简
▉题型1 二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
1．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、a2+1≥1，则是二次根式，故此选项符合题意；
B、无意义，故此选项不符合题意；
C、当a＜0时，无意义，故此选项不符合题意；
D、属于三次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：∵2，
∴当n＝6时，6，
∴原式＝212，
∴n的最小值为6．
故选：C．
3．下列式子中，一定是二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据二次根式定义及被开方数为非负数列不等式逐项分析判断如下：
A、不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、当a2﹣1＜0时，则它无意义，故本选项不符合题意；
C、由于a2+1＞0，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
D、当a+3＜0时，它无意义，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．108
【答案】B
【解答】解：∵6，
∴n的最小正整数值是：3．
故选：B．
5．已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】A
【解答】解：∵2，是整数，
∴3n是一个完全平方数．
∴n的最小值是3．
故选：A．
6．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、是二次根式，正确，符合题意；
B、无意义，不是二次根式，不符合题意；
C、的根指数是3，不是二次根式，不符合题意；
D、当a＜0时，无意义，不是二次根式，不符合题意，
故选：A．
7．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵x2≥0，
∴x2+2≥2，
∴一定是二次根式，
而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式，
故选：C．
8．若是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是 10 ．
【答案】10．
【解答】解：根据算术平方根的非负性可得，10﹣a≥0，
解得：a≤10，
由条件可知正整数a＝10或9或6或1，
则满足条件的最大正整数a的值是10，
故答案为：10．
▉题型2 二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
9．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2
【答案】D
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：D．
10．已知代数式有意义则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠3 D．x≥﹣2且x≠3
【答案】D
【解答】解：若该代数式有意义则，
解得：x≥﹣2且x≠3，
故选：D．
11．若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≥﹣2
【答案】C
【解答】解：由题意，得x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
12．代数式有意义的x的取值范围是 ．
【答案】．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴5x﹣1≥0，
解得，
故答案为：．
▉题型3 二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
13．化简的结果是（ ）
A．2 B．±2 C． D．±
【答案】A
【解答】解：2．
故选：A．
14．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（ ）
A．2a﹣3 B．﹣1 C．1 D．3﹣2a
【答案】A
【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．
故选：A．
15．实数a、b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（ ）
A．2b B．2a C．2b﹣2a D．0
【答案】A
【解答】解：由数轴可知a﹣b＞0，
∴
＝|a|﹣|b|﹣|b﹣a|
＝a+b﹣（a﹣b）
＝2b，
故选：A．
16．已知ab＜0，且，，则a+b结果是（ ）
A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8
【答案】B
【解答】解：∵，
∴a＝5，
∵ab＜0，
∴b＜0，
∵，
∴﹣b＝3，
∴b＝﹣3，
∴a+b＝5+（﹣3）＝2，
故选：B．
17．已知b＜0，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由条件可知a＜0，b＜0，
∴；
故答案为：A．
18．化简二次根式的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：化简得：，
∴，
故选：D．
19．若，则x的取值范围是（ ）
A．x＞6 B．x＜6 C．x≥6 D．x≤6
【答案】D
【解答】解：∵，
∴x﹣6≤0，
解得x≤6．
故选：D．
20．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ）
A．a﹣2b B．﹣a﹣2b C．﹣2a﹣b D．a+2b
【答案】B
【解答】解：由各点在数轴上的位置可得a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，
∴原式
＝|a+b|﹣|b﹣a|+|a|
＝﹣（a+b）﹣（b﹣a）+（﹣a）
＝﹣a﹣b﹣b+a﹣a
＝﹣a﹣2b．
故选：B．
21．若a﹣4，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4
【答案】D
【解答】解：∵|a﹣4|＝a﹣4，
∴a﹣4≥0，即a≥4，
故选：D．
22．化简： π﹣3 ．
【答案】π﹣3
【解答】解：∵3﹣π＜0，
∴原式＝|3﹣π|
＝π﹣3．
故答案为：π﹣3．
