第6章 6.2 无理数和实数
题型1 无理数 题型2 实数
题型3 实数的性质 题型4 实数与数轴
题型5 实数大小比较 题型6 估算无理数的大小
题型7 实数的运算
▉题型1 无理数
【知识点的认识】
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
1．在数，π，，0.3333…中，其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在﹣2，π，四个实数中，是无理数的是（ ）
A．﹣2 B．π C．0 D．
3．下列各数：，3.14，，0.2525525552…（相邻两个2之间5的个数逐次加1），其中无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在，，3.14，，﹣π，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
5．下列实数0，，，﹣2.367，，，，3.1212122 （每两个1之间依次多一个2）中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
▉题型2 实数
【知识点的认识】
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
7．下列说法正确的有（ ）
（1）带根号的数都是无理数；
（2）立方根等于本身的数是0和1；
（3）﹣a一定没有平方根；
（4）实数与数轴上的点是一一对应的；
（5）两个无理数的差还是无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在数，，，，3，14，0.808008，π中，有理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．已知一个正数x的两个不相等的平方根分别是y+2与y﹣2．
（1）求y的值及这个正数x；
（2）若kx+y＝4，求k的值．
▉题型3 实数的性质
【知识点的认识】
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
10．的相反数是（ ）
A． B． C． D．5
11．下列各组数中，互为相反数的组是（ ）
A．﹣2与 B．﹣2和
C．与2 D．|﹣2|和2
12．实数的绝对值是（ ）
A．3 B． C． D．
13．下列说法正确的是（ ）
A．与互为相反数
B．与（）2互为相反数
C．与互为相反数
D．与互为相反数
14．已知互为相反数，则6y﹣4x+3的值是 ．
15．若a、b互为相反数，c为8的立方根，则2a+2b﹣c＝ ．
▉题型4 实数与数轴
【知识点的认识】
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
16．如图，数轴上A，B两点所对应的实数分别是﹣π，1．若线段CB＝2AB，则点C所表示的实数是（ ）
A．π+1 B．﹣2π C．﹣2π﹣1 D．﹣2π﹣2
17．如图，数轴上点A，B表示的数分别是，且B，C两点到点A的距离相等，则点C表示的数是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点C在数轴上，且表示的数为﹣1．若将正方形ABCD绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，数轴上A、B两点所对应的实数分别是﹣1、，若线段AB＝BC，则点C所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
20．在如图所示的数轴上，点A是线段BC的中点，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，已知C，B两点对应的数字分别为3和，且点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A． B．3 C． D．6
22．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（ ）
A．b﹣a B．
C．|a|＝a D．|b|＝b
23．如图，正方形OBCD的面积为3，OA＝OB，则数轴上点A对应的数是 ．
24．如图，周长为14的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为﹣1，CD＝6，若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2023次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 ．
25．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m．
（1）实数m的值为 ；
（2）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且（2c+4）20．请计算的值．
26．已知：|a+2|+（b﹣4）2＝0，c比b大2．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c．
①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数．
②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当t＝ 2或或 时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）．
▉题型5 实数大小比较
【知识点的认识】
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
27．在﹣1，，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．1
28．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．下列四个实数中，最小的实数是（ ）
A．﹣2023 B．0 C．0.999 D．1
30．下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
31．下列实数比较大小正确的个数是（ ）
①
②
③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
32．已知三个数﹣π，﹣3，，它们的大小顺序是（ ）
A．﹣π＜﹣3 B．﹣3＜﹣π C．3＜﹣π D．﹣π3
33．比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”）
34．比较大小：﹣2 ， 1， ．
35．比较下列实数的大小（在空格中填上＞、＜或＝）
① ； ② ； ③ ．
36．阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1） ；
（2）当时，求x的取值范围．
▉题型6 估算无理数的大小
【知识点的认识】
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
37．估计的值更接近（ ）
A．3 B．4 C．9 D．10
38．估算的值（ ）
A．在6和7之间 B．在7和8之间
C．在8和9之间 D．在9和10之间
39．实数m在数轴上对应点的位置如图所示，若实数x满足m＜x＜﹣m，则x的值可以是（ ）
A． B． C． D．
40．如果4与4的小数部分分别是m，n，那么m+n﹣1的值为（ ）
A．7 B．1 C．0 D．﹣1
41．估计的值（ ）
A．在2和3之间 B．在4和5之间
C．在5和6之间 D．在6和7之间
42．m，n是连续的两个整数，若，则m+n的值为 ．
43．已知m为整数，且，则m的值为 ．
44．是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分．类似的，的小数部分可以表示为 ．
45．已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a+b的算术平方根．
46．已知a的平方根是±2，b是27的立方根，c是的整数部分．
（1）求a+b+c的值；
（2）若x是的小数部分，求的平方根．
47．已知2a﹣7和a+4是某正数m的两个平方根，b﹣12的立方根为﹣2，c是的整数部分．
（1）求m的值；
（2）求a+3b+c的平方根．
48．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，并且，c、d是相邻的整数，求4d﹣4c的平方根．
49．已知a，b，c均为实数，6a+34的立方根是4，正数b的平方根分别是3x﹣7与x﹣9，c是的整数部分．求2a+b+c的值？
▉题型7 实数的运算
【知识点的认识】
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
50．有下列说法：①带根号的数是无理数；②不带根号的数一定是有理数；③是17的平方根；④任何数的平方根都有两个；⑤无理数与无理数的和一定是无理数．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
51．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算“*”如下，如，计算：9*7＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
52．如图是一个数值转换机的示意图，当输入的值时，输出的结果为（ ）
A．3 B．5 C．﹣5 D．﹣2
53．用“ ”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝2a2﹣b．
如：2 1＝2×22﹣1＝8﹣1＝7，那么（﹣3） 2＝ ．
54．计算：．
55．计算：．
56．计算：
（1）求下列各式中的x值：
①x2＝16；
②2（x﹣3）3﹣16＝0．
（2）．
57．计算：
（1）；
（2）．
58．计算：．
59．（1）已知一个正数的平方根分别是x+3和x﹣1，求这个正数．
（2）利用平方根求（x+2）2﹣81＝0中x的值：
60．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：
（3﹣i）+（4+3i）＝（3+4）+（﹣1+3）i＝7+2i（1﹣i）×（2+i）＝1×2+i﹣2×i﹣i2＝2+i﹣2i+1＝3﹣i
根据以上信息，完成下列问题
（1）填空：i3＝ i ，i4＝ ；
（2）计算：（1﹣2i）×（4﹣5i）；
（3）计算：i+i2+i3+i4+ +i2023．第6章 6.2 无理数和实数
题型1 无理数 题型2 实数
题型3 实数的性质 题型4 实数与数轴
题型5 实数大小比较 题型6 估算无理数的大小
题型7 实数的运算
▉题型1 无理数
【知识点的认识】
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
1．在数，π，，0.3333…中，其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：无理数有：，π共2个．
故选：B．
2．在﹣2，π，四个实数中，是无理数的是（ ）
A．﹣2 B．π C．0 D．
【答案】B
【解答】解：﹣2是负整数，是有理数；
π是无限不循环小数，是无理数；
0是整数，是有理数；
2，是正整数，是有理数；
故选：B．
3．下列各数：，3.14，，0.2525525552…（相邻两个2之间5的个数逐次加1），其中无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：是有理数，3.14是有理数，是无理数，0.2525525552…（相邻两个2之间5的个数逐次加1）是无理数，
所以无理数有2个，
故选：B．
4．在，，3.14，，﹣π，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【解答】解：，
∴无理数有、﹣π、0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1），共3个，
故选：D．
5．下列实数0，，，﹣2.367，，，，3.1212122 （每两个1之间依次多一个2）中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：6，
在实数0，，，﹣2.367，，，，3.1212122 （每两个1之间依次多一个2）中，是无理数的有，，3.1212122 （每两个1之间依次多一个2），共3个．
故选：C．
6．有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：（1）π是无理数，而不是开方开不尽的数，则命题错误；
（2）无理数就是无限不循环小数，则命题正确；
（3）0是有理数，不是无理数，则命题错误；
（4）正确；
故选：B．
▉题型2 实数
【知识点的认识】
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
7．下列说法正确的有（ ）
（1）带根号的数都是无理数；
（2）立方根等于本身的数是0和1；
（3）﹣a一定没有平方根；
（4）实数与数轴上的点是一一对应的；
（5）两个无理数的差还是无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：（1）无限不循环小数都是无理数，故（1）不符合题意；
（2）立方根等于本身的数是0和1、﹣1故（2）不符合题意；
（3）﹣a可能有平方根，故（3）不符合题意；
（4）实数与数轴上的点是一一对应的，故（4）符合题意；
（5）两个无理数的差可能是无理数、可能是有理数，故（5）不符合题意；
故选：A．
8．在数，，，，3，14，0.808008，π中，有理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解答】解：在数，，，，3，14，0.808008，π中，有理数有，，3，14，0.808008，共5个．
故选：C．
9．已知一个正数x的两个不相等的平方根分别是y+2与y﹣2．
（1）求y的值及这个正数x；
（2）若kx+y＝4，求k的值．
【答案】（1）y的值为0，正数x的值为4；
（2）k的值为1．
【解答】解：（1）（y+2）+（y﹣2）＝0，
∴y＝0；
∴x＝（y+2）2＝22＝4．
答：求y的值为0，正数x的值为4；
（2）∵x＝4，y＝0，
∴kx+y＝4，即4k+0＝4，
解得：k＝1．
▉题型3 实数的性质
【知识点的认识】
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
10．的相反数是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【解答】解：的相反数是．
故选：C．
11．下列各组数中，互为相反数的组是（ ）
A．﹣2与 B．﹣2和
C．与2 D．|﹣2|和2
【答案】A
【解答】解：A、﹣2与2，符合相反数的定义，故选项正确；
B、﹣2与2不互为相反数，故选项错误；
C、与2不互为相反数，故选项错误；
D、|﹣2|＝2，2与2不互为相反数，故选项错误．
故选：A．
12．实数的绝对值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：实数的绝对值是：．
故选：B．
13．下列说法正确的是（ ）
A．与互为相反数
B．与（）2互为相反数
C．与互为相反数
D．与互为相反数
【答案】D
【解答】解：A、与相等，不一定互为相反数，故本选项错误；
B、与（）2相等，不一定互为相反数，故本选项错误；
C、与相等，不一定互为相反数，故本选项错误；
D、与互为相反数正确，故本选项正确．
故选：D．
14．已知互为相反数，则6y﹣4x+3的值是 5 ．
【答案】5．
【解答】解：∵与互为相反数，
∴1﹣2x和3y﹣2互为相反数，
∴3y﹣2+1﹣2x＝0，
∴3y﹣2x＝1，
∴6y﹣4x+3＝2（3y﹣2x）+3＝2+3＝5；
故答案为：5．
15．若a、b互为相反数，c为8的立方根，则2a+2b﹣c＝ ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：∵a、b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c为8的立方根，
∴c＝2，
则2a+2b﹣c
＝2（a+b）﹣c
＝2×0﹣2
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
▉题型4 实数与数轴
【知识点的认识】
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
16．如图，数轴上A，B两点所对应的实数分别是﹣π，1．若线段CB＝2AB，则点C所表示的实数是（ ）
A．π+1 B．﹣2π C．﹣2π﹣1 D．﹣2π﹣2
【答案】C
【解答】解：∵A，B两点所对应的实数分别是﹣π，1，
∴AB＝|1﹣（﹣π）|＝|1+π|＝1+π，
∵CB＝2AB，
∴CB＝2+2π，
∴C点表示的实数为：1﹣（2+2π）＝1﹣2﹣2π＝﹣2π﹣1，
故选：C．
17．如图，数轴上点A，B表示的数分别是，且B，C两点到点A的距离相等，则点C表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵数轴上点A，B表示的数分别是，
∴AB，
∵B，C两点到点A的距离相等，
∴AC＝AB，
∴点C表示的数是，
故选：C．
18．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点C在数轴上，且表示的数为﹣1．若将正方形ABCD绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为3，
∴正方形ABCD的边长为，
即，
∵点C表示的数为﹣1，点P在点C的左边，
∴点P表示的数为，
故选：C．
19．如图，数轴上A、B两点所对应的实数分别是﹣1、，若线段AB＝BC，则点C所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设点C所对应的实数是x．
则有x（﹣1），
解得x＝21．
故选：C．
20．在如图所示的数轴上，点A是线段BC的中点，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵AC＝AB1，A的坐标为，
∴C点坐标为1＝21，
故选：D．
21．如图，已知C，B两点对应的数字分别为3和，且点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】D
【解答】解：设点A表示的数是x，
∵数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，
∴，
解得x＝6．
故选：D．
22．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（ ）
A．b﹣a B．
C．|a|＝a D．|b|＝b
【答案】D
【解答】解：A、|a﹣b|＝﹣（a﹣b）＝b﹣a，正确；
B、，正确；
C、，正确；
D、，故错误；
故选：D．
23．如图，正方形OBCD的面积为3，OA＝OB，则数轴上点A对应的数是 ．
【答案】
【解答】解：∵正方形OBCD的面积为3，
∴OA＝OB，
∴数轴上点A对应的数是，
故答案为：．
24．如图，周长为14的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为﹣1，CD＝6，若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2023次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 7083 ．
【答案】7083
【解答】解：长方形的周长是14，长为6，则宽为1，点A对应﹣1，点B 对应5．
翻滚1次到达数轴上的点对应6，翻滚2次到达数轴上的点对应12；
翻滚3次到达数轴上的点对应13，翻滚4次到达数轴上的点对应19；
翻滚5次到达数轴上的点对应20，翻滚6次到达数轴上的点对应26；
翻滚2021次到达数轴上的点对应7076，翻滚1次到达数轴上的点对应7082；
翻滚2023次到达数轴上的点对应7083，故点P对应的数是7083．
故答案为：7083．
25．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m．
（1）实数m的值为 ；
（2）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且（2c+4）20．请计算的值．
【答案】（1）；
（2）4．
【解答】解：（1）由题意可知：AB＝2，
∴，
，
，
或（不合题意舍去），
∴实数m的值为，
故答案为：；
（2）∵（2c+4）20，，
∴2c+4＝0，d﹣4＝0，
解得：c＝﹣2，d＝4，
∴
＝4．
26．已知：|a+2|+（b﹣4）2＝0，c比b大2．
（1）a＝ ﹣2 ，b＝ 4 ，c＝ 6 ．
（2）在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c．
①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数．
②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当t＝ 2或或 时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）．
【答案】（1）﹣2，4，6；
（2）①2或10；②2或或．
【解答】解：（1）由题意可得a+2＝0，b﹣4＝0，c＝b+2，
a＝﹣2，b＝4，c＝6，
故答案为：﹣2，4，6；
（2）①设点P表示的数为x，
则：|x+2|＝2|x﹣4|，
解得：x＝2或x＝10，
∴点P对应的数为2或10；
②设t秒时相等，
∵A，D对应的数分别是﹣2，10，
∴AD＝10﹣（﹣2）＝12，
∴0≤t≤6，
由题意得点N对应的数是4+t，
当0≤t≤3 时，点M对应的数是﹣2+4t，
∵M、N两点到点C的距离相等，
∴|﹣2+4t﹣6|＝|4+t﹣6|，
解得t＝2；
当3＜t≤6时，点M对应的数是﹣2+24﹣4t＝22﹣4t，
∵M、N两点到点C的距离相等，
∴|22﹣4t﹣6|＝|4+t﹣6|，
解得t或；
综上，t的值为2或或．
▉题型5 实数大小比较
【知识点的认识】
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
27．在﹣1，，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．1
【答案】B．
【解答】解：∵1＜0＜1，
∴最小的数是：．
故选：B．
28．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．
29．下列四个实数中，最小的实数是（ ）
A．﹣2023 B．0 C．0.999 D．1
【答案】A
【解答】解：∵﹣2023＜0＜0.999＜1，
∴最小的实数是﹣2023．
故选：A．
30．下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴23，
故选：C．
31．下列实数比较大小正确的个数是（ ）
①
②
③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①∵35＜36，
∴6，符合题意；
②∵25＜27，
∴﹣25＞﹣27，
∴3，符合题意；
③∵2.236，
∴1≈2.236﹣1＝1.236；
∵1.732，
∴0.866，
∵1.236＞0.866，
∴1，符合题意；
④∵4＜5＜9，
∴23，
∴11＜2，
∴0.5，不符合题意．
故选：C．
32．已知三个数﹣π，﹣3，，它们的大小顺序是（ ）
A．﹣π＜﹣3 B．﹣3＜﹣π C．3＜﹣π D．﹣π3
【答案】A
【解答】解：∵2.65，
∴﹣π＜﹣3．
故选：A．
33．比较大小： ＜ ．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＜．
【解答】解：∵，，676＜1331，
∴，
故答案为：＜．
34．比较大小：﹣2 ＞ ， ＜ 1， ＞ ．
【答案】＞；＜；＞．
【解答】解：∵4＜6，
∴，
∴；
∵7＜9，
∴，
∴，
∴；
根据积的乘方计算法则可得，，
∵63＞60，且，
∴
故答案为：＞；＜；＞．
35．比较下列实数的大小（在空格中填上＞、＜或＝）
① ＜ ； ② ＞ ； ③ ＜ ．
【答案】＜；＞；＜
【解答】解：①∵||，||，，
∴，
②∵1＞1，
∴；
③∵，，
∴，
即．
故答案为：①＜，②＞，③＜．
36．阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1） ﹣2 ；
（2）当时，求x的取值范围．
【答案】（1）﹣2；
（2）．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：﹣2；
（2）根据题意，得，
解得，
∴x的取值范围是．
▉题型6 估算无理数的大小
【知识点的认识】
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
37．估计的值更接近（ ）
A．3 B．4 C．9 D．10
【答案】A
【解答】解：∵，
∴，
∴的值更接近3，
故选：A．
38．估算的值（ ）
A．在6和7之间 B．在7和8之间
C．在8和9之间 D．在9和10之间
【答案】A
【解答】解：∵36＜40＜49，
∴，
∴．
故选：A．
39．实数m在数轴上对应点的位置如图所示，若实数x满足m＜x＜﹣m，则x的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在数轴上表示出﹣m，如图：
∵m＝﹣2，
∴﹣m＝2．
∴x在m和﹣m之间．
∴x在﹣2和2之间，
选项中只有符合条件．
故选：D．
40．如果4与4的小数部分分别是m，n，那么m+n﹣1的值为（ ）
A．7 B．1 C．0 D．﹣1
【答案】C
【解答】解：由23得
6＜47，
则4的小数部分是m2，
由﹣32，得
1＜42，
4的小数部分是n＝3，
m+n﹣12+31＝0；
故选：C．
41．估计的值（ ）
A．在2和3之间 B．在4和5之间
C．在5和6之间 D．在6和7之间
【答案】C
【解答】解：∵32＝9，42＝16，
∴34，
∴5＜26，
故选：C．
42．m，n是连续的两个整数，若，则m+n的值为 9 ．
【答案】9．
【解答】解：∵，
而m，n是两个连续整数，若，
∴m＝4，n＝5，
∴m+n＝9，
故答案为：9．
43．已知m为整数，且，则m的值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：已知m为整数，且，
∵15＜16＜17，
∴4，
则m＝4，
故答案为：4．
44．是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分．类似的，的小数部分可以表示为 ．
【答案】
【解答】解：∵，
∴是的小数部分，
故答案为：．
45．已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a+b的算术平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵实数a+9的一个平方根是﹣5，
∴a+9＝25，
∴a＝16，
∵2b﹣a的立方根是﹣2，
∴2b﹣a＝﹣8，
∴b＝4，
∵，
∴，
∴的整数部分是6，
∴c＝6；
（2）当a＝16，b＝4时，2a+b＝2×16+4＝36，
∵36的算术平方根是6，
∴2a+b的算术平方根是6．
46．已知a的平方根是±2，b是27的立方根，c是的整数部分．
（1）求a+b+c的值；
（2）若x是的小数部分，求的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a的平方根是±2，b是27的立方根，c是的整数部分，
∴a＝（±2）2＝4，b3，c＝3，
∴a+b+c＝4+3+3＝10．
（2）∵x是的小数部分，的整数部分是3，
∴x3，
∴319＝16，
∴±±4，
∴的平方根是±4．
47．已知2a﹣7和a+4是某正数m的两个平方根，b﹣12的立方根为﹣2，c是的整数部分．
（1）求m的值；
（2）求a+3b+c的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵某正数m的两个不同的平方根是2a﹣7和a+4，
∴2a﹣7+a+4＝0，
∴a＝1，
∴m＝（﹣5）2＝25；
（2）∵b﹣12的立方根为﹣2，
∴b﹣12＝（﹣2）3＝﹣8，
∴b＝4，
∵c是的整数部分，且，
∴c＝3，
∴a+3b+c＝1+12+3＝16，
∵16的平方根为±4，
∴a+3b+c的平方根是±4．
48．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 2 ；
（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，并且，c、d是相邻的整数，求4d﹣4c的平方根．
【答案】（1）2；
（2）±2．
【解答】解：（1）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，
∴点B所表示的数为2，
即m＝2，
故答案为：2；
（2）∵16＜20＜25，
∴45，
∵，c、d是相邻的整数，
∴c＝4，d＝5，
∴4d﹣4c＝20﹣16＝4，
则4d﹣4c的平方根是±2．
49．已知a，b，c均为实数，6a+34的立方根是4，正数b的平方根分别是3x﹣7与x﹣9，c是的整数部分．求2a+b+c的值？
【答案】41．
【解答】解：∵正数b的平方根分别是3x﹣7与x﹣9，
∴3x﹣7+x﹣9＝0．
∴4x﹣16＝0．
∴x＝4．
∴b＝（3x﹣7）2＝25．
∵6a+34的立方根是4，c是的整数部分，
∴．
∴a＝5，c＝6．
∴2a+b+c＝2×5+25+6＝10+25+6＝41．
▉题型7 实数的运算
【知识点的认识】
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
50．有下列说法：①带根号的数是无理数；②不带根号的数一定是有理数；③是17的平方根；④任何数的平方根都有两个；⑤无理数与无理数的和一定是无理数．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解答】解：①带根号的数不一定是无理数，故①错误，例如：4；
②不带根号的数不一定是有理数，故②错误；例如：π；
③是17的平方根，故③正确；
④任何正数的平方根都有两个，故④错误；
⑤无理数与无理数的和不一定是无理数，故⑤错误；例如：0；
所以，上列说法，其中正确的有1个，
故选：B．
51．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算“*”如下，如，计算：9*7＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【解答】解：由题意得：，
故选：A．
52．如图是一个数值转换机的示意图，当输入的值时，输出的结果为（ ）
A．3 B．5 C．﹣5 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：根据题意得．3×2﹣1＝5，
故选：B．
53．用“ ”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝2a2﹣b．
如：2 1＝2×22﹣1＝8﹣1＝7，那么（﹣3） 2＝ 16 ．
【答案】16
【解答】解：由题意得，
（﹣3） 2＝2×（﹣3）2﹣2＝2×9﹣2＝18﹣2＝16，
故答案为：16．
54．计算：．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
＝﹣1﹣4+3（﹣2）
＝﹣1﹣4+32
．
55．计算：．
【答案】
【解答】解：
．
56．计算：
（1）求下列各式中的x值：
①x2＝16；
②2（x﹣3）3﹣16＝0．
（2）．
【答案】（1）①x1＝4，x2＝﹣4；
②x＝5；
（2）．
【解答】（1）①∵x2＝16，
∴x＝±，
即x1＝4，x2＝﹣4；
②∵2（x﹣3）3﹣16＝0，
∴2（x﹣3）3＝16，
则（x﹣3）3＝8，
那么x﹣3＝2，
即x＝5；
（2）原式
．
57．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1；
（2）5．
【解答】解：（1）
＝5+1﹣3﹣2
＝1；
（2）
＝3﹣24
＝5．
58．计算：．
【答案】．
【解答】解：原式．
59．（1）已知一个正数的平方根分别是x+3和x﹣1，求这个正数．
（2）利用平方根求（x+2）2﹣81＝0中x的值：
【答案】（1）4；（2）x＝7或x＝﹣11．
【解答】解：（1）根据题意可知，x+3+x﹣1＝0，
2x+2＝0，
解得：x＝﹣1；
∴这个正数是（x+3）2＝22＝4；
（2）（x+2）2﹣81＝0，
∴（x+2）2＝81，
∴x+2＝±9，
解得：x＝7或x＝﹣11．
60．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：
（3﹣i）+（4+3i）＝（3+4）+（﹣1+3）i＝7+2i（1﹣i）×（2+i）＝1×2+i﹣2×i﹣i2＝2+i﹣2i+1＝3﹣i
根据以上信息，完成下列问题
（1）填空：i3＝ ﹣i ，i4＝ 1 ；
（2）计算：（1﹣2i）×（4﹣5i）；
（3）计算：i+i2+i3+i4+ +i2023．
【答案】（1）﹣i，1；（2）﹣6﹣13i；（3）﹣1．
【解答】解：（1）i3＝i2i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，
故答案为：﹣i，1；
（2）（1﹣2i）×（4﹣5i）
＝1×4﹣1×5i﹣4×2i+10i2
＝4﹣5i﹣8i﹣10
＝﹣6﹣13i；
（3）i+i2+i3+i4+ +i2023
＝i﹣1﹣i+1+ +i﹣1﹣i
＝﹣1．
