第9章 9.2 分式的运算
题型1 最简公分母 题型2 分式的乘除法
题型3 分式的加减法 题型4 分式的混合运算
题型5 分式的化简求值
▉题型1 最简公分母
【知识点的认识】
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
1．分式与的最简公分母是（ ）
A．a﹣1 B．3（a﹣1） C．3（a﹣1）2 D．﹣3（a﹣1）2
【答案】B
【解答】解：∵3a﹣3＝3（a﹣1），1﹣a＝﹣（a﹣1）
∴分式与的最简公分母是3（a﹣1）
故选：B．
▉题型2 分式的乘除法
【知识点的认识】
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a3 a3＝2a3 B．a6÷a﹣3＝a3
C．（2ab）3＝2ab3 D．
【答案】D
【解答】解：A、a3 a3＝a3+3＝a6，故本选项计算错误，不符合题意；
B、a6÷a﹣3＝a6﹣（﹣3）＝a9，故本选项计算错误，不符合题意；
C、（2ab）3＝8a3b3，故本选项计算错误，不符合题意；
D、（）﹣2＝（）2，故本选项计算正确，符合题意；
故选：D．
3．若计算分式的结果为整式，则Δ中的式子可以是（ ）
A．a B．b C．a﹣b D．a+b
【答案】B
【解答】解：，
∵运算的结果为整式，
∴Δ中式子一定含有b的单项式，
故只有B项符合．
故选：B．
4．化简（）2的结果是（ ）
A． B． C．mn3p2 D．mn3p3
【答案】B
【解答】解：（）2
，
故选：B．
5．下列算式中，正确的是（ ）
A．﹣a2÷a a2 B．﹣2a2+3a2＝a
C．﹣（﹣a3）2＝a6 D．（﹣a3b）2＝a6b2
【答案】D
【解答】解：A、﹣a2÷a 1，故此选项错误；
B、﹣2a2+3a2＝a2，故此选项错误；
C、﹣（﹣a3）2＝﹣a6，故此选项错误；
D、（﹣a3b）2＝a6b2，正确．
故选：D．
6．已知，则的值是（ ）
A．9 B．11 C．7 D．1
【答案】C
【解答】解：∵，
（m）2＝m2+29，
∴m29﹣2＝7，
故选：C．
7．数学活动课上，李老师在黑板上写了一个分式的正确演算结果，随后用手捂住了其中的一部分，形式如下：（），求李老师手捂住的部分化简后的结果．
【答案】1．
【解答】解：李老师用手捂住的部分的式子为
＝1．
▉题型3 分式的加减法
【知识点的认识】
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
8．计算的结果为（ ）
A．1 B． C．﹣1 D．
【答案】B
【解答】解：原式．
故选：B．
9．化简分式，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：
，
故选：A．
10．观察下列等式：
1，
，
，
将以上等式相加得到
1．
用上述方法计算：其结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由上式可知（1）．故选A．
11．已知a﹣b＝3，ab＝1﹣k．a2+b2＝k+2；
（1）求k的值；
（2）若x2﹣kx+1＝0，求下列各式的值：
①x3﹣2x2﹣2x+5；
②x2．
【答案】（1）k＝3；
（2）①4；②7．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝3，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝9，
∵ab＝1﹣k．a2+b2＝k+2；
∴9＝k+2﹣2（1﹣k），
∴9＝3k，
∴k＝3；
（2）根据（1）k＝3，
∴x2﹣3x+1＝0，
∴x2＝3x﹣1，
①∵x3﹣2x2﹣2x+5
＝x x2﹣2（3x﹣1）﹣2x+5
＝x（3x﹣1）﹣6x+2﹣2x+5
＝3x2﹣x﹣8x+7
＝3（x2﹣3x+1）+4
＝4．
②∵x2﹣3x+1＝0，
∴x≠0，
两边同时除以x得：x﹣30，
∴x3，
∴x2
2
＝32﹣2
＝7．
▉题型4 分式的混合运算
【知识点的认识】
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
12．已知a2+2a＝1．则代数式的值为 6 ．
【答案】6．
【解答】解：把a2+2a＝1两边同除以a整理得：，
∴，
故答案为：6．
13．已知，则x2+x﹣2＝ 27 ．
【答案】27．
【解答】解：∵，
即x﹣x﹣1＝﹣5，
∴（x﹣x﹣1）2＝（﹣5）2，
即x2﹣2+x﹣2＝25．
∴x2+x﹣2＝27，
故答案为：27．
14．若a，则a2 3 ．
【答案】3
【解答】解：∵a，
∴a2（a）2﹣2＝（）2﹣2＝3．
故答案为3．
15．已知x2+ax+1＝0，14，则a＝ ±4 ．
【答案】±4
【解答】解：∵x2+ax+1＝0，
∴x+a0，
则（x）2＝a2，
∴x22＝a2，
∵14，
∴a2＝16，
∴a＝±4．
故答案为：±4．
16．阅读与思考
某中学的数学课堂上，老师和同学正在探究一个数学问题：两个连续整数平方的平均数与它们平均数的平方之间有什么关系呢？
初步探究
（1）为了弄清这个问题，同学们选取两个连续整数5和6，进行探究，为表达方便，设它们平方的平均数为A，平均数的平方为B，则，，发现A≠B，且．同学们又取了一组连续整数8和9进行验证，发现A﹣B的差为 ；
深入思考
（2）根据前面的实验，同学们大胆猜想两个连续整数平方的平均数与它们平均数的平方之间的差为一个固定值，为探究结论的一般性，同学们设两个连续整数分别为n和n+1，进行如下验证：，，请你按同学们的思路完成结论的验证：
发散拓展
（3）按同学们的思路进一步思考：两个相差为a（a为正整数）的正整数的平方的平均数与这两个数平均数的平方的差刚好等于这两个整数的平均数，请用含a的式子表示这两个整数并求出a的最小值．
【答案】（1）；
（2）固定值为；
（3），；4．
【解答】解：（1）A，
B，
∴A﹣B，
∴差值仍为．
故答案为：；
（2），
，
∴A﹣B＝（）﹣（），
∴两个连续整数平方的平均数与它们平均数的平方之间的差为一个固定值，差值恒为；
（3）设这两个数为x和x+a，
A，
B，
∴A﹣B＝（）﹣（），
∴，
解得x，
x+aa，
∵x和a都是正整数，
∴a2﹣2a能被4整除求结果为正，
当a＝4时，x2，符合条件，
更小的a（如a＝3，2，1）不满足整数条件，
∴这两个整数为，，a的最小值为4，此时两个数分别为2和6．
17．已知a2﹣2a﹣1＝0．求：
（1）代数式的值；
（2）代数式a3﹣3a2+a+2025的值．
【答案】（1）6；
（2）2024．
【解答】解：（1）∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a﹣20，
∴a2，
∴（a）2＝4，
∴a22＝4，
∴a26；
（2）∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
∴a3﹣3a2+a+2025
＝a3﹣2a2﹣a2+a+2025
＝a（a2﹣2a）﹣a2+a+2025
＝﹣a2+2a+2025
＝﹣（a2﹣2a）+2025
＝﹣1+2025
＝2024．
18．下面是小康同学进行分式化简的过程，请你认真阅读并完成相应的任务：
（第1步）
（第2步）
（第3步）
（第4步）
（第5步）
（第6步）
任务：
（1）以上化简过程中，第 3 步是分式的通分，通分的依据是 分式的基本性质 ．
（2）以上化简过程中，有一处出现了错误，这一步是第 6 步，错误的原因是 去括号时，括号里的第二项没有乘3 ，并直接写出正确的结果： ．
（3）除纠正上述错误外，就分式化简的过程还需要注意的一些事项，请给同学们提出一条合理化建议．
【答案】（1）3；分式的基本性质；
（2）6；去括号时，括号里的第二项没有乘3；；
（3）分式化简的结果要化成最简分式或整式等．
【解答】解：（1）以上化简过程中，第3步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：3，分式的基本性质；
（2）以上化简过程中，有一处出现了错误，这一步是第6步，错误的原因是去括号时，括号里的第二项没有乘3，
正确的解答过程如下：
；
（3）答案不唯一，如：分式化简的结果要化成最简分式或整式等．
19．已知a≠0，且满足a2﹣3a+1＝0；求：
（1）的值；
（2）a3﹣2a2﹣2a+18的值．
【答案】（1）7；
（2）17．
【解答】解：（1）∵a≠0，且满足a2﹣3a+1＝0，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，a2＝3a﹣1，
∴a3﹣2a2﹣2a+18
＝a a2﹣2a2﹣2a+18
＝a （3a﹣1）﹣2a2﹣2a+18
＝3a2﹣a﹣2a2﹣2a+18
＝a2﹣3a+18
＝﹣1+18＝17．
20．已知a2﹣2a﹣1＝0．求：
（1）代数式a的值；
（2）代数式a2的值；
（3）代数式a3﹣3a2+a+2022的值．
【答案】（1）2；
（2）6；
（3）2021．
【解答】解：（1）∵a2﹣2a﹣1＝0，a≠0，
∴a﹣20，
则a2；
（2）∵a2，
∴（a）2＝4，即a22＝4，
则a26；
（3）∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2＝2a+1，
则原式＝a2 a﹣3a2+a+2022
＝a（2a+1）﹣3a2+a+2022
＝2a2+a﹣3a2+a+2022
＝﹣a2+2a+2022
＝﹣2a﹣1+2a+2022
＝2021．
21．化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝1
＝1
；
（2）
．
22．已知a≠0，且满足a2﹣2a﹣1＝0；求
（1）的值；
（2）a3﹣3a2+a+2023的值；
（3）的值．
【答案】（1）6；
（2）2022；
（3）．
【解答】解：（1）∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝2a，
∵a≠0，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2＝2a+1，a2﹣2a＝1，
∴a3﹣3a2+a+2023
＝a a2﹣3a2+a+2023
＝a （2a+1）﹣3a2+a+2023
＝2a2+a﹣3a2+a+2023
＝﹣a2+2a+2023
＝﹣（a2﹣2a）+2023
＝﹣1+2023
＝2022；
（3）∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2＝2a+1，a2﹣1＝2a，
∴
，
．
▉题型5 分式的化简求值
【知识点的认识】
分式的化简求值是通过约分、通分、因式分解等方法将分式化为最简形式，再代入特定值计算的过程 ．常用方法包括整体代入法、比例系数法等．
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
23．已知：，则 7 ．
【答案】7．
【解答】解：∵x3，
∴（x）2＝9，
即2＝9，
则7．
故答案为：7．
24．已知，则 11 ．
【答案】11．
【解答】解：∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：11．
25．若a2+2a﹣1＝0，则 6 ．
【答案】6．
【解答】解：∵a2+2a﹣1＝0，
∴a≠0，
∴a+20，
∴a2，
∴（a）2＝4，
∴a22＝4，
∴a26．
故答案为：6．
26．，，，……，其中n为正整数，则的值是 ．
【答案】．
【解答】解：∵，，，
，
∴
，
，，
．
故答案为：．
27．已知m+n＝3，则代数式的值为 ．
【答案】．
【解答】解：原式
，
当m+n＝3时，
原式．
故答案为：．
28．已知m2﹣8m+1＝0，则2m2﹣8m 61 ．
【答案】61．
【解答】解：∵m2﹣8m+1＝0，m≠0，
∴m8，m2﹣8m＝﹣1，
两边平方得：（m）2＝64，
∴m22＝64，即m262，
则原式＝（m2﹣8m）+（m2）
＝﹣1+62
＝61．
故答案为：61．
29．已知x7，则代数式x2的值为 51 ．
【答案】51
【解答】解：∵，
∴（x）2＝49，
∴x2﹣249，
∴x251，
故答案为：51．
30．先化简，再求值：，其中a＝1，2，3中选取一个合适的数代入求值．
【答案】，．
【解答】解：
，
由题意得：a≠±1、2、0，
当a＝3时，原式．
31．先化简，再求值：，并从3，2，1这几个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】x+2，3．
【解答】解：原式＝[]
＝（）
＝x+2，
∵x﹣2≠0且x﹣3≠0且x+2≠0，
∴x可以取1，
当x＝1时，原式＝1+2＝3．
32．（1）解不等式，并在数轴上表示解集．
（2）已知x﹣y﹣1＝0，求代数式的值．
【答案】（1）x≤1，画图见解析；
（2）．
【解答】解：（1），
去分母得：2（x+1）﹣（3x﹣5）≥6，
去括号得：2x+2﹣3x+5≥6，
整理得：﹣x≥﹣1，
解得：x≤1，
在数轴上如下：
；
（2）原式
；
∵x﹣y﹣1＝0，
∴x﹣y＝1，
∴原式．
33．阅读下列解答过程：
已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1，求：的值．
解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0，
∴，即，
∴．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知a≠0，且满足（2a+1）（2a﹣1）﹣（a+3）（3a﹣2）＝4，
求：
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）7；
（2）47．
【解答】解：（1）∵（2a+1）（2a﹣1）﹣（a+3）（3a﹣2）＝4，
∴4a2﹣1﹣3a2+2a﹣9a+6＝4，
∴a2﹣7a+1＝0，
∴，
∴；
（2）由（1）可知：，
∴，
∴a2+249，
∴．
34．对于有理数a、b，定义了一种新运算“※”为：a※b如：5※3＝5﹣2×3＝﹣1，1※3＝2×13＝0．
（1）计算：①2※（﹣1）＝ 4 ；②（﹣4）※（﹣3）＝ ﹣6 ．
（2）若关于x的方程（x﹣3）※2+5＝1﹣2x，且x＜3，求解x的值．
（3）若A＝﹣x2﹣14x+10，B＝﹣2x2﹣10x+4，且A※B＝5，求x的值．
【答案】（1）4，﹣6；（2）x；（3）﹣2．
【解答】解：（1）①2※（﹣1）＝2﹣2×（﹣1）＝4；
②（﹣4）※（﹣3）＝2×（﹣4）（﹣3）＝﹣6；
故答案为：4，﹣6；
（2）∵x＜3，
∴x﹣3＜2，
∴（x﹣3）※2＝2（x﹣3）2＝2x，
∵（x﹣3）※2+5＝1﹣2x，
∴2x5＝1﹣2x，
解得x；
（3）A﹣B＝（﹣x2﹣14x+10）﹣（﹣2x2﹣10x+4）＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2＞0，
无论x取何值，恒有A＞B，
∵A※B＝5，
∴（﹣x2﹣14x+10）﹣2（﹣2x2﹣10x+4）＝5，
整理，得3x2+6x﹣3＝0，即x2+2x﹣1＝0，
∴x2﹣1＝﹣2x，
∴x2，
∴x的值为﹣2．
35．综合与实践
已知分式．
（1）试化简这个分式M；
（2）把该分式M化简后的结果的分子与分母同时减去2得到分式N，当x＞5时，分式N的值比原来分式M的值变大了还是变小了？请判断并说明理由；
（3）若M的值是整数，且x也为整数，求出符合条件的所有x值的和．
【答案】（1）；（2）变大了．理由见解析；（3）x的所有整数值的和为22．
【解答】解：（1）
．
；
（2）变大了．
理由：．
M﹣N
．
∵x＞5，
∴x﹣3＞0，x﹣5＞0，
∴（x﹣3）（x﹣5）＞0，
∴，
∴M＜N，
∴分式N的值比原来分式M的值变大了．
（3）．
∵M为整数，x也是整数，
∴x﹣3＝±1，x﹣3＝±2，x﹣3＝±3，x﹣3＝±6．
∵x≠0，x≠2且x≠3，
∴x的值为4或5或1或6或9或﹣3，
∴x的所有整数值的和为4+5+1+6+9+（﹣3）＝22．
36．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，请你从﹣2，﹣1，1中选择一个合适的数代入求值．
【答案】（1）；
（2），当x＝﹣2时，原式＝﹣1．
【解答】解：（1）
；
（2）
，
∵（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x≠﹣1且x≠1，
当x＝﹣2时，原式．
37．（1）已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：a+b的值；
（2）已知：a＞0，，求：的值．
【答案】（1）±1；
（2）6．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25﹣24＝1，
∴a+b＝±1；
（2）∵a＞0，a2，
∴（a）2＝a2﹣24，
∴a26．
38．已知关于x的多项式（x﹣a）（x2+bx﹣2）的展开式中不含一次项，且常数项为2．
（1）求a与b的值．
（2）若y2+ay+b＝0，求的值．
【答案】（1）a＝1，b＝﹣2；
（2）5．
【解答】解：（1）（x﹣a）（x2+bx﹣2），
＝x3+bx2﹣2x﹣ax2﹣abx+2a，
＝x3+（b﹣a）x2﹣（2+ab）x+2a，
∵多项式（x﹣a）（x2+bx﹣2）的展开式中不含一次项，且常数项为2，
∴2+ab＝0且2a＝2，
∴a＝1，b＝﹣2；
（2）由（1）得a＝1，b＝﹣2，
∴y2+y﹣2＝0，
∴y2＝2﹣y，
∴．
39．先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解答】解：
，
当时，．
40．先化简，再求值：，其中x＝2．
【答案】，1．
【解答】解：原式
，
当x＝2时，原式．第9章 9.2 分式的运算
题型1 最简公分母 题型2 分式的乘除法
题型3 分式的加减法 题型4 分式的混合运算
题型5 分式的化简求值
▉题型1 最简公分母
【知识点的认识】
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
1．分式与的最简公分母是（ ）
A．a﹣1 B．3（a﹣1） C．3（a﹣1）2 D．﹣3（a﹣1）2
▉题型2 分式的乘除法
【知识点的认识】
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a3 a3＝2a3 B．a6÷a﹣3＝a3
C．（2ab）3＝2ab3 D．
3．若计算分式的结果为整式，则Δ中的式子可以是（ ）
A．a B．b C．a﹣b D．a+b
4．化简（）2的结果是（ ）
A． B． C．mn3p2 D．mn3p3
5．下列算式中，正确的是（ ）
A．﹣a2÷a a2 B．﹣2a2+3a2＝a
C．﹣（﹣a3）2＝a6 D．（﹣a3b）2＝a6b2
6．已知，则的值是（ ）
A．9 B．11 C．7 D．1
7．数学活动课上，李老师在黑板上写了一个分式的正确演算结果，随后用手捂住了其中的一部分，形式如下：（），求李老师手捂住的部分化简后的结果．
▉题型3 分式的加减法
【知识点的认识】
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
8．计算的结果为（ ）
A．1 B． C．﹣1 D．
9．化简分式，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．观察下列等式：
1，
，
，
将以上等式相加得到
1．
用上述方法计算：其结果为（ ）
A． B． C． D．
11．已知a﹣b＝3，ab＝1﹣k．a2+b2＝k+2；
（1）求k的值；
（2）若x2﹣kx+1＝0，求下列各式的值：
①x3﹣2x2﹣2x+5；
②x2．
▉题型4 分式的混合运算
【知识点的认识】
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
12．已知a2+2a＝1．则代数式的值为 ．
13．已知，则x2+x﹣2＝ ．
14．若a，则a2 ．
15．已知x2+ax+1＝0，14，则a＝ ．
16．阅读与思考
某中学的数学课堂上，老师和同学正在探究一个数学问题：两个连续整数平方的平均数与它们平均数的平方之间有什么关系呢？
初步探究
（1）为了弄清这个问题，同学们选取两个连续整数5和6，进行探究，为表达方便，设它们平方的平均数为A，平均数的平方为B，则，，发现A≠B，且．同学们又取了一组连续整数8和9进行验证，发现A﹣B的差为 ；
深入思考
（2）根据前面的实验，同学们大胆猜想两个连续整数平方的平均数与它们平均数的平方之间的差为一个固定值，为探究结论的一般性，同学们设两个连续整数分别为n和n+1，进行如下验证：，，请你按同学们的思路完成结论的验证：
发散拓展
（3）按同学们的思路进一步思考：两个相差为a（a为正整数）的正整数的平方的平均数与这两个数平均数的平方的差刚好等于这两个整数的平均数，请用含a的式子表示这两个整数并求出a的最小值．
17．已知a2﹣2a﹣1＝0．求：
（1）代数式的值；
（2）代数式a3﹣3a2+a+2025的值．
18．下面是小康同学进行分式化简的过程，请你认真阅读并完成相应的任务：
（第1步）
（第2步）
（第3步）
（第4步）
（第5步）
（第6步）
任务：
（1）以上化简过程中，第 步是分式的通分，通分的依据是 ．
（2）以上化简过程中，有一处出现了错误，这一步是第 步，错误的原因是 ，并直接写出正确的结果： ．
（3）除纠正上述错误外，就分式化简的过程还需要注意的一些事项，请给同学们提出一条合理化建议．
19．已知a≠0，且满足a2﹣3a+1＝0；求：
（1）的值；
（2）a3﹣2a2﹣2a+18的值．
20．已知a2﹣2a﹣1＝0．求：
（1）代数式a的值；
（2）代数式a2的值；
（3）代数式a3﹣3a2+a+2022的值．
21．化简：
（1）；
（2）．
22．已知a≠0，且满足a2﹣2a﹣1＝0；求
（1）的值；
（2）a3﹣3a2+a+2023的值；
（3）的值．
▉题型5 分式的化简求值
【知识点的认识】
分式的化简求值是通过约分、通分、因式分解等方法将分式化为最简形式，再代入特定值计算的过程 ．常用方法包括整体代入法、比例系数法等．
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
23．已知：，则 ．
24．已知，则 ．
25．若a2+2a﹣1＝0，则 ．
26．，，，……，其中n为正整数，则的值是 ．
27．已知m+n＝3，则代数式的值为 ．
28．已知m2﹣8m+1＝0，则2m2﹣8m ．
29．已知x7，则代数式x2的值为 ．
30．先化简，再求值：，其中a＝1，2，3中选取一个合适的数代入求值．
31．先化简，再求值：，并从3，2，1这几个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．
32．（1）解不等式，并在数轴上表示解集．
（2）已知x﹣y﹣1＝0，求代数式的值．
33．阅读下列解答过程：
已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1，求：的值．
解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0，
∴，即，
∴．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知a≠0，且满足（2a+1）（2a﹣1）﹣（a+3）（3a﹣2）＝4，
求：
（1）的值；
（2）的值．
34．对于有理数a、b，定义了一种新运算“※”为：a※b如：5※3＝5﹣2×3＝﹣1，1※3＝2×13＝0．
（1）计算：①2※（﹣1）＝ ；②（﹣4）※（﹣3）＝ ．
（2）若关于x的方程（x﹣3）※2+5＝1﹣2x，且x＜3，求解x的值．
（3）若A＝﹣x2﹣14x+10，B＝﹣2x2﹣10x+4，且A※B＝5，求x的值．
35．综合与实践
已知分式．
（1）试化简这个分式M；
（2）把该分式M化简后的结果的分子与分母同时减去2得到分式N，当x＞5时，分式N的值比原来分式M的值变大了还是变小了？请判断并说明理由；
（3）若M的值是整数，且x也为整数，求出符合条件的所有x值的和．
36．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，请你从﹣2，﹣1，1中选择一个合适的数代入求值．
37．（1）已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：a+b的值；
（2）已知：a＞0，，求：的值．
38．已知关于x的多项式（x﹣a）（x2+bx﹣2）的展开式中不含一次项，且常数项为2．
（1）求a与b的值．
（2）若y2+ay+b＝0，求的值．
39．先化简，再求值：，其中．
40．先化简，再求值：，其中x＝2．
