第10章第3节 分式的加减
题型1 分式的加减法
▉题型1 分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
1．计算的结果等于（ ）
A． B． C．1 D．
2．下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果A，B，那么代数式A与B之间的关系是（ ）
A．A+B＝0 B．A＝B C．AB＝0 D．A＝2B
4．计算的结果是（ ）
A． B．x C．1 D．2
5．计算的结果等于（ ）
A．3 B．x C． D．
6．下列分式中，从左到右变形错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式 ．
8．若，则分式 ．
9．计算： ．
10．若，则 ．
11．已知，则代数式的值为 ．
12．已知，则的值为 ．
13．化简： ．
14．化简： ．
15．计算的结果为 ．
16．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形．我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将分式分解：．（1）将分式分解的结果为 ；
（2）若可以分式分解为（其中m、p、q是常数）．则p＝ ，q＝ ；
（3）当x＞1时．判断与的大小关系，并证明．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”．
例如：，我们称是的“3阶差分式”．
解答下列问题：
（1）分式是分式的“ 阶差分式”．
（2）分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值．
19．计算：
（1）；
（2）．
20．阅读理解题．
我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”．
（2）已知分式，，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，x为整数，且M的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值．
21．化简与计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
22．阅读材料：
在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，
如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题：
（1）将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：
① ；② ；
（2）利用分离常数法，求分式的最大值．
（3）已知：P＝x+2，Q，设，若x，y均为非零整数，求xy的值．第10章第3节 分式的加减
题型1 分式的加减法
▉题型1 分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
1．计算的结果等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解答】解：原式
．
故选：D．
2．下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、，变形正确，符合题意；
B、，变形错误，不符合题意；
C、，变形错误，不符合题意；
D、，变形错误，不符合题意．
故选：A．
3．如果A，B，那么代数式A与B之间的关系是（ ）
A．A+B＝0 B．A＝B C．AB＝0 D．A＝2B
【答案】A
【解答】解：∵B，
又∵A，
∴A+B0．
故选：A．
4．计算的结果是（ ）
A． B．x C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：根据同分母分式的加法运算法则可得：
，
故选：C．
5．计算的结果等于（ ）
A．3 B．x C． D．
【答案】A
【解答】解：
＝3，
故选：A．
6．下列分式中，从左到右变形错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：A.，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：B．
7．定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式 或 ．
【答案】或．
【解答】解：∵与互为“美妙分式”，
∴，
∵，
∴或，
∴3a2+ab＝3（a2﹣b2）或3a2+ab＝﹣3（a2﹣b2），
∵a、b均为不等于0的实数，
∴①a＝﹣3b，②ab＝3b2﹣6a2，
把①代入，
把②代入，
综上：分式的值为或．
故答案为：或．
8．若，则分式 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意可知，，
∴a+b＝3ab，
∴．
故答案为：．
9．计算：x+2 ．
【答案】x+2
【解答】解：x+2．故答案为x+2．
10．若，则 ．
【答案】．
【解答】解：∵，
∴，
，
∴a+b＝2ab，
∴
，
故答案为：．
11．已知，则代数式的值为 ．
【答案】．
【解答】解：∵，
∴y﹣x＝xy，
∴x﹣y＝﹣xy，
∴
．
故答案为：．
12．已知，则的值为 ．
【答案】．
【解答】解：∵，
∴，
，
∴b﹣a＝3ab，
∴
，
故答案为：．
13．化简： ．
【答案】．
【解答】解：
．
故答案为：．
14．化简： a+1 ．
【答案】a+1
【解答】解：原式a+1．
故答案为：a+1．
15．计算的结果为 ．
【答案】．
【解答】解：原式，
故答案为：．
16．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形．我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将分式分解：．（1）将分式分解的结果为 ， ；
（2）若可以分式分解为（其中m、p、q是常数）．则p＝ 1 ，q＝ 3 ；
（3）当x＞1时．判断与的大小关系，并证明．
【答案】（1）；
（2）1，3；
（3），证明见解析．
【解答】解：（1）
故答案为：；
（2）∵（x﹣1）（2x﹣1）
＝2x2﹣x﹣2x+1
＝2x2﹣3x+1，
∵可以分式分解为（其中m、p、q是常数），
∴（x﹣1）（2x﹣1）＝mx2﹣3x+1，
∴m＝2，
∴
，
∴p＝1，q＝3，
故答案为：1，3；
（3），证明如下：
，
∵x＞1，
x2＞1，
∴3x2＞3，
∴x﹣1＞0，3x2﹣1＞2，
∴，
∴．
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
18．定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”．
例如：，我们称是的“3阶差分式”．
解答下列问题：
（1）分式是分式的“ 1 阶差分式”．
（2）分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵，
∴分式是分式的“1阶差分式”，
故答案为：1；
（2）∵A是分式的“2阶差分式”，
∴，
∵A的值为正整数，
∴3﹣x＝1或2或3或6，
解得：x＝2或1或0或﹣3，
∵x取正整数，
∴x＝2或1，
∴当x＝2时，；
当x＝1时，，
∴A的值为6或3．
19．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．阅读理解题．
我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”．
（2）已知分式，，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，x为整数，且M的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值．
【答案】（1）C不是D的“雅中式”，理由见解析；
（2）E＝3x+9，x的值为：0，2，4，6．
【解答】解：（1）C不是D的“雅中式”，理由如下，
C﹣D
＝﹣1，
∴C不是D的“雅中式”；
（2）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，
∴M﹣N＝1，
∴1，
E﹣3x﹣x2＝9﹣x2，
∴E＝3x+9，
∴M．
∵M的值也为整数，且分式有意义，
故3﹣x＝±1或3﹣x＝±3，
∴x的值为：0，2，4，6．
21．化简与计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）1；
（4）．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
＝1；
（4）原式（x﹣1）
．
22．阅读材料：
在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，
如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题：
（1）将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：
① ；② ；
（2）利用分离常数法，求分式的最大值．
（3）已知：P＝x+2，Q，设，若x，y均为非零整数，求xy的值．
【答案】（1），；（2）3；（3）18或12．
【解答】解：（1）将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：
①；
②．
故答案为：，；
（2），
∵x2≥0，当x＝0时，分式中分母不为零，有意义，且分式值最大，
当x＞0时，分母的值越大，分式的值越小，
∴当x＝0时，，
即当x＝0时，分式有最大值，最大值为3．
（3）∵，P＝x+2，，
∴
，
∵x、y均为非零整数，
∴当x＝﹣3时，y＝﹣6，此时xy＝18，
当x＝﹣6时，y＝﹣2，此时xy＝12，
当x＝﹣18时，y＝﹣1，此时xy＝18，
综上所述，xy的值为18或12．
