第8章 8.3 完全平方公式与平方差公式
题型1 完全平方公式 题型2 完全平方公式的几何背景
题型3 平方差公式 题型4 平方差公式的几何背景
▉题型1 完全平方公式
【知识点的认识】
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
1．已知a+b＝5，ab＝6，则a2+b2＝（ ）
A．13 B．19 C．26 D．31
【答案】A
【解答】解：∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25，
∵ab＝6，
∴a2+b2＝25﹣2×6＝13，
故选：A．
2．已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（ ）
A．11 B．13 C．15 D．19
【答案】C
【解答】解：设t＝x﹣2025，则x＝t+2025，
∴（x﹣2023）2＝（t+2025﹣2023）2＝（t+2）2，（x﹣2027）2＝（t+2025﹣2027）2＝（t﹣2）2，
∵（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，
∴（t+2）2+（t﹣2）2＝38，
∴t2+4t+4+（t2﹣4t+4）＝38，
∴t2+4t+4+t2﹣4t+4＝38，
∴2t2+8＝38，
解得：t2＝15，
∴（x﹣2025）2＝（t+2025﹣2025）2＝t2＝15．
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．4a3﹣3a2＝a B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a3 a4＝a12 D．a﹣4÷a﹣6＝a2
【答案】D
【解答】解：根据合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式逐项分析判断如下：
A．4a3、3a2不是同类项不能合并，故原计算错误，不符合题意；
B． （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故原计算错误，不符合题意；
C．a3 a4＝a7，故原计算错误，不符合题意；
D．a﹣4÷a﹣6＝a2，故原计算正确，符合题意；
故选：D．
4．若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ）
A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16
【答案】D
【解答】解：∵4y2﹣my+16是一个完全平方式，
∴﹣my＝±4 y 4，
解得：m＝±16．
故选：D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a）2＝4a2 B．a8÷a4＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．3a2b﹣a2b＝3
【答案】A
【解答】解：（﹣2a）2＝4a2，则A符合题意，
a8÷a4＝a4，则B不符合题意，
（a+b）2＝a2+2ab+b2，则C不符合题意，
3a2b﹣a2b＝2a2b，则D不符合题意，
故选：A．
6．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个长方形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
【答案】A
【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1可知，（a+b）2﹣4ab＝40，即a2+b2＝2ab+40①，
由图2可知，（2a+b）（a+2b）﹣5ab＝100，即a2+b2＝50②，
由①﹣②得2ab+40﹣50＝0，
∴ab＝5，
即长方形的面积为5，
故选：A．
7．某中学开展以“杭州亚运会”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若长方形ABCD的相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解答】解：设AB＝a，BC＝b，
由题意可得，a﹣b＝6，2a2+2b2＝100，
即a﹣b＝6①，a2+b2＝50②，
由①得，a2﹣2ab+b2＝36③，
③﹣②得﹣2ab＝﹣14，
所以ab＝7，
即长方形ABCD的面积为7，
故选：A．
8．如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为a米，b米，其面积之和比剩余面积（阴影部分）多1平方米．则主卧与客卧的周长差为（ ）
A．1米 B．2米 C．4米 D．8米
【答案】C
【解答】解：由题可得：a2+b2＝（a+b）2﹣a2﹣b2+1，
∴a2+b2＝2ab+1，
整理得（a﹣b）2＝1，
∴a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去），
∴主卧与客卧的周长差为：4a﹣4b＝4（a﹣b）＝4×1＝4（米），
故选：C．
9．（2x﹣y）2＝ 4x2﹣4xy+y2 ．
【答案】4x2﹣4xy+y2
【解答】解：（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2．
10．已知a+b＝5，ab＝﹣6，则a2+b2＝ 37 ．
【答案】37．
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝﹣6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25．
∴a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣（﹣12）＝37．
故答案为：37．
11．已知a+b＝7，ab＝12，则a2+b2＝ 25 ．
【答案】25．
【解答】解：∵a+b＝7，ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣24＝25，
故答案为：25．
12．若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为 9 ．
【答案】9
【解答】解：由a+b＝3得a＝3﹣b，
将a＝3﹣b代入a2﹣b2+6b，得：
（3﹣b）2﹣b2+6b＝9﹣6b+b2﹣b2+6b＝9．
故答案为：9．
13．若a+b＝4，a2+b2＝8，则ab＝ 4 ．
【答案】4．
【解答】解：由条件可得，
故答案为：4．
14．已知x2﹣2x＝2，代数式（x﹣1）2+2022＝ 2025 ．
【答案】2025
【解答】解：∵x2﹣2x＝2，
∴（x﹣1）2+2022
＝x2﹣2x+1+2022
＝2+1+2022
＝2025．
故答案为：2025．
15．若（2x+m）2＝4x2+4mx+1，则m的值是 ±1 ．
【答案】±1
【解答】解：（2x+m）2＝4x2+4mx+m2＝4x2+4mx+1，
则m2＝1，
那么m＝±1，
故答案为：±1．
16．用简便方法计算20252﹣4050×2024+20242的结果是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：原式＝20252﹣2×2025×2024+20242
＝（2025﹣2024）2
＝12
＝1．
故答案为：1．
17．【背景】对于两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2中的三个代数式：a±b，a2+b2和ab，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题：
【应用】（1）若（a+b）2＝49，ab＝6，求a﹣b的值；
【迁移】（2）如图，在长方形ABCD中，AB＝14，BC＝10，点E，F分别是边AD，AB上的点，且DE＝BF＝a，分别以AE，AF为边在长方形ABCD外侧作正方形AEMN和正方形APQF，若长方形AFGE的面积为60，求图中两个正方形的面积之和．
【答案】（1）±5；
（2）136．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝49，ab＝6，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝49﹣24＝25，
则a﹣b＝±5；
（2）∵AB＝14，BC＝10，DE＝BF＝a，
∴AE＝10﹣a，AF＝14﹣a，
∵长方形AFGE的面积为60，
∴AE AF＝（10﹣a）（14﹣a）＝60，
∴（10﹣a）2+（14﹣a）2
＝[（10﹣a）﹣（14﹣a）]2+2（10﹣a）（14﹣a）
＝（﹣4）2+2×60
＝16+120
＝136．
18．按要求完成下列各题：
（1）已知实数a、b满足（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝9，求a2+b2﹣ab的值；
（2）已知（2024﹣a）（2025﹣a）＝2047，试求（a﹣2024）2+（2025﹣a）2的值．
【答案】（1）7；（2）4095．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝9，
∴a2+2ab+b2＝1①，a2﹣2ab+b2＝9②，
①+②得：2a2+2b2＝10，
∴a2+b2＝5，
①﹣②得：4ab＝﹣8，
∴ab＝﹣2，
∴a2+b2﹣ab＝5﹣（﹣2）＝5+2＝7；
（2）∵（2024﹣a）（2025﹣a）＝2047，
∴（a﹣2024）（2025﹣a）＝﹣2047，
∵（a﹣2024）2+（2025﹣a）2＝[（a﹣2024）+（2025﹣a）]2﹣2（a﹣2024）2+（2025﹣a）2，
∴（a﹣2024）2+（2025﹣a）2＝12﹣2×（2047）＝1+4094＝4095．
19．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，能够在三个代数式a+b，ab，a2+b2中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2的值．
解：将a+b＝3两边同时平方，得（a+b）2＝32，即a2+2ab+b2＝9．
因为ab＝2，等量代换，得a2+b2+2×2＝9，所以a2+b2＝5．
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）已知a﹣b＝2，a2+b2＝17，则ab＝ ；
（2）如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝6，ab＝9，求图中阴影部分的面积．
（3）若（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣5，求（2025﹣x）2+（x﹣2024）2的值．
【答案】（1）；
（2）9；
（3）11．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝2，a2+b2＝17，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴22＝17﹣2ab，
解得：，
故答案为：；
（2）根据题意可得：
图中阴影部分的面积．
根据题意得a2+2ab+b2＝36，
∵ab＝9，
∴a2+b2+2×9＝36，
即a2+b2＝18．
∴图中阴影部分的面积＝18﹣9＝9．
（3）令2025﹣x＝m，x﹣2024＝n，
则m+n＝2025﹣x+x﹣2024＝1，
∴mn＝﹣5，
∴（2025﹣x）2+（x﹣2024）2
＝m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝12﹣2×（﹣5）
＝11．
▉题型2 完全平方公式的几何背景
【知识点的认识】
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
20．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用（x﹣1）2＝x2﹣2x+1来解释，
故选：A．
21．如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2+2ab+b2＝（a﹣b）2
C．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 D．（a+b）（a+b）＝a2+b2
【答案】A
【解答】解：图甲中：S阴影＝a2﹣2ab+b2，
图乙中：S阴影＝（a﹣b）2，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
故选：A．
22．用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（ ）
A．（2a）2＝4a2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．2a（2a+b）＝4a2+2ab
【答案】C
【解答】解：整体是长为2a，宽为a+b的长方形，因此面积为2a（a+b），
这个长方形是由4个部分组成的，这4个部分的面积和为2a2+2ab，
所以有2a（a+b）＝2a2+2ab，
故选：C．
23．如图，两个正方形的泳池，面积分别是S1和S2，两个泳池的面积之和S1+S2＝20，点B是线段CG上一点，设CG＝6，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．10
【答案】B
【解答】解：设BC＝a，GB＝b，
∵CG＝6，
∴a+b＝6，
∵S1+S2＝20，
∴a2+b2＝20，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴36＝2ab+20，
解得ab＝8，
∴阴影部分的面积为；
故选：B．
24．如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x（x＞y）．则①x﹣y＝n；②xy；③x2﹣y2＝mn中，正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】A
【解答】解：①由图得：x﹣y＝n，故①正确，符合题意；
②由图得：4S矩形＝S大正方形﹣S小正方形，
∴m2﹣n2＝4xy，
即，故②正确，符合题意；
③由图得：x+y＝m，
∵x﹣y＝n，
∴（x+y）（x﹣y）＝mn，
∴x2﹣y2＝mn，故③正确，符合题意；
故正确的是①②③．
故选：A．
25．如图，两个正方形的边长分别为a、b（a＞b），若a+b＝17，ab＝60，则阴影部分的面积是（ ）
A．52.5 B．53.5 C．54.5 D．55.5
【答案】C
【解答】解：∵两个正方形的边长分别为a、b（a＞b），
∴，，，，
∵S阴影＝S正方形ABCD+S正方形CGFE﹣S△ABD﹣S△BGF，
∴，
∵a+b＝17，ab＝60，
∴（a+b）2＝172，即a2+2ab+b2＝289，
∴a2+b2＝289﹣2×60＝169，
∴，
故选：C．
26．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝20，ab＝30，则阴影部分的面积为 155 ．
【答案】155
【解答】解：由图形面积之间的关系可得：
S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形EFGC﹣S△ABD﹣S△BFG，
＝a2+b2a2b（a+b）
a2b2ab，
[（a+b）2﹣3ab]，
（202﹣3×30），
＝155，
故答案为：155．
27．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为10，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为 27 ．
【答案】27．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形乙的边长为b，
由题意可得，a+b＝10，（a﹣b）2＝4，
解得：a＝6，b＝4，
∴S阴影部分＝S正方形甲+S正方形乙﹣S△EFH﹣S△ADH
＝a2+b2AD AHEF．HE
＝a2+b2ab
＝36+16﹣15﹣10
＝27．
故答案为：27．
28．“筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图，某小区内有一块长为（3a﹣b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化．
（1）求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）；
（2）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．
【答案】（1）（5a2﹣ab﹣2b2）平方米；
（2）40平方米．
【解答】解：（1）依题意得：
（3a﹣b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+3ab﹣2ab﹣b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝（5a2﹣ab﹣2b2）平方米．
答：绿化面积是（5a2﹣ab﹣2b2）平方米；
（2）当a＝3，b＝1时，
5a2﹣ab﹣2b2
＝5×32﹣3×1﹣2×12
＝45﹣3﹣2
＝40（平方米）．
答：绿化面积是40平方米．
29．如图，一块长方形铁皮的长为（7a+b），宽为（5a+3b）将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为（a+b）的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．
（1）求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示）
（2）当a＝2，b＝1时，求这个盒子底面的面积．
【答案】（1）15a2+2ab﹣b2；（2）63．
【解答】解：（1）根据题意可知，盒子底面的面积为：[（7a+b）﹣2（a+b）][（5a+3b）﹣2（a+b）]
＝（7a+b﹣2a﹣2b）（5a+3b﹣2a﹣2b）
＝（5a﹣b）（3a+b）
＝15a2+2ab﹣b2；
（2）当a＝2，b＝1时，
盒子底面的面积为：15×22+2×2×1﹣12＝60+4﹣1＝63．
30．综合与实践：
学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形；
（1）①利用图2可得等式：（a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式： （a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 ．
（2）请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为（2a+b）（a+3b），（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式： （2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2 ．
【问题解决】
（3）已知a+b＝7，ab＝4，利用（1）中①得到的等式求代数式a2+b2的值．
【拓展延伸】
（4）如图5，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形BCFG，已知AB＝8，两正方形的面积和24，请直接写出图中阴影部分的面积．
【答案】（1）①a2+2ab+b2；②（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（2）画图见解析，（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2；
（3）41（4）10．
【解答】解：（1）①结合图形可得大正方形的边长为a+b，是由两个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为a，一个边长为b的小正方形组成，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：a2+2ab+b2；
②结合图形可得大长方形的边长为a+2b，宽为a+b，是由三个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为a，两个边长为b的小正方形组成，
∴（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（2）面积为（2a+b）（a+3b）的长方形的长为a+3b，宽为2a+b；
如图所示：
拼成的长方形由7个长为a，宽为b的小长方形和2个边长为a，3个边长为b的小正方形组成，
∴（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2，
故答案为：（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2；
（3）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，a+b＝7，ab＝4，
∴72＝a2+2×4+b2，
∴a2+b2＝49﹣8＝41；
（4）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，
则，
∵AB＝8，
∴a+b＝8，
∵两正方形的面积和24，
∴a2+b2＝24，
∵，
∴阴影部分的面积为．
31．某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题：在长方形ABCD中，AD长为am，AB长为bm，且a＞b．
（1）若该长方形的周长为8m，面积为3m2，求a2+b2的值；
（2）若a，b满足a2+ab＝10，b2+ab＝6，求a﹣b的值；
（3）为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为216m2的长方形空地ABCD中划出长方形AEFG和长方形JKCL，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为3m，宽为2m的长方形水池JNFM（JM＞JN），将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为50m，求AB和AD的长．
【答案】（1）a2+b2的值为10m2；
（2）a﹣b的值为1m；
（3）AB的长为12m，AD的长为18m．
【解答】解：（1）∵AD＝am，AB＝bm，长方形的周长为8m，面积为3m2，
∴2（a+b）＝8，ab＝3，
即a+b＝4，ab＝3，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝42﹣2×3
＝16﹣6
＝10，
答：a2+b2的值为10m2；
（2）∵a2+ab＝10，b2+ab＝6，
∴a2+ab﹣（b2+ab）＝4，a2+ab+ab+b2＝16，
∴a2﹣b2＝4，（a+b）2＝16，
∵a＞b＞0，
∴（a﹣b）（a+b）＝4，a+b＝4，
∴a﹣b＝1，
答：a﹣b的值为1m；
（3）∵阴影部分的区域总周长为50m，长方形JMFN长为3，宽为2，
∴50＝2（DL+GD）+2（NK+BK）
＝2[（DL+NK）+（GD+BK）]
＝2[（b﹣MF）+（a﹣JM）]
＝2[b﹣2+a﹣3]
＝2（a+b﹣5），
即a+b＝30，
∴（a+b）2＝900，
∵长方形ABCD的面积为216m2，
∴ab＝216，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝900﹣2×216＝468，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝468﹣2×216＝36，
∵a＞b，
∴a﹣b＝6，
∴，
解得a＝18，b＝12，
答：AB的长为12m，AD的长为18m．
32．如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为（3a+2b）m，宽为（2a+b）m；另一块长为（a+b）m，宽为（a﹣b）m．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为（a﹣b）m的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．
（1）求计划种植草坪的面积；
（2）已知a＝30，b＝10，若种植草坪的价格为30元/m2，求种植草坪应投入的资金是多少元？
【答案】（1）计划种植草坪的面积为（6a2+9ab）m2；（2）种植草坪应投入的资金是243000元．
【解答】解：（1）两块空地总面积：（3a+2b）×（2a+b）+（a+b）×（a﹣b），
＝6a2+7ab+2b2+a2﹣b2
＝7a2+7ab+b2，
栽花面积：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
草坪面积：7a2+7ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝6a2+9ab．
（2）a＝30，b＝10，草坪价格为30元/m2，
应投入的资金＝（6a2+9ab）×30＝（6×302+9×30×10）×30＝243000元．
33．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）直接应用：若xy＝7，x+y＝8，直接写出x2+y2的值 50 ；
（2）类比应用：填空：①若x（5﹣x）＝6，则x2+（x﹣5）2＝ 13 ；
②若（x﹣2021）（x﹣2025）＝2，则（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝ 20 ；
（3）知识迁移：两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60，求四边形ABCD的面积．
（4）深度思考：通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．如图，表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后再重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1） ．
【答案】（1）50；
（2）①13；②20；
（3）128；
（4）x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．
【解答】解：（1）∵xy＝7，x+y＝8，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝64﹣14＝50，
故答案为：50；
（2）①设a＝x，b＝5﹣x，则a+b＝5，ab＝x（5﹣x）＝6，
∴x2+（x﹣5）2＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝25﹣12
＝13，
故答案为：13；
②设m＝x﹣2021，n＝x﹣2025，则mn＝（x﹣2021）（x﹣2025）＝2，m﹣n＝4，
∴（x﹣2021）2+（x﹣2025）2
＝m2+n2
＝（m﹣n）2+2mn
＝16+4
＝20，
故答案为：20；
（3）设OA＝p，OD＝q，
∵AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60，
∴p+q＝OA+OD＝AD＝16，p2q2＝60，
即p+q＝16，p2+q2＝120，
∵（p+q）2＝p2+2pq+q2，
∴256＝120+2pq，
解得pq＝68，
∴S四边形ABCD＝S△AOC+S△BOD+S△AOB+S△COD
p2q2pqpq
＝60+68
＝128；
（4）图3中的几何体的体积可以看作两个几何体体积的差，即x x x﹣1×1×x＝x3﹣x，拼成的右图的体积为x（x+1）（x﹣1），
所以有x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．
34．如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为（a+b）米的正方形．
（1）计算广场上需要硬化部分的面积；
（2）若a＝20，b＝8，求硬化部分的面积．
【答案】（1）（ 5a2+3ab）平方米；
（2）2480（平方米）．
【解答】解：（1）由题意得，
硬化部分的面积为（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝（ 5a2+3ab）平方米；
（2）当a＝20，b＝8时，
原式＝5×202+3×20×8 ＝2480（平方米）．
▉题型3 平方差公式
【知识点的认识】
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
35．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） B．（a+3b）（a+3b）
C．（a﹣3b）（﹣a﹣3b） D．（3a﹣4b）（4a+3b）
【答案】C
【解答】解：（2a﹣3b）（﹣2a+3b）＝﹣（2a﹣3b）（2a﹣3b），不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它不能用平方差公式计算，则A不符合题意，
（a+3b）（a+3b）不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它不能用平方差公式计算，则B不符合题意，
（a﹣3b）（﹣a﹣3b）＝﹣（a﹣3b）（a+3b），符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它能用平方差公式计算，则C符合题意，
（3a﹣4b）（4a+3b）不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它不能用平方差公式计算，则D不符合题意，
故选：C．
36．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（x+1）（x﹣1）
C．（3x﹣y）（﹣3x+y） D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）
【答案】D
【解答】解：∵（2a+b）（2b﹣a）不符合平方差公式的特点，∴选项A不符合题意；
∵（x+1）（x﹣1）＝﹣（x+1）2，∴选项B不符合题意；
∵（3x﹣y）（﹣3x+y）＝﹣（3x﹣y）2，∴选项C不符合题意；
∵（﹣m+n）（﹣m﹣n）＝（﹣m）2﹣n2，∴选项D符合题意；
故选：D．
37．在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） B．（﹣3a+4b）（﹣4b﹣3a）
C．（a+1）（﹣a﹣1） D．（a2﹣b）（a+b2）
【答案】B
【解答】解：可以用平方差公式计算的只有B．
故选：B．
38．下列式子不能成立的有（ ）个．
①（x﹣y）2＝（y﹣x）2 ②（x﹣2y）2＝x2﹣2y2 ③（x﹣y）3＝（y﹣x）（x﹣y）2
④（x+y）（x﹣y）＝（﹣x﹣y）（﹣x+y） ⑤1﹣（1+x）2＝﹣x2﹣2x
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：①左边＝（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
右边＝（y﹣x）2＝x2﹣2xy+y2，
左边＝右边，故（x﹣y）2＝（y﹣x）2成立，不符合题意；
②左边＝（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2，
右边＝x2﹣2y2，
左边≠右边，故（x﹣2y）2＝x2﹣2y2不成立，符合题意；
③左边＝（x﹣y）3，
右边＝（y﹣x）（x﹣y）2＝﹣（x﹣y）（x﹣y）2＝﹣（x﹣y）3，
左边≠右边，故（x﹣y）3＝（y﹣x）（x﹣y）2不成立，符合题意；
④左边＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
右边＝（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2，
左边＝右边，故（x+y）（x﹣y）＝（﹣x﹣y）（﹣x+y）成立，不符合题意；
⑤左边＝1﹣（1+x）2＝﹣x2﹣2x，
右边＝﹣x2﹣2x，
左边＝右边，故1﹣（1+x）2＝﹣x2﹣2x成立，不符合题意；
故选：B．
39．已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定
【答案】A
【解答】解：∵M＝20242，N＝2023×2025＝（2024﹣1）（2024+1）＝20242﹣1，
20242﹣（20242﹣1）＝1＞0，
∴M＞N．
故选：A．
40．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b）
C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b）
【答案】B
【解答】解：A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选：B．
41．下列各多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（x+y） B．（2x+y）（2x﹣y）
C．（x2﹣xy）（x2+xy） D．（x+y+m）（x﹣y﹣m）
【答案】A
【解答】解：A、（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2，符合题意；
B、（2x+y）（2x﹣y）＝（2x）2﹣y2＝4x2﹣y2，不符合题意；
C、（x2﹣xy）（x2+xy）＝（x2）2﹣（xy）2＝x4﹣x2y2，不符合题意；
D、（x+y+m）（x﹣y﹣m）＝x2﹣（y+m）2＝x2﹣y2﹣2ym﹣m2，不符合题意．
故选：A．
42．下列能用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（3x﹣2）（2x+3） B．（﹣x+y）（x﹣y）
C． D．（﹣3 m+n）（﹣3 m﹣n）
【答案】D
【解答】解：A、（3x﹣2）（2x+3）两个二项式的中相同的项和互为相反数的项都不存在，不能用平方差公式计算，故不符合题意；
B、（﹣x+y）（x﹣y）两个二项式中的两项均互为相反数，不能用平方差公式计算，故不符合题意；
C、两个二项式中有的两项均互为相反数，不能用平方差公式计算，故不符合题意；
D、（﹣3 m+n）（﹣3 m﹣n）两个二项式中存在移项相同、另一项互为相反数，能用平方差公式计算，故符合题意．
故选：D．
43．如果x+y＝6，x2﹣y2＝24，那么y﹣x的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6
【答案】A
【解答】解：∵x+y＝6，x2﹣y2＝24，
∴（x+y）（x﹣y）＝24，
∴6（x﹣y）＝24，
∴x﹣y＝4，
∴y﹣x＝﹣4，
故选：A．
44．为了应用平方差公式计算（x+y+z）（y﹣x﹣z），下列变形正确的是（ ）
A．[x﹣（y+z）]2 B．[x+（y+z）][x﹣（y+z）]
C．[y+（x+z）][y﹣（x+z）] D．[z+（x+y）][z﹣（x+y）]
【答案】C
【解答】解：原式＝[y+（x+z）][y﹣（x+z）]．
故选：C．
45．下列各式能用平方差公式运算的是（ ）
A． B．（x+2）（2+x）
C．（﹣a+b）（b﹣a） D．（x﹣2）（x+1）
【答案】A
【解答】解：（y）（y）＝（y）（y）符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则A符合题意，
（x+2）（2+x）＝（x+2）（x+2）不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则B不符合题意，
（﹣a+b）（b﹣a）＝（b﹣a）（b﹣a）不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则C不符合题意，
（x﹣2）（x+1）不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则D不符合题意，
故选：A．
46．等式（y﹣x）_____＝y2﹣x2成立，横线内应填入下式中的（ ）
A．x﹣y B．y﹣x C．﹣x﹣y D．x+y
【答案】D
【解答】解：∵（y﹣x）（y+x）＝y2﹣x2，
∴横线内应填入（y+x）．
故选：D．
47．若a＝20220，b＝2021×2023﹣20222，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【答案】D
【解答】解：由题意得，a＝20220＝1＞0；
b＝2021×2023﹣20222＝（2022﹣1）×（2022+1）﹣20222＝20222﹣1﹣20222＝﹣1＜0；
[（）]2022×（）0，
∵﹣11，
∴a，b，c的大小关系是：b＜c＜a，
故选：D．
48．定义新运算“*”，对于任意实数a，b都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如：5*4＝（5+4）（5﹣4）﹣1＝9﹣1＝8．若x*2＝4x，则x2﹣4x＝ 5 ．
【答案】5．
【解答】解：根据新运算的定义列出等式可得：（x+2）（x﹣2）﹣1＝4x，
整理得：x2﹣4x﹣5＝0，
∴x2﹣4x＝5．
故答案为：5．
49．计算：
（1）；
（2）102×98（利用整式乘法公式计算）．
【答案】（1）﹣1；
（2）9996．
【解答】解：（1）原式＝﹣4+1﹣（﹣2）
＝﹣3+2
＝﹣1；
（2）原式＝（100+2）（100﹣2）
＝1002﹣22
＝10000﹣4
＝9996．
50．（1）【观察】
①（x﹣1）（x+1）＝ x2﹣1 ；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝ x3﹣1 ；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ x4﹣1 ；…
（2）【猜想】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝ xn+1﹣1 ；
（3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值．
【答案】（1）x2﹣1，x3﹣1，x4﹣1；
（2）xn+1﹣1；
（3）．
【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣x﹣1＝x4﹣1；
故答案为：x2﹣1，x3﹣1，x4﹣1；
（2）由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1；
故答案为：xn+1﹣1；
（3）原式（5﹣1）×（52024+52023+52022+52021+…+5+1）
（52025﹣1）
．
51．观察：
22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+13；
42﹣32+22﹣12＝（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝4+3+2+110；
…
探究：
（1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝ 36 （直接写答案）；
（2）求（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+…+22﹣12的值；
应用：
（3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π）
【答案】（1）36；
（2）2n2+n；
（3）55πcm2．
【解答】解：（1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣1236，
故答案为：36；
（2）（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+…+22﹣122n2+n；
（3）102π﹣92π+…﹣32π+22π﹣π
＝（102﹣92+…﹣32+22﹣1）π
＝（10+9+…+3+2+1）π
＝55π（cm2）．
52．简便计算：
（1）；
（2）899×901+1；
（3）2012；
（4）20242﹣4050×2024+20252．
【答案】（1）；
（2）810000；
（3）40401；
（4）1．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式＝（900﹣1）×（900+1）+1
＝9002﹣1+1
＝810000；
（3）原式＝（200+1）2
＝2002+2×200×1+12
＝40000+400+1
＝40401；
（4）原式＝20242﹣2×2025×2024+20252
＝（2024﹣2025）2
＝（﹣1）2
＝1．
53．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： （a+b）2﹣4ab ，方法2： （a﹣b）2 ；
（2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是 （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ；
（3）若a﹣b＝5，ab＝2，则（a+b）2＝ 33 ；
【知识迁移】（4）如图5，正方形ABCD和正方形EFGH边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝6，ab＝6，E是AB的中点，则图中的阴影部分面积的和是 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）方法1：（a+b）2﹣4ab，方法2：（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab，（a﹣b）2；
（2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，、
故答案为：）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）∵a﹣b＝5，ab＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25+8＝33，
故答案为：33．
（4）阴影部分面积等于
，
∵a+b＝6，ab＝6，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×6＝12，
∴阴影部分面积等于12＝3．
故答案为：3．
▉题型4 平方差公式的几何背景
【知识点的认识】
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
54．从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【答案】D
【解答】解：图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），
∵两图中阴影部分的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴可以验证成立的公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
55．一位庄园主把一块边长为a米的正方形土地租给租户，第二年，他对租户说：“我把这块地的一组对边增加10米，一组对边减少10米，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果这样，你觉得租户的租地面积会（ ）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵长方形的长为（a+10）米，长方形的宽为（a﹣10）米，
∴长方形的面积为（a+10）（a﹣10）＝a2﹣100，
∴长方形的面积比正方形的面积a2小了100平方米，
故选：A．
56．如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中实线剪开后排成如图②所示的长方形，通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【答案】A
【解答】解：阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
57．已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
【答案】A
【解答】解：由图1得：正方形ABCD的面积是a2，正方形FGCH的面积是b2，
∴阴影部分的面积是a2﹣b2，
由图2得：AH＝AB+FH＝a+b，AE＝AD﹣DE＝a﹣b，
∴长方形AHDE的面积即阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：A．
58．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分剪拼成一个长方形，可以得到一个关于a，b的恒等式（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
【答案】A
【解答】解：挖掉小正方形后的面积＝a2﹣b2，
新的长方形的面积＝（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
59．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＜b），再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，表示下列式子成立的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
【答案】A
【解答】解：图①阴影部分面积为：a2﹣b2，图②阴影部分面积为：（2a+2b）（a﹣b）2（a+b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
60．某古书记载有一个狡猾的地主，把一块边长为am的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把这块地的一边减少10m，另一边增加10m，变成长方形继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用学过的相关知识分析一下，马老汉租用的土地面积少了 100 m2．
【答案】100．
【解答】解：原来的面积是：a2 （m2），
后来的面积是：（a+10）（a﹣10）＝（a2﹣100）m2，
∵a2﹣（a2﹣100）＝100，
∴马老汉租用的土地面积少了100m2．
故答案为：100．第8章 8.3 完全平方公式与平方差公式
题型1 完全平方公式 题型2 完全平方公式的几何背景
题型3 平方差公式 题型4 平方差公式的几何背景
▉题型1 完全平方公式
【知识点的认识】
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
1．已知a+b＝5，ab＝6，则a2+b2＝（ ）
A．13 B．19 C．26 D．31
2．已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（ ）
A．11 B．13 C．15 D．19
3．下列计算正确的是（ ）
A．4a3﹣3a2＝a B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a3 a4＝a12 D．a﹣4÷a﹣6＝a2
4．若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ）
A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16
5．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a）2＝4a2 B．a8÷a4＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．3a2b﹣a2b＝3
6．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个长方形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
7．某中学开展以“杭州亚运会”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若长方形ABCD的相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为a米，b米，其面积之和比剩余面积（阴影部分）多1平方米．则主卧与客卧的周长差为（ ）
A．1米 B．2米 C．4米 D．8米
9．（2x﹣y）2＝ ．
10．已知a+b＝5，ab＝﹣6，则a2+b2＝ ．
11．已知a+b＝7，ab＝12，则a2+b2＝ ．
12．若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为 ．
13．若a+b＝4，a2+b2＝8，则ab＝ ．
14．已知x2﹣2x＝2，代数式（x﹣1）2+2022＝ ．
15．若（2x+m）2＝4x2+4mx+1，则m的值是 ．
16．用简便方法计算20252﹣4050×2024+20242的结果是 ．
17．【背景】对于两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2中的三个代数式：a±b，a2+b2和ab，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题：
【应用】（1）若（a+b）2＝49，ab＝6，求a﹣b的值；
【迁移】（2）如图，在长方形ABCD中，AB＝14，BC＝10，点E，F分别是边AD，AB上的点，且DE＝BF＝a，分别以AE，AF为边在长方形ABCD外侧作正方形AEMN和正方形APQF，若长方形AFGE的面积为60，求图中两个正方形的面积之和．
18．按要求完成下列各题：
（1）已知实数a、b满足（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝9，求a2+b2﹣ab的值；
（2）已知（2024﹣a）（2025﹣a）＝2047，试求（a﹣2024）2+（2025﹣a）2的值．
19．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，能够在三个代数式a+b，ab，a2+b2中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2的值．
解：将a+b＝3两边同时平方，得（a+b）2＝32，即a2+2ab+b2＝9．
因为ab＝2，等量代换，得a2+b2+2×2＝9，所以a2+b2＝5．
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）已知a﹣b＝2，a2+b2＝17，则ab＝ ；
（2）如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝6，ab＝9，求图中阴影部分的面积．
（3）若（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣5，求（2025﹣x）2+（x﹣2024）2的值．
▉题型2 完全平方公式的几何背景
【知识点的认识】
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
20．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（ ）
A． B．
C． D．
21．如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2+2ab+b2＝（a﹣b）2
C．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 D．（a+b）（a+b）＝a2+b2
22．用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（ ）
A．（2a）2＝4a2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．2a（2a+b）＝4a2+2ab
23．如图，两个正方形的泳池，面积分别是S1和S2，两个泳池的面积之和S1+S2＝20，点B是线段CG上一点，设CG＝6，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．10
24．如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x（x＞y）．则①x﹣y＝n；②xy；③x2﹣y2＝mn中，正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
25．如图，两个正方形的边长分别为a、b（a＞b），若a+b＝17，ab＝60，则阴影部分的面积是（ ）
A．52.5 B．53.5 C．54.5 D．55.5
26．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝20，ab＝30，则阴影部分的面积为 ．
27．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为10，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为 ．
28．“筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图，某小区内有一块长为（3a﹣b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化．
（1）求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）；
（2）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．
29．如图，一块长方形铁皮的长为（7a+b），宽为（5a+3b）将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为（a+b）的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．
（1）求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示）
（2）当a＝2，b＝1时，求这个盒子底面的面积．
30．综合与实践：
学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形；
（1）①利用图2可得等式：（a+b）2＝ ；
②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式： ．
（2）请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为（2a+b）（a+3b），（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式： ．
【问题解决】
（3）已知a+b＝7，ab＝4，利用（1）中①得到的等式求代数式a2+b2的值．
【拓展延伸】
（4）如图5，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形BCFG，已知AB＝8，两正方形的面积和24，请直接写出图中阴影部分的面积．
31．某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题：在长方形ABCD中，AD长为am，AB长为bm，且a＞b．
（1）若该长方形的周长为8m，面积为3m2，求a2+b2的值；
（2）若a，b满足a2+ab＝10，b2+ab＝6，求a﹣b的值；
（3）为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为216m2的长方形空地ABCD中划出长方形AEFG和长方形JKCL，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为3m，宽为2m的长方形水池JNFM（JM＞JN），将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为50m，求AB和AD的长．
32．如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为（3a+2b）m，宽为（2a+b）m；另一块长为（a+b）m，宽为（a﹣b）m．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为（a﹣b）m的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．
（1）求计划种植草坪的面积；
（2）已知a＝30，b＝10，若种植草坪的价格为30元/m2，求种植草坪应投入的资金是多少元？
33．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）直接应用：若xy＝7，x+y＝8，直接写出x2+y2的值 ；
（2）类比应用：填空：①若x（5﹣x）＝6，则x2+（x﹣5）2＝ ；
②若（x﹣2021）（x﹣2025）＝2，则（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝ ；
（3）知识迁移：两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60，求四边形ABCD的面积．
（4）深度思考：通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．如图，表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后再重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．
34．如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为（a+b）米的正方形．
（1）计算广场上需要硬化部分的面积；
（2）若a＝20，b＝8，求硬化部分的面积．
▉题型3 平方差公式
【知识点的认识】
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
35．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） B．（a+3b）（a+3b）
C．（a﹣3b）（﹣a﹣3b） D．（3a﹣4b）（4a+3b）
36．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（x+1）（x﹣1）
C．（3x﹣y）（﹣3x+y） D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）
37．在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） B．（﹣3a+4b）（﹣4b﹣3a）
C．（a+1）（﹣a﹣1） D．（a2﹣b）（a+b2）
38．下列式子不能成立的有（ ）个．
①（x﹣y）2＝（y﹣x）2 ②（x﹣2y）2＝x2﹣2y2 ③（x﹣y）3＝（y﹣x）（x﹣y）2
④（x+y）（x﹣y）＝（﹣x﹣y）（﹣x+y） ⑤1﹣（1+x）2＝﹣x2﹣2x
A．1 B．2 C．3 D．4
39．已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定
40．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b）
C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b）
41．下列各多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（x+y） B．（2x+y）（2x﹣y）
C．（x2﹣xy）（x2+xy） D．（x+y+m）（x﹣y﹣m）
42．下列能用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（3x﹣2）（2x+3） B．（﹣x+y）（x﹣y）
C． D．（﹣3 m+n）（﹣3 m﹣n）
43．如果x+y＝6，x2﹣y2＝24，那么y﹣x的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6
44．为了应用平方差公式计算（x+y+z）（y﹣x﹣z），下列变形正确的是（ ）
A．[x﹣（y+z）]2 B．[x+（y+z）][x﹣（y+z）]
C．[y+（x+z）][y﹣（x+z）] D．[z+（x+y）][z﹣（x+y）]
45．下列各式能用平方差公式运算的是（ ）
A． B．（x+2）（2+x）
C．（﹣a+b）（b﹣a） D．（x﹣2）（x+1）
46．等式（y﹣x）_____＝y2﹣x2成立，横线内应填入下式中的（ ）
A．x﹣y B．y﹣x C．﹣x﹣y D．x+y
47．若a＝20220，b＝2021×2023﹣20222，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
48．定义新运算“*”，对于任意实数a，b都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如：5*4＝（5+4）（5﹣4）﹣1＝9﹣1＝8．若x*2＝4x，则x2﹣4x＝ ．
49．计算：
（1）；
（2）102×98（利用整式乘法公式计算）．
50．（1）【观察】
①（x﹣1）（x+1）＝ ；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；…
（2）【猜想】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝ ；
（3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值．
51．观察：
22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+13；
42﹣32+22﹣12＝（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝4+3+2+110；
…
探究：
（1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝ （直接写答案）；
（2）求（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+…+22﹣12的值；
应用：
（3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π）
52．简便计算：
（1）；
（2）899×901+1；
（3）2012；
（4）20242﹣4050×2024+20252．
53．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是 ；
（3）若a﹣b＝5，ab＝2，则（a+b）2＝ ；
【知识迁移】（4）如图5，正方形ABCD和正方形EFGH边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝6，ab＝6，E是AB的中点，则图中的阴影部分面积的和是 ．
▉题型4 平方差公式的几何背景
【知识点的认识】
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
54．从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
55．一位庄园主把一块边长为a米的正方形土地租给租户，第二年，他对租户说：“我把这块地的一组对边增加10米，一组对边减少10米，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果这样，你觉得租户的租地面积会（ ）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
56．如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中实线剪开后排成如图②所示的长方形，通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
57．已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
58．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分剪拼成一个长方形，可以得到一个关于a，b的恒等式（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
59．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＜b），再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，表示下列式子成立的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
60．某古书记载有一个狡猾的地主，把一块边长为am的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把这块地的一边减少10m，另一边增加10m，变成长方形继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用学过的相关知识分析一下，马老汉租用的土地面积少了
m2．
