第11章第3节 二次根式的加减
题型1 同类二次根式 题型2 二次根式的加减法
题型3 二次根式的混合运算
▉题型1 同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
1．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
5．若最简二次根式与可以合并，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．10
6．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
7．如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（ ）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝1 C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2
8．下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
▉题型2 二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
9．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知（m，n为两个连续奇数，0＜m＜n，q＝mn），则下列对p的表述中正确的是（ ）
A．总是奇数
B．总是偶数
C．总是无理数
D．可能是有理数可能是无理数
11．若，则N的值为 ．
12．若，则a+b的值为 ．
13．读材料：我们规定，若a+b＝﹣1，则称a与b是关于﹣1的平衡数，若与m是关于﹣1的平衡数，则m＝ ．
14．综合与实践
【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若a+b＝2，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与﹣1是关于1的平衡数．
【思考尝试】
（1）4与 是关于1的平衡数；与 是关于1的平衡数；
【实践探究】
（2）m与n是关于1的平衡数，同时，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，求m与n的值；
【拓展延伸】
（3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．
15．计算：．
16．计算：．
▉题型3 二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．下列计算正确的是（ ）
A． B．33 C． D．2
18．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明和小丽 B．小丽和小红
C．小红和小亮 D．小丽和小亮
20．下列运算正确的是（ ）
A． B．2 C． D．2
21．下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
23．下列计算结果正确的是（ ）
A．5 B．
C．2 D．431
24．估算的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
25．计算：
（1）；
（2）．第11章第3节 二次根式的加减
题型1 同类二次根式 题型2 二次根式的加减法
题型3 二次根式的混合运算
▉题型1 同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
1．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、3，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、2，与是同类二次根式，符合题意；
C、与不是同类二次根式，不符合题意；
D、3，与不是同类二次根式，不符合题意．
故选：B．
2．下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【解答】解：A、，与3不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C、，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意；
D、，，所以和不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，
，
，
，
故选：D．
4．下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【解答】解：A、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、，与是同类二次根式，故此选项符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．若最简二次根式与可以合并，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．10
【答案】B
【解答】解：∵最简二次根式与2可以合并，
∴最简二次根式与是同类二次根式，
∴m＝3．
故选：B．
6．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，它不能与合并，则A不符合题意，
2，它不能与合并，则B不符合题意，
，它不能与合并，则C不符合题意，
3，它能与合并，则D符合题意，
故选：D．
7．如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（ ）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝1 C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2
【答案】D
【解答】解：根据题意得b﹣a＝2，3b＝2b﹣a+2，
解得a＝0，b＝2．
故选：D．
8．下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】A
【解答】解：A、，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意；
B、ab，所以与不是同类二次根式，故此选不项符合题意；
C、2a，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、，ab，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
▉题型2 二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
9．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、与不能合并，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
10．已知（m，n为两个连续奇数，0＜m＜n，q＝mn），则下列对p的表述中正确的是（ ）
A．总是奇数
B．总是偶数
C．总是无理数
D．可能是有理数可能是无理数
【答案】B
【解答】解：由条件可知n＝m+2，
∴
＝m+2+m+2026
＝2m+2028，
由条件可知p＝2m+2028为偶数，
故选：B．
11．若，则N的值为 54 ．
【答案】54
【解答】解：∵，
∴23，
即N＝54，
故答案为：54．
12．若，则a+b的值为 11 ．
【答案】11．
【解答】解：∵33×265，
∴a＝6，b＝5，
∴a+b＝6+5＝11，
故答案为：11．
13．读材料：我们规定，若a+b＝﹣1，则称a与b是关于﹣1的平衡数，若与m是关于﹣1的平衡数，则m＝ ．
【答案】
【解答】解：由题意，得：．
故答案为：．
14．综合与实践
【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若a+b＝2，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与﹣1是关于1的平衡数．
【思考尝试】
（1）4与 ﹣2 是关于1的平衡数；与 ﹣3 是关于1的平衡数；
【实践探究】
（2）m与n是关于1的平衡数，同时，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，求m与n的值；
【拓展延伸】
（3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得，4+（﹣2）＝2，5（﹣3）＝2，
∴4与﹣2是关于1的平衡数，5与﹣3是关于1的平衡数；
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）∵m与n是关于1的平衡数，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，
∴，
解得；
（3）不是，
∵（m）×（1）＝mm3，
又∵（m）×（1）＝﹣5+3，
∴mm3＝﹣5+3，
∴mm＝﹣2+2，
即 m（1）＝﹣2（1），
∴m＝﹣2，
∴（m）+（5）＝（﹣2）+（5）＝3，
∴（﹣2）与（5）不是关于1的平衡数．
15．计算：．
【答案】．
【解答】解：
．
16．计算：．
【答案】．
【解答】解：原式
．
▉题型3 二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．下列计算正确的是（ ）
A． B．33 C． D．2
【答案】C
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意．
B、原式＝2，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：C．
18．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意．
故选：C．
19．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明和小丽 B．小丽和小红
C．小红和小亮 D．小丽和小亮
【答案】B
【解答】解：因为，
所以小明没有出现错误．
因为，
所以小丽出现错误．
因为，
所以小红出现错误．
因为，
所以小亮没有出现错误．
故选：B．
20．下列运算正确的是（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】D
【解答】解：A、无法合并，故此选项错误；
B、3，故此选项错误；
C、 ，故此选项错误；
D、原式＝2，正确．
故选：D．
21．下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意，
故选：C．
22．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A．2，故本选项不符合题意；
B．和不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．（）2＝2，故本选项符合题意；
故选：D．
23．下列计算结果正确的是（ ）
A．5 B．
C．2 D．431
【答案】C
【解答】解：A．5，故此选项不合题意；
B．无法合并，故此选项不合题意；
C．2，故此选项符合题意；
D．43，故此选项不合题意；
故选：C．
24．估算的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】C
【解答】解：原式＝3×（2）
＝3
，
∵36＜45＜49，
∴67，
即原式的值在6和7之间，
故选：C．
25．计算：
（1）；
（2）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝364
；
（2）原式＝3﹣2
＝1+2．
