第9章 9.1 分式及其基本性质
题型1 分式的定义 题型2 分式有意义的条件
题型3 分式的值为零的条件 题型4 分式的值
题型5 分式的基本性质 题型6 约分
▉题型1 分式的定义
【知识点的认识】
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
1．下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．y
2．若是分式，则□不可以是（ ）
A．x+8 B．c﹣9 C．4π D．2y
3．下列各式中，是分式的是（ ）
A． B．x+3y C． D．
4．在代数式x，，xy2，，，x2中，分式共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．下列各式：，其中分式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
▉题型2 分式有意义的条件
【知识点的认识】
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
6．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣9 B．x＞﹣9 C．x≠﹣9 D．x≠0
7．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠6 B．x≠0 C．x D．x≠﹣6
8．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
9．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝3
10．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
11．当x＝1时，分式无意义，则m的值为 ．
12．要使分式有意义，则x的取值范围为 ．
▉题型3 分式的值为零的条件
【知识点的认识】
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
13．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．3 B．3或﹣3 C．﹣3 D．0
14．当分式的值为0时，x的值为 ．
15．当x＝ 时，分式的值为零．
16．使分式的值为0，这时x＝ ．
▉题型4 分式的值
【知识点的认识】
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
17．若（x2+mx+n）与（x﹣2）的乘积中，不含x的一次项和二次项，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．4
18．已知关于x的不等式组的解集为3≤x＜5，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
19．若x＜2，则的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
20．若4x﹣3y＝0，则的值为（ ）
A．31 B． C． D．不能确定
21．已知x2y2+x2+y2+6xy+4＝0，则的值为 ．
22．若x2﹣3x+1＝0，则 ．
23．若4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0，（xyz≠0），则式子的值等于 ．
24．已知非负实数a，b，c满足，设S＝a+2b+3c，S的最大值为m，最小值为n，则的值为 ．
25．已知x+2y+7z＝0，x﹣2y﹣3z＝0（xyz≠0），则 ．
26．如果4x﹣5y＝0，且x≠0，那么的值是 ．
27．已知x，y，z都不为零，且满足4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0．求的值．
28．若x2+x﹣1＝0，求的值．
▉题型5 分式的基本性质
【知识点的认识】
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
29．若把分式中的m、n同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A．保持不变 B．扩大到原来的3倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的9倍
30．若将分式中的a，b都扩大为原来的4倍，则该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的4倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的16倍
31．下列式子一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
32．若把一个分式中的m、n同时扩大3倍，分式的值也扩大3倍，则这个分式可以是（ ）
A． B． C． D．
▉题型6 约分
【知识点的认识】
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
33．化简： ．第9章 9.1 分式及其基本性质
题型1 分式的定义 题型2 分式有意义的条件
题型3 分式的值为零的条件 题型4 分式的值
题型5 分式的基本性质 题型6 约分
▉题型1 分式的定义
【知识点的认识】
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
1．下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．y
【答案】C
【解答】解：选项A、B、D中的代数式的分母不含有字母，不是分式，是整式；选项C中的代数式的分母中含义字母a，属于分式．
故选：C．
2．若是分式，则□不可以是（ ）
A．x+8 B．c﹣9 C．4π D．2y
【答案】C
【解答】解：A：x+8 含字母 x，
B：c﹣9 含字母 c，
C：4π 中 π 是常数，不含字母，
D：2y 含字母 y，
根据分式的定义可得，
A、B、D选项中代数式的分母中均含有字母，因此它们是分式，选项错误，不符合题意，
选项C中代数式的分母中不含有字母，因此它不是分式，选项正确，符合题意．
故选：C．
3．下列各式中，是分式的是（ ）
A． B．x+3y C． D．
【答案】D
【解答】解：A、不是分式，故此选项不符合题意；
B、x+3y不是分式，故此选项不符合题意；
C、不是分式，故此选项不符合题意；
D、是分式，故此选项符合题意；
故选：D．
4．在代数式x，，xy2，，，x2中，分式共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解：代数式x，，xy2，，，x2中，分式共有：，，共3个．
故选：B．
5．下列各式：，其中分式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：，是分式，共2个，
故选：B．
▉题型2 分式有意义的条件
【知识点的认识】
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
6．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣9 B．x＞﹣9 C．x≠﹣9 D．x≠0
【答案】C
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+9≠0，
解得：x≠﹣9，
故选：C．
7．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠6 B．x≠0 C．x D．x≠﹣6
【答案】D
【解答】解：要使分式有意义，必须x+6≠0，
解得，x≠﹣6，
故选：D．
8．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A．当x＝0时，该分式没有意义，故本选项不合题意；
B．当x＝﹣6时，该分式没有意义，故本选项不合题意；
C．∵x2≥0，
∴x2+1＞0，
∴当x为任意实数时，该分式一定有意义，故本选项符合题意；
D．当x＝±1时，该分式没有意义，故本选项不合题意；
故选：C．
9．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝3
【答案】C
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，
∴x≠3；
故选：C．
10．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠1 ．
【答案】x≠1．
【解答】解：若式子在实数范围内有意义，
则x﹣1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
11．当x＝1时，分式无意义，则m的值为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：当x＝1时，分式无意义，即x﹣m＝0，
∴1﹣m＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
12．要使分式有意义，则x的取值范围为 x≠﹣2 ．
【答案】x≠﹣2
【解答】解：由题意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2
故答案为：x≠﹣2
▉题型3 分式的值为零的条件
【知识点的认识】
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
13．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．3 B．3或﹣3 C．﹣3 D．0
【答案】A
【解答】解：根据题意，得
，即，
解得x＝3．
故选：A．
14．当分式的值为0时，x的值为 ﹣7 ．
【答案】﹣7．
【解答】解：由题意得
x+7＝0，
解得：x＝﹣7，
当x＝﹣7时，
x﹣2＝5≠0；
故答案为：﹣7．
15．当x＝ 3 时，分式的值为零．
【答案】3
【解答】解：分式的值为零，即x2﹣9＝0，
∵x≠﹣3，
∴x＝3．
故当x＝3时，分式的值为零．
故答案为3．
16．使分式的值为0，这时x＝ 1 ．
【答案】1
【解答】解：由题意得：，
解得x＝1，
故答案为1．
▉题型4 分式的值
【知识点的认识】
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
17．若（x2+mx+n）与（x﹣2）的乘积中，不含x的一次项和二次项，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．4
【答案】B
【解答】解：（x2+mx+n）（x﹣2）
＝x3+mx2+nx﹣2x2﹣2mx﹣2n
＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
∵（x2+mx+n）与（x﹣2）的乘积中，不含x的一次项和二次项，
∴m﹣2＝0，n﹣2m＝0，
∴m＝2，n＝4，
∴，
故选：B．
18．已知关于x的不等式组的解集为3≤x＜5，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解答】解：由x﹣a≥b，得：x≥a+b，
由2x﹣a＜2b+1，得：x，
∵3≤x＜5，
∴，
解得：，
则．
故选：B．
19．若x＜2，则的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：∵x＜2，即x﹣2＜0，
∴1，
故选：A．
20．若4x﹣3y＝0，则的值为（ ）
A．31 B． C． D．不能确定
【答案】B
【解答】解：∵4x﹣3y＝0，
∴4x＝3y，
∴．
故选：B．
21．已知x2y2+x2+y2+6xy+4＝0，则的值为 ．
【答案】．
【解答】解：∵x2y2+x2+y2+6xy+4＝0，
∴[（xy）2+4xy+4]+（x2+2xy+y2）＝0，
∴（xy+2）2+（x+y）2＝0，
∵（xy+2）2≥0，（x+y）2≥0，
∴xy+2＝0，x+y＝0，
∴xy＝﹣2，
∴原式
．
故答案为：．
22．若x2﹣3x+1＝0，则 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴，
∴，
∴，
∴1．
故答案为：1．
23．若4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0，（xyz≠0），则式子的值等于 ．
【答案】．
【解答】解：由x+2y﹣7z＝0得，x＝7z﹣2y，代入4x﹣3y﹣6z＝0得，
28z﹣8y﹣3y﹣6z＝0，
即y＝2z，
∴x＝7z﹣4z＝3z，
把x＝3z，y＝2z代入得，
原式，
故答案为：．
24．已知非负实数a，b，c满足，设S＝a+2b+3c，S的最大值为m，最小值为n，则的值为 ．
【答案】．
【解答】解：令k，
则a＝2k+1，b＝3k+2，c＝5﹣4k，
∴S＝2k+1+6k+4+15﹣12k
＝﹣4k+20，
∵a、b、c均为非负实数，
∴，
解得k，
∴S的最大值m＝22，最小值n，
则，
故答案为：．
25．已知x+2y+7z＝0，x﹣2y﹣3z＝0（xyz≠0），则 ．
【答案】
【解答】解：由x+2y+7z＝0，x﹣2y﹣3z＝0，得到x＝﹣2z，y＝﹣2.5z，
则原式，
故答案为：．
26．如果4x﹣5y＝0，且x≠0，那么的值是 ．
【答案】
【解答】解：∵4x﹣5y＝0，
∴5y＝4x，
∴．
故答案为：．
27．已知x，y，z都不为零，且满足4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0．求的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由，
解得，
∵x，y，z都不为零
∴．
28．若x2+x﹣1＝0，求的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2+x﹣1＝0，
∴x2＝﹣（x﹣1），
∴
＝3．
▉题型5 分式的基本性质
【知识点的认识】
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
29．若把分式中的m、n同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A．保持不变 B．扩大到原来的3倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的9倍
【答案】A
【解答】解：∵，
∴若把分式中的m、n同时扩大到原来的3倍，则分式的值不变，
故选：A．
30．若将分式中的a，b都扩大为原来的4倍，则该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的4倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的16倍
【答案】A
【解答】解：根据题意得，变形得，
，
∴该分式的值不变；
故选：A．
31．下列式子一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、若a≠b，则，故A选项错误；
B、若c＝0，则，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故选：D．
32．若把一个分式中的m、n同时扩大3倍，分式的值也扩大3倍，则这个分式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、，故分式中的m、n同时扩大3倍，分式的值也扩大3倍，故符合题意；
B、，把一个分式中的m、n同时扩大3倍，分式的值不变，故不符合题意；
C、，把一个分式中的m、n同时扩大3倍，分式的值也扩大倍，故不符合题意；
D、，把一个分式中的m、n同时扩大3倍，分式的值不变，故不符合题意，
故选：A．
▉题型6 约分
【知识点的认识】
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
33．化简： ．
【答案】．
【解答】解：．
故答案为：．
