第6章 6.1 平方根、立方根
题型1 平方根 题型2 算术平方根
题型3 非负数的性质：算术平方根 题型4 立方根
▉题型1 平方根
【知识点的认识】
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
1．若m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【答案】D
【解答】解：∵m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，
∴m+4+m﹣2＝0，
解得m＝﹣1，
故选：D．
2．若m与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：∵m与m﹣2是同一个正数的两个平方根，
∴m+m﹣2＝0，
解得m＝1，
故选：C．
3．一个正数的两个不同的平方根是a+3和2a﹣6，则a的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
【答案】A
【解答】解：∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣6，
∴（a+3）+（2a﹣6）＝0，
∴3a﹣3＝0，
解得a＝1．
故选：A．
4．下列各数中，没有平方根的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．48 D．
【答案】A
【解答】解：因为负数没有平方根，
所以﹣3没有平方根．
故选：A．
5．有下列说法：
①﹣3是的平方根；②﹣7是（﹣7）2的算术平方根；③25的平方根是±5；④﹣9的平方根是±3；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0、1．
其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①﹣3是的平方根；故①正确，
②7是（﹣7）2的算术平方根；故②错误，
③25的平方根是±5；正确
④﹣9的平方根是±3；负数没有平方根，故④错误，
⑤0没有算术平方根；错误，
⑥的平方根为；正确，
⑦平方根等于本身的数有0、1．只有0，故错误．
正确的有①③⑥，
故选：C．
6．一个正数的两个平方根分别是2a﹣1和﹣a+3，则这个正数是 25 ．
【答案】25．
【解答】解：由条件可知2a﹣1+（﹣a+3）＝a+2＝0，
解得a＝﹣2，
∴2a﹣1＝2×（﹣2）﹣1＝﹣5，
∴（﹣5）2＝25，
∴这一个正数为25．
7．一个正数的两个不同的平方根为2a+1和a﹣10，则a为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：由题可知，
2a+1+a﹣10＝0，
解得a＝3．
故答案为：3．
8．求x的值：3（x+1）2＝48．
【答案】x＝3或x＝﹣5．
【解答】解：3（x+1）2＝48，
（x+1）2＝16，
x+1＝±4，
x＝3或x＝﹣5．
9．求下列各式中的x：
（1）4x2＝1；
（2）（x﹣1）2﹣27＝0．
【答案】（1）x或x；
（2）x＝1+3或x＝1﹣3．
【解答】解：（1）4x2＝1，
x2，
x＝±±，
故x或x；
（2）（x﹣1）2﹣27＝0，
（x﹣1）2＝27，
x﹣1＝±±3，
x＝1±3，
故x＝1+3或x＝1﹣3．
10．求下列式子中x的值．
（1）x2＝49；
（2）4（x﹣1）2＝169；
【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣7；
（2）．
【解答】解：（1）x2＝49，
，
∴x1＝7，x2＝﹣7；
（2）4（x﹣1）2＝169，
，
，
，
．
▉题型2 算术平方根
【知识点的认识】
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
11．下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的平方根是±2
B．﹣4的算术平方根是﹣2
C．的平方根是±4
D．0的平方根与算术平方根都是0
【答案】D
【解答】解：A．﹣4没有平方根，因此选项A不符合题意；
B．﹣4没有平方根，也没有算术平方根，因此选项B不符合题意；
C.的平方根，即4的平方根，4的平方根为±2，因此选项C不符合题意；
D.0的平方根和算术平方根都是0，因此选项D符合题意；
故选：D．
12．设S1＝1，，，…，，则
的值为（ ）
A． B． C．24 D．23
【答案】C
【解答】解：1+1，1，1，1，…，
，
∴
＝1+11
＝24+1
＝24．
故选：C．
13．一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（ ）
A． B． C．﹣a+1 D．a2+1
【答案】B
【解答】解：一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是，
故选：B．
14．如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（ ）
A． B．9 C．3 D．
【答案】A
【解答】解：第一次输入x＝81，则，是有理数；
第二次输入x＝9，则，是有理数；
第三次输入x＝3，则不是有理数，所以输出y，
故选：A．
15．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250
根据以上规律，若，则（ ）
A．37.9 B．379 C．12 D．120
【答案】A
【解答】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．
∵1440＝14.4×100，
∴，
故选：A．
16．的算术平方根是 3 ．
【答案】3
【解答】解：∵9，
∴的算术平方根是3．
故答案为：3．
17．若，则 14.14 ， 44.72 ．
【答案】14.14，44.72．
【解答】解：1.414×10＝14.14，
4.472×10＝44.72，
故答案为：14.14，44.72．
18．我们经过探索知道1，1，1，…，若已知an＝1，则n （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【答案】n
【解答】解：∵1，1，1，…，
∴以此类推，．
∵an＝1，
∴1．
∴1+1，1，1，…，1．
∴
＝1+1111
＝n+1
＝n．
故答案为：n．
19．已知，则的值为 34.56 ．
【答案】34.56
【解答】解：10×3.456＝34.56．
故答案为：34.56．
20．为宣传山西旅游资源，促进旅游业发展，山西某中学课外活动小组制作了精美的山西省景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中．
课题 山西省景点卡片及封皮制作
图示、数据及计算 图示
相关数据及说明 正方形卡片的面积为64cm2，长方形封皮的长与宽的比为2：1，面积为140cm2．
计算结果 ……
【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中．
【解答】解：设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，
依题意，得x 2x＝140，
整理，得x2＝70，解得（负值已舍去），
∵正方形卡片的面积为64cm2，
∴正方形卡片的边长为．
∵，
∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中．
21．小明制作了一张面积为100cm2的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为240cm2．
（1）求长方形信封的长和宽；
（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
【答案】（1）长为，宽为；（2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由见解析．
【解答】（1）解：设长方形信封的长为3xcm，宽为2xcm，
3x 2x＝240，
解得：x＝±2，负值舍去，
∴3x＝3×26，2x＝2×24，
答：长方形信封的长为，宽为；
（2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，
由题意得：面积为100cm2的正方形贺卡的边长是10cm，
∵160＞100，
∴，
∴信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
22．【综合与实践】如图，把两个面积均为18cm2的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片．
（1）大正方形纸片的边长为 6 cm；
（2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为24cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得：大正方形的面积＝18×2＝36（cm2），
∴大正方形纸片的边长6（cm）．
故答案为：6；
（2）沿此大正方形边的方向，能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
∵长方形纸片的长宽之比为4：3，
∴设长方形纸片的长和宽分别是4xcm，3xcm，
∴3x 4x＝24，
∴x2＝2，
∵x＞0，
∴x，
∴长方形纸片的长是4x＝4cm，
∵46，
∴沿此大正方形边的方向，能裁剪出符合要求的长方形纸片．
23．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”， 不是 ．
（2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．
（3）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．
【答案】（1）不是；
（2）4，12；
（3）81．
【解答】（1）解：∵，，，
∵，不是整数，
∴3，12，32不是“和谐组合”；
故答案为：不是；
（2）证明：∵，，，
∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；
（3）解：分三种情况：①当9≤a≤25时，得：a＝0（舍去），
②当a≤9＜25时，，得：（舍去），
③当9＜25≤a时，．得：a＝81．
综上所述，a的值为81．
24．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．
例如：﹣1，﹣4，﹣9这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完类组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【答案】（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）m＝﹣48．
【解答】解：（1）∵12，6，4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”其中有两个数乘积的算术平方根为12，
∴﹣3m＝144或﹣12m＝144，
解得m＝﹣48，m＝﹣12（不符合题意舍去），
又∵12，24，6，
∴m＝﹣48符合题意．
25．小明的爸爸打算用如图一块面积为1600cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为1350cm2的桌面．
（1）求正方形木板的边长；
（2）若要求裁出的桌面的长宽之比为3：2，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．
【答案】（1）40cm；
（2）不能，见解析．
【解答】解：（1）设正方形木板的边长为a（a＞0）cm，则a2＝1600，
∵402＝1600，
∴a＝40，即正边形边长为40cm．
（2）设长方形的长、宽分别为3kcm，2kcm，则：
3k 2k＝1350，k2＝225，
∴k＝15．
∴3k＝15×3＝45＞40．
∴不能裁出符合要求的长方形．
▉题型3 非负数的性质：算术平方根
【知识点的认识】
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
26．若，则（a+b）2025的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2025
【答案】A
【解答】解：由题可知，
a+3＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣3，b＝2，
∴（a+b）2025＝（﹣3+2）2025＝﹣1，
故选：A．
27．已知x，y为实数，且，则x﹣y＝ ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：∵，
∴x+1＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣1，y＝2，
∴x﹣y＝﹣1﹣2＝﹣3，
故答案为：﹣3．
28．若与互为相反数，则ab＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵和互为相反数，
∴0，
∴a+2＝0，0，
∴a＝﹣2，b，
∴ab．
故答案为：．
29．若则|a﹣1|（c﹣3）2＝0，（a+b）c＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：∵|a﹣1|（c﹣3）2＝0，
∴a﹣1＝0，b+2＝0且c﹣3＝0，
则a＝1，b＝﹣2，c＝3，
所以（a+b）c＝（1﹣2）3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
30．已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣1|（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？
【答案】（1）m＝121；
（2）±．
【解答】解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，这两个数互为相反数，
∴2n+1+4﹣3n＝0，
解得：n＝5，
解得：m＝121；
（2）∵|a﹣1|（c﹣n）2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，
∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，
∴a+b+c＝1+0+5＝6，
∴a+b+c的平方根是±．
▉题型4 立方根
【知识点的认识】
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
31．已知0.5981，1.289，2.776，则（ ）
A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981
【答案】A
【解答】解：102.776×10＝27.76．
故选：A．
32．下列各式中，正确的是（ ）
A．4 B．± C．±± D．±4
【答案】C
【解答】解：A、，本选项错误，
B、，本选项错误，
C、±±，本选项正确，
D、4，本选项错误，
故选：C．
33．下列说法中正确的有（ ）
A． B．是5的一个平方根
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、是5的一个平方根，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
34．如图，二阶魔方由8个形状大小完全相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积约为48cm3（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（ ）
A．cm B．3cm C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意得，每个小正方体的体积为48÷8＝6（cm3），
∴每个小正方体的棱长为cm，
故选：A．
35．已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（ ）
A． B． C． D．2024
【答案】C
【解答】解：由于2024÷3＝674…2，每三个相邻的数为一组，2024处在第674组后的第2个数，因此可得，
第2024个数应是．
故选：C．
36．下列说法中正确的是（ ）
A．4的平方根是2
B．平方根是它本身的数只有0
C．﹣8没有立方根
D．立方根是它本身的数只有0和1
【答案】B
【解答】解：A.4的平方根是±2，因此选项A不符合题意；
B．平方根是它本身的数只有0，因此选项B符合题意；
C．﹣8的立方根是﹣2，因此选项C不符合题意；
D．立方根是它本身的数只有0、1或﹣1，因此选项D不符合题意．
故选：B．
37．下列判断错误的是（ ）
A．若，则a＝b B．若，则a＝b
C．若，则a＝b D．若，则a＝b
【答案】D
【解答】解：A、若，则a＝b，说法正确，故本选项错误；
B、若，则a＝b，说法正确，故本选项错误；
C、若，则a＝b，说法正确，故本选项错误；
D、若，则a不一定等于b，例如：，但﹣3≠3，故本选项正确．
故选：D．
38．下列说法中，正确的是（ ）
A．2是﹣4的算术平方根
B．﹣5是（﹣5）2的算术平方根
C．16的平方根是±4
D．27的立方根是±3
【答案】C
【解答】解：A、﹣4没有算术平方根，错误；
B、5是（﹣5）2的算术平方根，错误；
C、16的平方根是±4，正确；
D、27的立方根是3，错误；
故选：C．
39．已知1.147，2.472，0.5325，则的值是（ ）
A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7
【答案】C
【解答】解：1.147×10＝11.47．
故选：C．
40．若一个数的平方根与它的立方根完全相同．则这个数是 0 ．
【答案】0
【解答】解：0的平方根和立方根都是0．
故答案为：0．
41．若，则x+y的立方根是 4 ．
【答案】4．
【解答】解：∵，
∴，
解得：x＝25，y＝39，
∴x+y＝64，
∴x+y的立方根为：4．
故答案为：4．
42．平方根等于本身的是 0 ，算术平方根等于本身的数是 0，1 ，立方根等于本身的数是 0，1，﹣1 ．
【答案】0；0，1；0，1，﹣1
【解答】解：∵02＝0，
∴平方根等于本身的是0；
12＝1，02＝0，
∴算术平方根等于本身的数是1；
∵03＝0，13＝1，（﹣1）3＝﹣1，
∴立方根等于本身的数是0，1，﹣1．
故答案为0；0，1；0，1，﹣1．
43．已知2a+1的平方根是±5，1﹣b的立方根为﹣1．
（1）求a与b的值；
（2）求a+2b的算术平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵2a+1的平方根是±5，
∴2a+1＝25，
解得a＝12，
又∵1﹣b的立方根为﹣1．
∴1﹣b＝﹣1，
解得b＝2，
答：a＝12，b＝2；
（2）当a＝12，b＝2时，
a+2b＝12+4＝16，
∴a+2b的算术平方根为4．
44．已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4．
（1）求a和b的值；
（2）求2a﹣b2+17的立方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得，2x﹣2+6﹣3x＝0，
解得x＝4，
∴2x﹣2＝6，
∴a＝62＝36，
∵a﹣4b的算术平方根是4，
∴a﹣4b＝16，
∴b＝5；
（2）∵2a﹣b2+17＝2×36﹣52+17＝64，
而64的立方根是4，
∴2a﹣b2+17的立方根为4．
45．已知2m﹣1的算术平方根是3，m﹣n﹣9的立方根是﹣2，求m2﹣n2的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵2m﹣1的算术平方根是3，m﹣n﹣9的立方根是﹣2，
∴2m﹣1＝9，m﹣n﹣9＝﹣8，
解得：m＝5，n＝4，
∴m2﹣n2＝9，
∴m2﹣n2的平方根为±3．
46．（1）已知3m+1的平方根是±5，5n﹣m的立方根是3．求m﹣n的平方根；
（2）已知2x﹣4和x﹣6是正数m的平方根，求正数m的值．
【答案】（1）±1；
（2）或64．
【解答】解：（1）由题意得3m+1＝52，5n﹣m＝33，
解得m＝8，n＝7，
∴m﹣n＝8﹣7＝1，
∵1的平方根为±1，
∴m﹣n的平方根为±1；
（2）∵2x﹣4和x﹣6是正数m的平方根，
∴2x﹣4+x﹣6＝0或2x﹣4＝x﹣6，
即或x＝﹣2，
当时，，，
∴；
当x＝﹣2时，2x﹣4＝x﹣6＝﹣8，
∴m＝（﹣8）2＝64；
综上，正数m的值为或64．
47．（1）解不等式组；
（2）若（2x﹣1）3＝﹣8，求x的值．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1），
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：；
（2）（2x﹣1）3＝﹣8，
2x﹣1＝﹣2，
2x＝﹣2+1，
2x＝﹣1，
解得：．
48．解下列方程．
（1）x2＝16；
（2）．
【答案】（1）x＝4或x＝﹣4；
（2）x．
【解答】解：（1）开平方，得x＝4或x＝﹣4；
（2）开立方，得x﹣1，
移项并合并，得x．
49．已知一个正数m的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，a﹣2b的立方根是﹣2．
（1）求a，b，m的值；
（2）求a2﹣b﹣1的算术平方根．
【答案】（1）a＝4，b＝6，m＝4；
（2）3．
【解答】解：（1）因为一个正数m的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，
所以3a﹣14+a﹣2＝0，
解得：a＝4；
∴a﹣2＝4﹣2＝2，
∴m＝22＝4；
因为a﹣2b的立方根是﹣2，
所以a﹣2b＝﹣8，
解得：b＝6．
（2）由上一问结论可知a＝4，b＝6，
则a2﹣b﹣1＝42﹣6﹣1＝9，
∵9的算术平方根为3．
∴a2﹣b﹣1的算术平方根为3．
50．求下列各式中的x：
（1）4x2＝25；
（2）（x+1）3﹣8＝0．
【答案】（1）x＝±；（2）x＝1．
【解答】解：（1）根据题意得x2，
∴x＝±；
（2）根据题意得（x+1）3＝8，
∴x+1＝2，
∴x＝1．
51．解方程：
（1）2x2＝8；
（2）27x3＝64；
（3）3（2x﹣1）2＝27．
【答案】（1）x＝2或x＝﹣2；（2）；（3）x＝2或x＝﹣1．
【解答】解：（1）由2x2＝8，可得x2＝4，
解得：x＝2或x＝﹣2；
（2）由27x3＝64，可得，
解得：；
（3）由3（2x﹣1）2＝27，可得（2x﹣1）2＝9，
2x﹣1＝±3，
解得：x＝2或x＝﹣1．
52．解下列方程：
（1）3（x+1）2＝48；
（2）．
【答案】（1）x＝3或x＝﹣5；
（2）x．
【解答】解：（1）3（x+1）2＝48，
（x+1）2＝16，
x+1＝±4，
x＝3或x＝﹣5；
（2），
，
，
x．
53．已知a﹣1的立方根是﹣2，b是16的算术平方根，求a+2b的平方根．
【答案】±1．
【解答】解：∵a﹣1的立方根是﹣2，b是16的算术平方根．
∴a﹣1＝﹣8，b＝4，
即a＝﹣7，b＝4，
∴a+2b＝﹣7+8＝1，
∴a+2b的平方根是．
54．已知m+1的立方根是﹣2，n﹣4的算术平方根是9．
（1）求m，n的值；
（2）求n﹣m+6的算术平方根．
【答案】（1）m＝﹣9，n＝85；
（2）10．
【解答】解：（1）∵m+1的立方根是﹣2，n﹣4的算术平方根是9，
∴m+1＝（﹣2）3＝﹣8，n﹣4＝92＝81，
∴m＝﹣9，n＝85；
（2）∵m＝﹣9，n＝85，
∴n﹣m+6＝85+9+6＝100，
∴n﹣m+6的算术平方根为．
55．若是a+3b的算术平方根，是1﹣a2的立方根，求的值．
【答案】1．
【解答】解：由题意，可知6﹣2b＝2，2a﹣3＝3，
解得a＝3，b＝2
∴a+3b＝3+3×2＝9，1﹣a2＝1﹣32＝﹣8，
∴，，
∴．
56．已知a+2的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求3a﹣b﹣3的平方根．
【答案】（1）a＝6，b＝﹣1；（2）±4．
【解答】解：（1）∵a+2的立方根是2，
∴a+2＝8，
解得：a＝6，
∵3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴18+b﹣1＝16，
解得：b＝﹣1，
∴a＝6，b＝﹣1；
（2）3a﹣b﹣3＝3×6﹣（﹣1）﹣3＝16，
，
∴3a﹣b+c的平方根为±4．
57．已知实数x、y满足，求2x的立方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由非负数的性质可知：2x﹣16＝0，x﹣2y+4＝0，
解得：x＝8，y＝6．
∴2xy＝2×86＝8．
∴2x的立方根是2．
58．已知2a一1的平方根是±5，3a+b﹣1的立方根是4，求a+2b+10的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵2a一1的平方根是±5，3a+b﹣1的立方根是4，
∴2a﹣1＝25，3a+b﹣1＝64．
解得：a＝13，b＝26．
∴a+2b+10＝13+52+10＝75．
∴a+2b+10的平方根为±5．第6章 6.1 平方根、立方根
题型1 平方根 题型2 算术平方根
题型3 非负数的性质：算术平方根 题型4 立方根
▉题型1 平方根
【知识点的认识】
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
1．若m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
2．若m与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．一个正数的两个不同的平方根是a+3和2a﹣6，则a的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
4．下列各数中，没有平方根的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．48 D．
5．有下列说法：
①﹣3是的平方根；②﹣7是（﹣7）2的算术平方根；③25的平方根是±5；④﹣9的平方根是±3；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0、1．
其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．一个正数的两个平方根分别是2a﹣1和﹣a+3，则这个正数是 ．
7．一个正数的两个不同的平方根为2a+1和a﹣10，则a为 ．
8．求x的值：3（x+1）2＝48．
9．求下列各式中的x：
（1）4x2＝1；
（2）（x﹣1）2﹣27＝0．
10．求下列式子中x的值．
（1）x2＝49；
（2）4（x﹣1）2＝169；
▉题型2 算术平方根
【知识点的认识】
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
11．下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的平方根是±2
B．﹣4的算术平方根是﹣2
C．的平方根是±4
D．0的平方根与算术平方根都是0
12．设S1＝1，，，…，，则
的值为（ ）
A． B． C．24 D．23
13．一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（ ）
A． B． C．﹣a+1 D．a2+1
14．如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（ ）
A． B．9 C．3 D．
15．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250
根据以上规律，若，则（ ）
A．37.9 B．379 C．12 D．120
16．的算术平方根是 ．
17．若，则 ， ．
18．我们经过探索知道1，1，1，…，若已知an＝1，则n （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
19．已知，则的值为 ．
20．为宣传山西旅游资源，促进旅游业发展，山西某中学课外活动小组制作了精美的山西省景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中．
课题 山西省景点卡片及封皮制作
图示、数据及计算 图示
相关数据及说明 正方形卡片的面积为64cm2，长方形封皮的长与宽的比为2：1，面积为140cm2．
计算结果 ……
21．小明制作了一张面积为100cm2的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为240cm2．
（1）求长方形信封的长和宽；
（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
22．【综合与实践】如图，把两个面积均为18cm2的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片．
（1）大正方形纸片的边长为 cm；
（2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为24cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由．
23．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”， ．
（2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．
（3）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．
24．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．
例如：﹣1，﹣4，﹣9这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完类组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
25．小明的爸爸打算用如图一块面积为1600cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为1350cm2的桌面．
（1）求正方形木板的边长；
（2）若要求裁出的桌面的长宽之比为3：2，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．
▉题型3 非负数的性质：算术平方根
【知识点的认识】
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
26．若，则（a+b）2025的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2025
27．已知x，y为实数，且，则x﹣y＝ ．
28．若与互为相反数，则ab＝ ．
29．若则|a﹣1|（c﹣3）2＝0，（a+b）c＝ ．
30．已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣1|（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？
▉题型4 立方根
【知识点的认识】
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
31．已知0.5981，1.289，2.776，则（ ）
A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981
32．下列各式中，正确的是（ ）
A．4 B．± C．±± D．±4
33．下列说法中正确的有（ ）
A． B．是5的一个平方根
C． D．
34．如图，二阶魔方由8个形状大小完全相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积约为48cm3（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（ ）
A．cm B．3cm C． D．
35．已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（ ）
A． B． C． D．2024
36．下列说法中正确的是（ ）
A．4的平方根是2
B．平方根是它本身的数只有0
C．﹣8没有立方根
D．立方根是它本身的数只有0和1
37．下列判断错误的是（ ）
A．若，则a＝b B．若，则a＝b
C．若，则a＝b D．若，则a＝b
38．下列说法中，正确的是（ ）
A．2是﹣4的算术平方根
B．﹣5是（﹣5）2的算术平方根
C．16的平方根是±4
D．27的立方根是±3
39．已知1.147，2.472，0.5325，则的值是（ ）
A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7
40．若一个数的平方根与它的立方根完全相同．则这个数是 ．
41．若，则x+y的立方根是 ．
42．平方根等于本身的是 ，算术平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身的数是 ．
43．已知2a+1的平方根是±5，1﹣b的立方根为﹣1．
（1）求a与b的值；
（2）求a+2b的算术平方根．
44．已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4．
（1）求a和b的值；
（2）求2a﹣b2+17的立方根．
45．已知2m﹣1的算术平方根是3，m﹣n﹣9的立方根是﹣2，求m2﹣n2的平方根．
46．（1）已知3m+1的平方根是±5，5n﹣m的立方根是3．求m﹣n的平方根；
（2）已知2x﹣4和x﹣6是正数m的平方根，求正数m的值．
47．（1）解不等式组；
（2）若（2x﹣1）3＝﹣8，求x的值．
48．解下列方程．
（1）x2＝16；
（2）．
49．已知一个正数m的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，a﹣2b的立方根是﹣2．
（1）求a，b，m的值；
（2）求a2﹣b﹣1的算术平方根．
50．求下列各式中的x：
（1）4x2＝25；
（2）（x+1）3﹣8＝0．
51．解方程：
（1）2x2＝8；
（2）27x3＝64；
（3）3（2x﹣1）2＝27．
52．解下列方程：
（1）3（x+1）2＝48；
（2）．
53．已知a﹣1的立方根是﹣2，b是16的算术平方根，求a+2b的平方根．
54．已知m+1的立方根是﹣2，n﹣4的算术平方根是9．
（1）求m，n的值；
（2）求n﹣m+6的算术平方根．
55．若是a+3b的算术平方根，是1﹣a2的立方根，求的值．
56．已知a+2的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求3a﹣b﹣3的平方根．
57．已知实数x、y满足，求2x的立方根．
58．已知2a一1的平方根是±5，3a+b﹣1的立方根是4，求a+2b+10的平方根．
