第8章 8.1 幂的运算
题型1 科学记数法—表示较小的数 题型2 同底数幂的乘法
题型3 幂的乘方与积的乘方 题型4 同底数幂的除法
题型5 负整数指数幂
▉题型1 科学记数法—表示较小的数
【知识点的认识】
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
1．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（ ）平方公里
A．0.8×10﹣4 B．8×10﹣4 C．0.8×10﹣3 D．8×10﹣3
2．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔软性，可以拉伸，我国某物理研究组已研制出直径为0.00000000052米的碳纳米管，将0.00000000052用科学记数法表示为（ ）
A．52×10﹣9 B．0.52×10﹣10
C．5.2×10﹣9 D．5.2×10﹣10
3．宋朝 杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（ ）
A．3.52×10﹣5 B．0.352×10﹣5
C．3.52×10﹣6 D．35.2×10﹣6
4．石墨烯是单层碳原子组成的二维材料，结构是六边形晶格，当两层石墨烯以特定角度堆叠时，会出现超导现象．石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.00000000142米．数0.000000000142用科学记数法表示是（ ）
A．1.42×10﹣9 B．0.142×10﹣10
C．1.42×10﹣10 D．1.42×10﹣11
5．一种多模光纤芯的半径是0.00003125米，将0.00003125用科学记数法表示为（ ）
A．0.3125×10﹣4 B．3.125×10﹣4
C．3.125×10﹣5 D．31.25×10﹣5
6．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为（ ）
A．4×10﹣11 B．4×10﹣10 C．4×10﹣9 D．0.4×10﹣9
7．科学家通过观测宇宙背景辐射的温度变化来推测光的传播方式以及宇宙的形状．在宇宙中，宇宙背景辐射分布的非常均匀，但不同区域的宇宙背景辐射仍存在微小的温度差异，热点和冷点之间的温差约为0.0002℃．0.0002用科学记数法记为（ ）
A．0.2×10﹣4 B．2×10﹣3 C．2×10﹣4 D．2×10﹣5
8．根据爆料，华为下一代旗舰处理器命名为Kirin麒麟9010，采用3nm制程工艺，此外，华为也在寻求芯片产业链的纯国产化，这表明华为对于麒麟9010芯片的研发不仅仅局限于技术层面，还涉及到产业链的自主可控．（1纳米＝0.000001毫米）数据“3纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．0.3×10﹣5毫米 B．3×10﹣5毫米
C．3×10﹣6毫米 D．0.3×10﹣6毫米
9．唐朝李绅的《悯农》中有云：锄禾日当午，汗滴禾下土．谁知盘中餐，粒粒皆辛苦．所以我们要爱惜粮食．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.21×10﹣4 B．2.1×10﹣4 C．2.1×10﹣5 D．21×10﹣6
10．人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077米，用科学记数法表示为 米．
▉题型2 同底数幂的乘法
【知识点的认识】
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
11．已知mx＝2，my＝5，则mx+y值为（ ）
A．7 B．10 C．25 D．m7
12．若am＝2，an＝5，则am+n等于（ ）
A．7 B．10 C．25 D．32
13．下列计算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a5 B．a2+a4＝a6
C．﹣a4 （﹣a）3＝（﹣a）7 D．﹣a4 a3＝﹣a12
14．已知x+y﹣4＝0，则2x×2y的值为（ ）
A．8 B．64 C．16 D．12
15．已知x+y﹣3＝0，则3x 3y的值是（ ）
A．9 B．27 C． D．
16．设5m＝x，5n＝y，则5m+n+3＝（ ）
A．125xy B．x+y+15 C．x+y+125 D．15xy
17．计算x〇x2＝x3，则“〇”中的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
18．若am＝a3 a4，则m＝ ．
19．若am＝2，an＝5，则am+n＝ ．
20．已知am＝3，an＝2，则am+n＝ ．
21．若3a＝5，3b＝6，则3a+b＝ ．
22．计算：a7 a﹣3＝ ．
23．已知2×8x×16＝223，则x的值为 ．
24．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝ ，（4，1）＝ （2，0.25）＝ ；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
25．尝试解决下列有关幂的问题：
若xa＝10，xb＝8，求xa+b．
26．在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据an＝b，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若an＝b，那么f（a，b）＝n．例如：33＝27，则f（3，27）＝3．
（1）填空：f（2，4）＝ ，f（4，64）＝ ；
（2）计算：f（﹣3，81）﹣f（5，125）；
（3）若f（a，﹣32）＝5，f（4，b）＝3，求f（a，b）的值．
27．规定a*b＝3a×3b．
（1）填空：1*2＝ ；
（2）如果2*（x﹣5）＝81，求x的值．
▉题型3 幂的乘方与积的乘方
【知识点的认识】
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
28．若2×4m×8m＝221，则m的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
29．计算的值为（ ）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
30．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
31．已知a＝255，b＝344，c＝533，那么a、b、c的大小顺序是（ ）
A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
32．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a6 B．a2 a4＝a8
C．（2a2）3＝6a6 D．（﹣a3）2＝a6
33．已知7m＝a，7n＝b，则72m+3n用a，b可以表示为（ ）
A．6ab B．a2+b3 C．2a+3b D．a2b3
34．下列运算正确的是（ ）
A．a2 a5＝a10 B．（a3）4＝a7
C．（﹣2a2）3＝﹣a6 D．（﹣a3）2＝a6
35．计算的结果为（ ）
A．﹣2 B． C．1 D．﹣1
36．地球可以近似地看成是球体，球的体积公式是．已知地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是（ ）立方千米．（π取3）
A．2.4×1010 B．2.4×106 C．8.64×1011 D．8.64×106
37．已学的有关“幂的运算”的法则有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方．在计算下面题目（a2 a3）2＝（a2）2 （a3）2＝a4 a6＝a10的过程中，每一步的运算法则分别是（ ）
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②①
38．下面描述（62）4的含义不正确的是（ ）
A．8个6相乘 B．6个6相乘 C．4个62相乘 D．2个64相乘
39．已知下列算式：①（a3）3＝a6；②a2 a3＝a5；③2m 3n＝6m+n；④﹣a2 （﹣a）3＝a5；⑤（a﹣b）3 （b﹣a）2＝（a﹣b）5．其中计算结果正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
40．计算：（﹣0.25）2025×（﹣4）2026＝ ．
41．若x+3y﹣3＝0，则3x 27y＝ ．
42．计算： ．
43．已知a＝255，b＝522，则a，b的大小关系是 （请用字母表示，并用“＜”连接）．
44．已知：xa＝2，xb＝3，则x2a+3b＝ ．
45．计算：（﹣4）2025×0.252024×（﹣1）2023＝ ．
46．结合“（a b）n＝anbn（n是正整数），即积的乘方等于乘方的积”计算22025＝ ．
47．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果8x＝25，求x的值；
（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
48．【教材研究】：下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题．
计算：49×（﹣25）8． 解；原式＝4×48×（﹣25）8， ＝4×[4×（﹣25）]8， ＝4×（﹣100）8， ＝4×1016．
【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题．
（1）计算：①82026×（﹣0.125）2025；
②；
（2）如果3a+2 7a+2＝212a﹣4，求a的值．
49．计算：
（1）（a﹣b）3（b﹣a）3+[（b﹣a）3]2；
（2）a+2a+3a+a a2 a3+（﹣2a2）3．
▉题型4 同底数幂的除法
【知识点的认识】
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
50．下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝2a4 B．x x2＝x3
C．x+x2＝x3 D．a3÷a＝a
51．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．x+x3＝x4 B．a6÷a3＝a2
C．﹣a2 a＝a3 D．（﹣ab）2＝a2b2
52．下列各式计算正确的是（ ）
A．a5﹣a3＝a2 B．（ab）2＝ab2 C．（a2）3＝a6 D．a5÷a3＝a8
53．已知3a＝12，9b＝4，则3a﹣2b的值为（ ）
A．3 B． C．48 D．
54．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．a﹣1÷a﹣3＝a2 D．
▉题型5 负整数指数幂
【知识点的认识】
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
55．已知a＝（﹣2）0，，c＝﹣32，那么a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b第8章 8.1 幂的运算
题型1 科学记数法—表示较小的数 题型2 同底数幂的乘法
题型3 幂的乘方与积的乘方 题型4 同底数幂的除法
题型5 负整数指数幂
▉题型1 科学记数法—表示较小的数
【知识点的认识】
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
1．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（ ）平方公里
A．0.8×10﹣4 B．8×10﹣4 C．0.8×10﹣3 D．8×10﹣3
【答案】B
【解答】解：0.0008＝8×10﹣4．
故选：B．
2．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔软性，可以拉伸，我国某物理研究组已研制出直径为0.00000000052米的碳纳米管，将0.00000000052用科学记数法表示为（ ）
A．52×10﹣9 B．0.52×10﹣10
C．5.2×10﹣9 D．5.2×10﹣10
【答案】D
【解答】解：0.00000000052＝5.2×10﹣10．
故选：D．
3．宋朝 杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（ ）
A．3.52×10﹣5 B．0.352×10﹣5
C．3.52×10﹣6 D．35.2×10﹣6
【答案】A
【解答】解：0.0000352＝3.52×10﹣5．
故选：A．
4．石墨烯是单层碳原子组成的二维材料，结构是六边形晶格，当两层石墨烯以特定角度堆叠时，会出现超导现象．石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.00000000142米．数0.000000000142用科学记数法表示是（ ）
A．1.42×10﹣9 B．0.142×10﹣10
C．1.42×10﹣10 D．1.42×10﹣11
【答案】C．
【解答】解：0.000000000142＝1.42×10﹣10．
故选：C．
5．一种多模光纤芯的半径是0.00003125米，将0.00003125用科学记数法表示为（ ）
A．0.3125×10﹣4 B．3.125×10﹣4
C．3.125×10﹣5 D．31.25×10﹣5
【答案】C
【解答】解：0.00003125＝3.125×10﹣5．
故选：C．
6．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为（ ）
A．4×10﹣11 B．4×10﹣10 C．4×10﹣9 D．0.4×10﹣9
【答案】B
【解答】解：0.0000000004＝4×10﹣10．
故选：B．
7．科学家通过观测宇宙背景辐射的温度变化来推测光的传播方式以及宇宙的形状．在宇宙中，宇宙背景辐射分布的非常均匀，但不同区域的宇宙背景辐射仍存在微小的温度差异，热点和冷点之间的温差约为0.0002℃．0.0002用科学记数法记为（ ）
A．0.2×10﹣4 B．2×10﹣3 C．2×10﹣4 D．2×10﹣5
【答案】C
【解答】解：0.0002＝2×10﹣4．
故选：C．
8．根据爆料，华为下一代旗舰处理器命名为Kirin麒麟9010，采用3nm制程工艺，此外，华为也在寻求芯片产业链的纯国产化，这表明华为对于麒麟9010芯片的研发不仅仅局限于技术层面，还涉及到产业链的自主可控．（1纳米＝0.000001毫米）数据“3纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．0.3×10﹣5毫米 B．3×10﹣5毫米
C．3×10﹣6毫米 D．0.3×10﹣6毫米
【答案】C．
【解答】解：1毫米＝1000000纳米，
3纳米＝0.000003毫米＝3×10﹣6毫米．
故选：C．
9．唐朝李绅的《悯农》中有云：锄禾日当午，汗滴禾下土．谁知盘中餐，粒粒皆辛苦．所以我们要爱惜粮食．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.21×10﹣4 B．2.1×10﹣4 C．2.1×10﹣5 D．21×10﹣6
【答案】C
【解答】解：0.000021＝2.1×10﹣5．
故选：C．
10．人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077米，用科学记数法表示为 7.7×10﹣6 米．
【答案】7.7×10﹣6
【解答】解：0.000 0077＝7.7×10﹣6；
故答案为：7.7×10﹣6．
▉题型2 同底数幂的乘法
【知识点的认识】
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
11．已知mx＝2，my＝5，则mx+y值为（ ）
A．7 B．10 C．25 D．m7
【答案】B
【解答】解：∵mx＝2，my＝5，
∴mx+y＝mx my＝2×5＝10．
故选：B．
12．若am＝2，an＝5，则am+n等于（ ）
A．7 B．10 C．25 D．32
【答案】B
【解答】解：∵am＝2，an＝5，
∴am+n＝am an＝2×5＝10．
故选：B．
13．下列计算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a5 B．a2+a4＝a6
C．﹣a4 （﹣a）3＝（﹣a）7 D．﹣a4 a3＝﹣a12
【答案】A
【解答】解：a2 a3＝a5，故选项A正确，符合题意；
a2，a4不是同类项，不能合并，故选项B错误，不符合题意；
﹣a4 （﹣a）3＝﹣a4 （﹣a3）＝a7，故选项C错误，不符合题意；
﹣a4 a3＝﹣a7，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
14．已知x+y﹣4＝0，则2x×2y的值为（ ）
A．8 B．64 C．16 D．12
【答案】C
【解答】解：∵x+y﹣4＝0，
∴x+y＝4，
∴2x×2y＝2x+y＝24＝16．
故选：C．
15．已知x+y﹣3＝0，则3x 3y的值是（ ）
A．9 B．27 C． D．
【答案】B
【解答】解：∵x+y﹣3＝0，
∴x+y＝3，
∴3x 3y＝3x+y＝33＝27．
故选：B．
16．设5m＝x，5n＝y，则5m+n+3＝（ ）
A．125xy B．x+y+15 C．x+y+125 D．15xy
【答案】A
【解答】解：∵5m＝x，5n＝y，
∴5m 5n＝xy，
∴5m+n×53＝xy×53，
∴5m+n+3＝125xy，
故选：A．
17．计算x〇x2＝x3，则“〇”中的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【答案】C
【解答】解：∵x x2＝x3，
∴“〇”中的运算符号为：×，
故选：C．
18．若am＝a3 a4，则m＝ 7 ．
【答案】7
【解答】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴am＝a3 a4，
∴m＝3+4，
∴m＝7
故答案为7．
19．若am＝2，an＝5，则am+n＝ 10 ．
【答案】10．
【解答】解：∵am＝2，an＝5，
∴am+n＝am an＝2×5＝10，
故答案为：10．
20．已知am＝3，an＝2，则am+n＝ 6 ．
【答案】6
【解答】解：am+n＝am an＝3×2＝6，
故答案为：6．
21．若3a＝5，3b＝6，则3a+b＝ 30 ．
【答案】30．
【解答】解：当3a＝5，3b＝6时，
3a+b＝3a×3b＝5×6＝30．
故答案为：30．
22．计算：a7 a﹣3＝a4 ．
【答案】a4．
【解答】解：根据同底数幂相乘运算法则可得：
a7 a﹣3＝a7﹣3＝a4．
故答案为：a4．
23．已知2×8x×16＝223，则x的值为 6 ．
【答案】6
【解答】解：由题意，得
2 23x 24＝25+3x＝223，
5+3x＝23，
解得x＝6，
故答案为：6．
24．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝ 3 ，（4，1）＝ 0 （2，0.25）＝ ﹣2 ；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，
故答案为：3，0，﹣2；
（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴a+b＝c．
25．尝试解决下列有关幂的问题：
若xa＝10，xb＝8，求xa+b．
【答案】80．
【解答】解：∵xa＝10，xb＝8，
∴xa+b
＝xa xb
＝10×8
＝80．
26．在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据an＝b，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若an＝b，那么f（a，b）＝n．例如：33＝27，则f（3，27）＝3．
（1）填空：f（2，4）＝ 2 ，f（4，64）＝ 3 ；
（2）计算：f（﹣3，81）﹣f（5，125）；
（3）若f（a，﹣32）＝5，f（4，b）＝3，求f（a，b）的值．
【答案】（1）2，3；
（2）1；
（3）6．
【解答】解：（1）∵22＝4，
∴f（2，4）＝2，
∵43＝4×4×4＝64，
∴f（4，64）＝3，
故答案为：2，3；
（2）∵（﹣3）4＝81，53＝125，
∴f（﹣3，81）＝4，f（5，125）＝3，
∴原式＝4﹣3＝1；
（3）∵（﹣2）5＝﹣32，43＝64，而f（a，﹣32）＝5，f（4，b）＝3，
∴a＝﹣2，b＝64，
又∵（﹣2）6＝64，
∴f（a，b）
＝f（﹣2，64）
＝6．
27．规定a*b＝3a×3b．
（1）填空：1*2＝ 27 ；
（2）如果2*（x﹣5）＝81，求x的值．
【答案】（1）27；
（2）x＝7．
【解答】解：（1）∵a*b＝3a×3b，
∴1*2＝31×32＝3×9＝27，
故答案为：9．
（2）∵2*（x﹣5）＝81，
∴32×3x﹣5＝34，
∴32+（x﹣5）＝34，
∴2+x﹣5＝4，
解得：x＝7．
▉题型3 幂的乘方与积的乘方
【知识点的认识】
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
28．若2×4m×8m＝221，则m的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解答】解：由条件可得2×22m×23m＝221，
∴25m+1＝221，
∴5m+1＝21，
∴m＝4．
故选：A．
29．计算的值为（ ）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
【答案】D
【解答】解：原式
．
故选：D．
30．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【答案】A
【解答】解：因为a＝8131＝（34）31＝3124，
b＝2741＝（33）41＝3123，
c＝961＝（32）61＝3122，
因为124＞123＞122，
所以a＞b＞c．
故选：A．
31．已知a＝255，b＝344，c＝533，那么a、b、c的大小顺序是（ ）
A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【答案】D
【解答】解：因为a＝255（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511，
∴255＜344＜533，
即a＜b＜c．
故选：D．
32．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a6 B．a2 a4＝a8
C．（2a2）3＝6a6 D．（﹣a3）2＝a6
【答案】D
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，2a3≠2a6，选项计算错误，不符合题意；
B、a2 a4＝a6，a6≠a8，选项计算错误，不符合题意；
C、（2a2）3＝8a6，8a6≠6a6，选项计算错误，不符合题意；
D、（﹣a3）2＝a6，选项计算正确，符合题意．
故选：D．
33．已知7m＝a，7n＝b，则72m+3n用a，b可以表示为（ ）
A．6ab B．a2+b3 C．2a+3b D．a2b3
【答案】D
【解答】解：由条件可得72m+3n＝72m 73n＝（7m）2 （7n）3＝a2b3，
故选：D．
34．下列运算正确的是（ ）
A．a2 a5＝a10 B．（a3）4＝a7
C．（﹣2a2）3＝﹣a6 D．（﹣a3）2＝a6
【答案】D
【解答】解：A、a2 a5＝a7，故此选项不符合题意；
B、（a3）4＝a12，故此选项不符合题意；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故此选项不符合题意；
D、（﹣a3）2＝a6，故此选项符合题意；
故选：D．
35．计算的结果为（ ）
A．﹣2 B． C．1 D．﹣1
【答案】D
【解答】解：将变形为计算可得：
，
故选：D．
36．地球可以近似地看成是球体，球的体积公式是．已知地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是（ ）立方千米．（π取3）
A．2.4×1010 B．2.4×106 C．8.64×1011 D．8.64×106
【答案】C
【解答】解：根据运算法则代入公式计算可得：
．
故选：C．
37．已学的有关“幂的运算”的法则有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方．在计算下面题目（a2 a3）2＝（a2）2 （a3）2＝a4 a6＝a10的过程中，每一步的运算法则分别是（ ）
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②①
【答案】D
【解答】解：根据运算法则可知在运算的过程中，每一步的运算法则分别是积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，
故选：D．
38．下面描述（62）4的含义不正确的是（ ）
A．8个6相乘 B．6个6相乘 C．4个62相乘 D．2个64相乘
【答案】C
【解答】解：（62）4表示的是4个62相乘．
故选：C．
39．已知下列算式：①（a3）3＝a6；②a2 a3＝a5；③2m 3n＝6m+n；④﹣a2 （﹣a）3＝a5；⑤（a﹣b）3 （b﹣a）2＝（a﹣b）5．其中计算结果正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解答】解：（a3）3＝a9，故①错误；
a2 a3＝a5，故②正确；
2m 3n，不是同底数幂，指数也不同，故③错误；
﹣a2 （﹣a）3＝a5，故④正确；
（a﹣b）3 （b﹣a）2＝（a﹣b）3 （a﹣b）2＝（a﹣b）5；故⑤正确；
所以计算结果正确的共3个．
故选：B．
40．计算：（﹣0.25）2025×（﹣4）2026＝ ﹣4 ．
【答案】﹣4．
【解答】解：原式＝[（﹣0.25）×（﹣4）]2025×（﹣4）
＝12025×（﹣4）
＝﹣4，
故答案为：﹣4．
41．若x+3y﹣3＝0，则3x 27y＝ 27 ．
【答案】27．
【解答】解：∵x+3y﹣3＝0，
∴x+3y＝3，
∴3x 27y＝3x+3y＝33＝27，
故答案为：27．
42．计算： 3 ．
【答案】3
【解答】解：原式＝（3）2024×3
＝1×3
＝3．
故答案为：3．
43．已知a＝255，b＝522，则a，b的大小关系是 b＜a． （请用字母表示，并用“＜”连接）．
【答案】b＜a．
【解答】解：a＝255＝（25）11＝3211，
b＝522＝（52）11＝2511，
∵2511＜3211，
∴522＜255，
故答案为：b＜a．
44．已知：xa＝2，xb＝3，则x2a+3b＝ 108 ．
【答案】108．
【解答】解：∵xa＝2，xb＝3，
∴x2a+3b
＝x2a x3b
＝（xa）2 （xb）3
＝22×33
＝4×27
＝108，
故答案为：108．
45．计算：（﹣4）2025×0.252024×（﹣1）2023＝ 4 ．
【答案】4．
【解答】解：原式＝（﹣4）×（﹣4）2024×（0.25）2024×（﹣1）2023
＝（﹣4）×（﹣4×0.25）2024×（﹣1）
＝4×（﹣1）2024
＝4×1
＝4，
故答案为：4．
46．结合“（a b）n＝anbn（n是正整数），即积的乘方等于乘方的积”计算22025＝ 6 ．
【答案】6．
【解答】解：22025
＝（）202322025
＝（）2023×（2）×22024
＝（2）2023×3×2
＝6．
故答案为：6．
47．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果8x＝25，求x的值；
（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）8x＝（23）x＝23x＝25，
∴3x＝5，
解得x；
（2）∵2x+2+2x+1＝24，
∴2x（22+2）＝24，
∴2x＝4，
∴x＝2；
（3）∵x＝5m﹣3，
∴5m＝x+3，
∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m
＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，
∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．
48．【教材研究】：下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题．
计算：49×（﹣25）8． 解；原式＝4×48×（﹣25）8， ＝4×[4×（﹣25）]8， ＝4×（﹣100）8， ＝4×1016．
【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题．
（1）计算：①82026×（﹣0.125）2025；
②；
（2）如果3a+2 7a+2＝212a﹣4，求a的值．
【答案】（1）①﹣8；
②﹣1；
（2）6．
【解答】解：（1）①82026×（﹣0.125）2025
＝﹣8×82025×0.1252025
＝﹣8×（8×0.125）2025
＝﹣8×1
＝﹣8；
②
＝﹣1；
（2）∵3a+2 7a+2＝212a﹣4，
3a+2 7a+2＝（3×7）a+2＝21a+2，
∴a+2＝2a﹣4，
解得a＝6，
即a的值为6．
49．计算：
（1）（a﹣b）3（b﹣a）3+[（b﹣a）3]2；
（2）a+2a+3a+a a2 a3+（﹣2a2）3．
【答案】（1）0；（2）6a﹣7a6．
【解答】解：（1）原式＝﹣（a﹣b）3（a﹣b）3+（b﹣a）6
＝﹣（a﹣b）6+（a﹣b）6
＝0；
（2）原式＝6a+a6﹣8a6＝6a﹣7a6．
▉题型4 同底数幂的除法
【知识点的认识】
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
50．下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝2a4 B．x x2＝x3
C．x+x2＝x3 D．a3÷a＝a
【答案】B
【解答】解：A．a2+2a2＝3a2，故错误；
B．x x2＝x3，故正确；
C．x与x2不是同类项，不能合并，故错误；
D．a3÷a＝a2，故错误，
故选：B．
51．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．x+x3＝x4 B．a6÷a3＝a2
C．﹣a2 a＝a3 D．（﹣ab）2＝a2b2
【答案】D
【解答】解：A、x+x3不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、a6÷a3＝a3，a3≠a2选项计算错误，不符合题意；
C、﹣a2 a＝﹣a3，a3≠﹣a3选项计算错误，不符合题意；
D、（﹣ab）2＝a2b2，选项计算正确，符合题意．
故选：D．
52．下列各式计算正确的是（ ）
A．a5﹣a3＝a2 B．（ab）2＝ab2 C．（a2）3＝a6 D．a5÷a3＝a8
【答案】C
【解答】解：A．a5与a3不是同类项，不能进行加减法计算，故该项原计算错误，不符合题意；
B．（ab）2＝a2b2，故该项原计算错误，不符合题意；
C．（a2）3＝a6，故该项原计算正确，不符合题意；
D．a5÷a3＝a2，故该项原计算错误，不符合题意．
故选：C．
53．已知3a＝12，9b＝4，则3a﹣2b的值为（ ）
A．3 B． C．48 D．
【答案】A
【解答】解：原式＝3a÷32b＝3a÷（32）b＝12÷4＝3．
故选：A．
54．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．a﹣1÷a﹣3＝a2 D．
【答案】C
【解答】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、a﹣1÷a﹣3＝a﹣1+3＝a2，计算正确，符合题意；
D、52＝25，计算错误，不符合题意．
故选：C．
▉题型5 负整数指数幂
【知识点的认识】
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
55．已知a＝（﹣2）0，，c＝﹣32，那么a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【答案】B
【解答】解：a＝（﹣2）0＝1，，c＝﹣32＝﹣9，
∴b＞a＞c，
故选：B．
