第7章 7.1 不等式及其基本性质
题型1 不等式的定义 题型2 不等式的性质
题型3 不等式的解集 题型4 在数轴上表示不等式的解集
▉题型1 不等式的定义
【知识点的认识】
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
1．下列各式中，是不等式的是（ ）
A．x＝3 B．x﹣1 C．x+y＝1 D．4x+5＞0
2．下面给出的5个式子：
①3＞0；
②4x+y＜2；
③2x＝3；
④x﹣1；
⑤x﹣2≥3．
其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
4．一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式 ．
5．a与2的差不大于0，用不等式表示为 ．
6．“x与y的2倍的和是正数”用不等式可表示为 ．
7．某饮料瓶上有这样的字样，保质期18个月．如果用x（单位：月）表示保质期，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为 ．
▉题型2 不等式的性质
【知识点的认识】
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
8．如果a＜b，那么下列不等式正确的是（ ）
A．﹣2+a＜﹣2+b B．﹣2a＜﹣2b C． D．a2＞b2
9．已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．2a﹣1＜2b﹣1
10．若x＜y，则下列结论成立的是（ ）
A．x+2＞y+2 B．﹣2x＞﹣2y C．3x＞3y D．﹣1+x＞﹣1+y
11．已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x+5＜y﹣5 B．﹣2x＜﹣2y C．a2x2＜a2y2 D．
12．若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）
A．a+1＞b+1 B． C．3a﹣1＞3b﹣1 D．1﹣a＞1﹣b
13．已知a≥b，则一定有﹣2025a□﹣2025b，“ ”中应填的符号是（ ）
A．≤ B．≥ C．＜ D．＞
14．若x＞y，且mx＜my，则m的值可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
15．根据不等式的性质，下列变形中正确的是（ ）
A．由a＜b，得﹣3a＜﹣3b
B．由，得a＜2
C．由a（c2+1）＞b（c2+1），得a＞b
D．由a＞b，得a+c＜b+c
16．由x＜y得到ax≥ay的条件是（ ）
A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0
17．下列变形不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a﹣c＞b﹣c，则a＞b
C．若，则a＞b D．若a＞b，则ac2＞bc2
18．把方程变形为x＝6的依据是（ ）
A．不等式的基本性质1 B．等式的基本性质1
C．等式的基本性质2 D．分数的基本性质
19．若m＞n，则﹣3m ﹣3n（填“＞”或“＜”）．
20．根据等式和不等式的性质，可以得到：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b．若a﹣b＜0，则a＜b；这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．
（1）已知A＝5m2﹣4（m），B＝7（m2﹣m）+3，请运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小；
（2）比较3a+2b与2a+3b的大小．
21．阅读下面的解题过程，再解题．
已知a＞b，试比较﹣2024a+1与﹣2024b+1的大小．
解：因为a＞b①，
所以﹣2024a＞﹣2024b②，
所以﹣2024a+1＞﹣2024b+1③．
问：
（1）上述解题过程中，从第 步开始出现错误；
（2）错误的原因 ．
（3）请写出正确的解题过程．
▉题型3 不等式的解集
【知识点的认识】
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
22．若不等式“x■3”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ）
A．≤ B．＜ C．≥ D．＞
23．若不等式组有解，则a的取值范围为（ ）
A．a＞6 B．a≤6 C．a＜6 D．a≥6
24．下面各数中，是不等式x≥﹣3的解的是（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣1
25．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（ ）
A．x B．x C．x D．x
26．关于x的不等式﹣2x+a≥2的解集如图所示，a的值是（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4
27．如果不等式（a+1）x＜a+1的解集为x＞1，那么a必须满足 ．
▉题型4 在数轴上表示不等式的解集
【知识点的认识】
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
28．不等式3x﹣2＞4的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
29．下列不等式中，与﹣x+1＞0组成的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1
30．如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．x≤3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2≤x＜3
31．若某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）
A．1＜x＜2 B．1＜x≤2 C．x＜1 D．x≥2
32．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：a▲b＝3a﹣b．已知关于x的不等式x▲k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ．
33．如图，数轴上表示关于x的不等式的解集为 ．
34．关于x的不等式2x﹣a≤﹣3的解集如图所示，则a的值是 ．
35．综合与实践
我们知道|x|的几何意义是在数轴上x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上x1与x2对应的点之间的距离．
例1：解方程：|x|＝2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．
例2：解不等式：|x﹣1|＞2．在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图1），因为在数轴上与数1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3．因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．
例3：解方程：|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上与数1和数﹣2对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上数1和数﹣2对应的点的距离为3（如图2），满足方程的x对应的点在数1的右边或数﹣2的左边．若x对应的点在数1的右边，可得x＝2；若x对应的点在数﹣2的左边，可得x＝﹣3，因此方程|x﹣1|+|x+2|＝5的解是x＝2或x＝﹣3．
参考阅读材料，解答下列问题．
（1）方程|x﹣3|＝4的解为 ．
（2）解不等式：|x﹣3|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+5|≥11．
36．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程．
对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；
对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3而大于3的绝对值是是大于3的，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3．
（1）不等式|2x|＜5的解集为 ．
（2）不等式2 |3x﹣1|＞10的解集为 或 ．
（3）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足|x﹣2y|≤10其中m是非负整数，求m的值．第7章 7.1 不等式及其基本性质
题型1 不等式的定义 题型2 不等式的性质
题型3 不等式的解集 题型4 在数轴上表示不等式的解集
▉题型1 不等式的定义
【知识点的认识】
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
1．下列各式中，是不等式的是（ ）
A．x＝3 B．x﹣1 C．x+y＝1 D．4x+5＞0
【答案】D
【解答】解：A、x＝3，是等式，故A不符合题意；
B、x﹣1是代数式，不是不等式，故B不符合题意；
C、x+y＝1，是等式，故C不符合题意；
D、4x+5＞0，是不等式，故D，符合题意；
故选：D．
2．下面给出的5个式子：
①3＞0；
②4x+y＜2；
③2x＝3；
④x﹣1；
⑤x﹣2≥3．
其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解：①3＞0是不等式、②4x+y＜2是不等式、③2x＝3是等式、④x﹣1是代数式、⑤x﹣2≥3是不等式，共有3个不等式．
故选：B．
3．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
【答案】B
【解答】解：根据≥的含义，“每100克内含钙≥150毫克”，就是“每100克内含钙不低于150毫克”，
故选：B．
4．一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式 2m﹣n≥5 ．
【答案】2m﹣n≥5．
【解答】解：由题意得：2m﹣n≥5，
故答案为：2m﹣n≥5．
5．a与2的差不大于0，用不等式表示为 a﹣2≤0 ．
【答案】a﹣2≤0
【解答】解：由题意，用不等式表示为a﹣2≤0，
故答案为：a﹣2≤0．
6．“x与y的2倍的和是正数”用不等式可表示为 x+2y＞0 ．
【答案】x+2y＞0
【解答】解：依题意得：x+2y＞0．
故答案为：x+2y＞0．
7．某饮料瓶上有这样的字样，保质期18个月．如果用x（单位：月）表示保质期，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为 0≤x≤18 ．
【答案】0≤x≤18
【解答】解：一般饮料和食品应在保质期内，即不超过保质期的时间内食用，
那么该饮料的保质期可以用不等式表示为：0≤x≤18．
故答案为：0≤x≤18．
▉题型2 不等式的性质
【知识点的认识】
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
8．如果a＜b，那么下列不等式正确的是（ ）
A．﹣2+a＜﹣2+b B．﹣2a＜﹣2b C． D．a2＞b2
【答案】A
【解答】解：A、∵a＜b，∴﹣2+a＜﹣2+b，故A选项正确；
B、∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，故B选项错误；
C、∵a＜b，∴，故C选项错误；
D、由a＜b判断不出a2和b2的大小关系，故D选项错误．
故选：A．
9．已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．2a﹣1＜2b﹣1
【答案】B
【解答】解：∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
故A不符合题意；
∵a＞b，
∴，
故B符合题意；
当c＝0时，ac2＝bc2，
故C不符合题意；
∵a＞b，
∴2a＞2b，
∴2a﹣1＞2b﹣1，
故D不符合题意，
故选：B．
10．若x＜y，则下列结论成立的是（ ）
A．x+2＞y+2 B．﹣2x＞﹣2y C．3x＞3y D．﹣1+x＞﹣1+y
【答案】B
【解答】解：∵x＜y，
∴根据不等式的性质1可得x+2＞y+2，
根据不等式的性质3可得﹣2x＞﹣2y，
根据不等式的性质2可得3x＜3y，
根据不等式的性质1可得﹣1+x＜﹣1+y，
∴选项A，C，D不符合题意，选项B不符合题意，
故选：B．
11．已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x+5＜y﹣5 B．﹣2x＜﹣2y C．a2x2＜a2y2 D．
【答案】D
【解答】解：∵x＜y，
∴x+5＜y+5，但是x+5＜y﹣5不一定成立，x+5也有可能大于或等于y﹣5，
∴选项A不符合题意；
∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，
∴选项B不符合题意；
∵x＜y时，a2x2＜a2y2不一定成立，例如a＝0时，a2x2＝a2y2，
∴选项C不符合题意；
∵x＜y，
∴，
∴选项D符合题意．
故选：D．
12．若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）
A．a+1＞b+1 B． C．3a﹣1＞3b﹣1 D．1﹣a＞1﹣b
【答案】D
【解答】解：A、两边都加1，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都除以﹣3，不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、两边都乘3，不等号的方向不变，两边都减，不等号的方向不变，故C不符合题意；
D、两边都乘﹣1，不等号的方向改变，故D符合题意；
故选：D．
13．已知a≥b，则一定有﹣2025a□﹣2025b，“ ”中应填的符号是（ ）
A．≤ B．≥ C．＜ D．＞
【答案】A
【解答】解：根据不等式的性质，a≥b，﹣2025＜0，
∴﹣2025a≤﹣2025b，即“ ”中应填的符号是≤，
故选：A．
14．若x＞y，且mx＜my，则m的值可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：∵x＞y，且mx＜my，
∴m＜0，
故选：A．
15．根据不等式的性质，下列变形中正确的是（ ）
A．由a＜b，得﹣3a＜﹣3b
B．由，得a＜2
C．由a（c2+1）＞b（c2+1），得a＞b
D．由a＞b，得a+c＜b+c
【答案】C
【解答】解：根据不等式的基本性质逐项分析判断如下：
A．由a＜b，两边同乘﹣3时，不等号方向应改变，正确变形为﹣3a＞﹣3b，故A错误，不符合题意；
B．由，两边同乘2得a＞4，而非a＜2，故B错误，不符合题意；
C．由a（c2+1）＞b（c2+1），因c2+1＞0，两边同除以c2+1后不等号方向不变，得a＞b，故C正确，符合题意；
D．由a＞b，两边同加c，不等号方向不变，应为a+c＞b+c，故D错误，不符合题意．
故选：C．
16．由x＜y得到ax≥ay的条件是（ ）
A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0
【答案】D
【解答】解：根据不等式的性质3，由x＜y得到ax≥ay的条件是a≤0．
故选：D．
17．下列变形不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a﹣c＞b﹣c，则a＞b
C．若，则a＞b D．若a＞b，则ac2＞bc2
【答案】D
【解答】解：A、若a＞b，则a+c＞b+c，计算正确，故选项不符合题意；
B、若a﹣c＞b﹣c，则a＞b，计算正确，故选项不符合题意；
C、若，则a＞b，计算正确，故选项不符合题意；
D、若a＞b，则ac2＞bc2，当c＝0时，不成立，故选项符合题意；
故选：D．
18．把方程变形为x＝6的依据是（ ）
A．不等式的基本性质1 B．等式的基本性质1
C．等式的基本性质2 D．分数的基本性质
【答案】C
【解答】解：将方程的两边同时乘以3，可变形为x＝6，
∴的依据是把方程变形为x＝6的依据是等式的基本性质2，
故选：C．
19．若m＞n，则﹣3m ＜ ﹣3n（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜．
【解答】解：∵m＞n，
∴﹣3m＜﹣3n，
故答案为：＜．
20．根据等式和不等式的性质，可以得到：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b．若a﹣b＜0，则a＜b；这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．
（1）已知A＝5m2﹣4（m），B＝7（m2﹣m）+3，请运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小；
（2）比较3a+2b与2a+3b的大小．
【答案】（1）A＜B；
（2）当a＞b，即a﹣b＞0，有3a+2b＞2a+3b，
当a＝b，即a﹣b＝0，有3a+2b＝2a+3b，
当a＜b，则a﹣b＜0，有3a+2b＜2a+3b．
【解答】解：（1）∵A＝5m2﹣4（m）＝5m2﹣7m+2，B＝7（m2﹣m）+3＝7m2﹣7m+3，
∴A﹣B＝（5m2﹣7m+2）﹣（7m2﹣7m+3）
＝5m2﹣7m+2﹣7m2+7m﹣3
＝﹣2m2﹣1
＝﹣（2m2+1）＜0，
∴A＜B；
（2）（3a+2b）﹣（2a+3b）
＝3a+2b﹣2a﹣3b
＝a﹣b，
当a＞b，即a﹣b＞0，有3a+2b＞2a+3b，
当a＝b，即a﹣b＝0，有3a+2b＝2a+3b，
当a＜b，则a﹣b＜0，有3a+2b＜2a+3b．
21．阅读下面的解题过程，再解题．
已知a＞b，试比较﹣2024a+1与﹣2024b+1的大小．
解：因为a＞b①，
所以﹣2024a＞﹣2024b②，
所以﹣2024a+1＞﹣2024b+1③．
问：
（1）上述解题过程中，从第 ② 步开始出现错误；
（2）错误的原因 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变 ．
（3）请写出正确的解题过程．
【答案】（1）②；
（2）不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
（3）见解析．
【解答】解：（1）上述解题过程中，从第②步开始出现错误，
故答案为：②；
（2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
故答案为：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
（3）∵a＞b，
∴﹣2024a＜﹣2024b，
∴﹣2024a+1＜﹣2024b+1；
▉题型3 不等式的解集
【知识点的认识】
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
22．若不等式“x■3”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ）
A．≤ B．＜ C．≥ D．＞
【答案】A
【解答】解：“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：≤，
故选：A．
23．若不等式组有解，则a的取值范围为（ ）
A．a＞6 B．a≤6 C．a＜6 D．a≥6
【答案】C
【解答】解：∵不等式组有解，
∴a＜6，
故选：C．
24．下面各数中，是不等式x≥﹣3的解的是（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣1
【答案】D
【解答】解：在﹣6，﹣5，﹣4，﹣1中，只有﹣1≥﹣3．
故选：D．
25．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（ ）
A．x B．x C．x D．x
【答案】C
【解答】解：∵mx﹣n＞0，
∴mx＞n，
∵关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，
∴m＜0，，
∴m＝3n，n＜0，
∴n﹣m＝﹣2n，m+n＝4n，
∴关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是x，
故选：C．
26．关于x的不等式﹣2x+a≥2的解集如图所示，a的值是（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【答案】A
【解答】解：∵﹣2x+a≥2，
∴x，
∵x≤﹣1，
∴a＝0．
故选：A．
27．如果不等式（a+1）x＜a+1的解集为x＞1，那么a必须满足a＜﹣1 ．
【答案】a＜﹣1
【解答】解：由x＞1可知a+1＜0，可得a＜﹣1．
▉题型4 在数轴上表示不等式的解集
【知识点的认识】
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
28．不等式3x﹣2＞4的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：不等式移项得：3x＞6，
解得：x＞2，
表示在数轴上得：，
故选：B．
29．下列不等式中，与﹣x+1＞0组成的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1
【答案】D
【解答】解：由不等式﹣x+1＞0得：x＜1，
根据数轴可知，这个不等式是x≥﹣1，
故选：D．
30．如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．x≤3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2≤x＜3
【答案】D
【解答】解：根据数轴可知﹣2≤x＜3，
∴不等式的解集为﹣2≤x＜3，
故选：D．
31．若某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）
A．1＜x＜2 B．1＜x≤2 C．x＜1 D．x≥2
【答案】D
【解答】解：根据题意可得，
这个不等式组的解集为x≥2．
故选：D．
32．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：a▲b＝3a﹣b．已知关于x的不等式x▲k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ﹣5 ．
【答案】﹣5
【解答】解：由新定义运算的定义可知，关于x的不等式x▲k≥2，即3x﹣k≥2，
解得x，
由在数轴上表示的不等式解集可知，这个不等式的解集为x≥﹣1，
所以1，
解得k＝﹣5，
故答案为：﹣5．
33．如图，数轴上表示关于x的不等式的解集为 x≤2 ．
【答案】x≤2．
【解答】解：根据空心即为不取等号，在该点的左边即为小于该数可得：
解集是x≤2，
故答案为：x≤2．
34．关于x的不等式2x﹣a≤﹣3的解集如图所示，则a的值是 1 ．
【答案】1
【解答】解：∵2x﹣a≤﹣3，
∴x，
∵x≤﹣1，
∴a＝1．
故答案为：1．
35．综合与实践
我们知道|x|的几何意义是在数轴上x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上x1与x2对应的点之间的距离．
例1：解方程：|x|＝2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．
例2：解不等式：|x﹣1|＞2．在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图1），因为在数轴上与数1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3．因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．
例3：解方程：|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上与数1和数﹣2对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上数1和数﹣2对应的点的距离为3（如图2），满足方程的x对应的点在数1的右边或数﹣2的左边．若x对应的点在数1的右边，可得x＝2；若x对应的点在数﹣2的左边，可得x＝﹣3，因此方程|x﹣1|+|x+2|＝5的解是x＝2或x＝﹣3．
参考阅读材料，解答下列问题．
（1）方程|x﹣3|＝4的解为 x＝﹣1或x＝7 ．
（2）解不等式：|x﹣3|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+5|≥11．
【答案】（1）x＝﹣1或x＝7；
（2）2≤x≤4；
（3）x≥5或x≤﹣6．
【解答】解：（1）依题意，|x﹣3|＝4表示在数轴上到3对应的点的距离等于4的点对应的数为﹣1或7，
∴方程|x﹣3|＝4的解为x＝﹣1或x＝7；
（2）在数轴上找出|x﹣3|＝1的解．
∵在数轴上与数3对应的点的距离等于1的点对应的数为2或4，
∴不等式|x﹣3|≤1的解集为2≤x≤4．
（3）在数轴上找出|x﹣4|+|x+5|＝11的解．
由绝对值的几何意义知，
该方程就是求在数轴上与数4和数﹣5对应的点的距离之和等于11的点对应的x的值．
∵在数轴上数4和数﹣5对应的点的距离为9，
∴满足方程的x对应的点在数4的右边或数﹣5的左边．
若x对应的点在数4的右边，可得x＝5；
若x对应的点在数﹣5的左边，可得x＝﹣6，
∴方程|x﹣4|+|x+5|＝11的解是x＝5或x＝﹣6，
∴不等式|x﹣4|+|x+5|≥11的解集为x≥5或x≤﹣6．
36．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程．
对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；
对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3而大于3的绝对值是是大于3的，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3．
（1）不等式|2x|＜5的解集为 ．
（2）不等式2 |3x﹣1|＞10的解集为 x＞2或 ．
（3）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足|x﹣2y|≤10其中m是非负整数，求m的值．
【答案】（1）；
（2）x＞2或；
（3）0，1，2．
【解答】解：（1）∵|2x|＜5，
∴﹣5＜2x＜5，
即，
∴不等式|2x|＜5的解集为：，
故答案为：．
（2）∵2 |3x﹣1|＞10
∴|3x﹣1|＞5，
∴3x﹣1＞5或3x﹣1＜﹣5，
由3x﹣1＞5，解得：x＞2，
由3x﹣1＜﹣5，解得：，
∴不等式2 |3x﹣1|＞10的解集为：x＞2或．
故答案为：x＞2或．
（2）对于方程组
①×4+②，得：9x＝9m﹣18，解得x＝m﹣2，
将x＝m﹣2代入①，得：y＝﹣2m+1，
∴x﹣2y＝m﹣2﹣（﹣2m+1）＝5m﹣4，
∵|x﹣2y|≤10
∴|5m﹣4|≤10，
即﹣10≤5m﹣4≤10，
∴，
又∵m是非负整数，
∴m的值为0，1，2．
