21.1 四边形及多边形 同步练习（含答案）初中数学人教版（2024）八年级下册

21.1 《四边形及多边形》
一、单选题
1．若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角为（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
2．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．若连接多边形一个顶点与其他不相邻顶点的线段，可将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　）
A．15° B．20° C．30° D．40°
6．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD，EH，AE，DH，AE与DH交于点O，则∠DAO的度数是（　　）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
7．在四边形纸片ABCD中，将纸片沿EF折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片FMNE沿BC折叠得到如图2所示图形，若∠FGP＝2∠BGF，则∠PGC的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
8．某同学用5根相同的小木棍首尾顺次相接组成了五边形，固定边CD，将点A向下推，使点B，A，E共线，形成四边形，如图所示，则此变化过程中（　　）
A．内角和减少了360° B．内角和增加了180°
C．外角和减少了180° D．外角和不变
9．如图，连接AC，若∠B+∠C+∠D+∠E＝3∠A+20°，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．36° C．40° D．45°
10．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图2中，∠EAC的大小是（　　）
A．36° B．54° C．72° D．108°
二、填空题
11．过m边形的一个顶点有8条对角线，n边形没有对角线，则（m﹣n）的值为　 　 ．
12．如图，直线OQ与正五边形ABCDE两边交于O、Q两点，则∠1+∠2的度数为 　 　 ．
13．一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若AB、AC分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则∠BAC的度数为　 　 ．
14．如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 　 　 米．
15．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中Dn表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形ABCD，有两种剖分方式（即：D4＝2），请你用上面的公式计算D6＝　 　 ．
三、解答题
16．正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正x边形的内角和为1080°，边长为2．
（1）求正x边形的周长；
（2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值．
17．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）多加的那个外角为多少度？
18．如图是一个五角星．
（1）∠1是三角形 的外角，∠2是三角形 的外角．
（2）请利用三角形的外角与内角的关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
19．请仔细观察图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… n
从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ① 　
多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 …… ②　 　
（1）观察探究：请自己观察图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整．
（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
20．综合与探究
【感知】如图1，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
【应用】
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BPC＝　 　 ；若∠BAC＝70°，则∠BPC＝　 　 ；
（2）求∠BPC与∠A之间的关系并证明；
【拓展】
（3）如图2，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BPC与∠A+∠D的数量关系．
参考答案
一、单选题
1．B
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
180（n﹣2）＝720，
解得：n＝6，
360°÷6＝60°．
故选：B．
2．A
【解答】解：9﹣3＝6（条）．
故选：A．
3．B
【解答】解：5+2＝7（边）．
故选：B．
4．C
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180 （n﹣2）＝3×360，
解得n＝8．
故选：C．
5．B
【解答】解：延长FA与直线b交于点H，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∴∠2＝∠H，
∵a∥b，
∴∠3＝∠H，
∴∠2＝∠3＝180°﹣∠F﹣∠1＝180°﹣120°﹣40°＝20°，
若∠1＝40°，则∠2的度数是20°．
故选：B．
6．B
【解答】解：如图，由正八边形的对称性可知，点O是正八边形的中心，
所以∠DAO∠DOE22.5°，
故选：B．
7．C
【解答】解：设图1中BC，FM交于点G，所以∠FGB＝∠CGM，
∴折叠，
∴图2中，∠CGM＝∠PGC，
∴∠FGB＝∠CGM＝∠PGC，
∵∠FGP＝2∠BGF，
∴∠FGP+∠BGF+∠PGC＝4∠PGC＝180°，
∴∠PGC＝45°．
故选：C．
8．D
【解答】解：变化过程中，外角和不变，都是360°，内角和减少了180°．
故选项D正确．
故选：D．
9．C
【解答】解：设AC和BE交于点F，AD和BE交于点G，
∴∠AGB是△BDG的外角，∠AFE是△EFC的外角，
∴∠AGB＝∠B+∠D，∠AFE＝∠C+∠E，
由条件可知∠AGB+∠AFE＝∠B+∠C+∠D+∠E＝3∠A+20°，
∵∠AGB+∠AFE+∠A＝180°，
∴3∠A+20°+∠A＝180°，
解得∠A＝40°，
故选：C．
10．C
【解答】解：由条件可知，
∵AB＝BC，
∴，
∴∠EAC＝108°﹣36°＝72°，
故选：C．
二、填空题
11．8．
【解答】解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线，
∴m﹣3＝8，
∴m＝11，
∵n边形没有对角线，
∴n＝3，
∴m﹣n＝8．
故答案为：8．
12．144°
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每个内角的度数为：，
∴∠A＝∠E＝108°，
∵∠A+∠E+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣108°﹣108°＝144°，
故答案为：144°．
13．114°．
【解答】解：根据题意可知，正五边形的内角为：，
正六边形的内角为：，
AB、AC分别平分正八边形与正六边形的一个内角，
∴．
故答案为：114°．
14．20
【解答】解：由图可知小明回到出发点时走了一个正多边形，且每个外角是36°，
由360°÷36＝10可知是正十边形，有10条相等的边，
∴小明一共走了10×2＝20米，
故答案为：20．
15．14．
【解答】解：用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．
∵D4＝2，，
∴D5＝5，
∵，
∴D6＝14；
故答案为：14．
三、解答题
16．解：（1）由多边形内角和的计算方法可得，
180°×（x﹣2）＝1080°，
解得x＝8，
即这个正多边形为正八边形，
所以正八边形的周长为8×2＝16；
（2）由于正八边形每个内角的度数为1080°÷8＝135°，
正n边形的每个外角的度数为135°﹣63°＝72°，
360°÷72°＝5，
∴n的值为5．
17．解：（1）由多边形内角和180°（n﹣2）可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180的倍数，故不可能是多边形内角和；
（2）由多边形内角和180°（n﹣2）可知，2020÷180＝11……40，所以n﹣2＝11，所以n＝13故多边形是十三边形；
（3）由（2）计算可知余数为40°，所以多加的外角为40°．
18．解：（1）∠1是三角形FCE的外角，∠2是三角形BDL的外角．
故答案为：FCE；BDL．
（2）∵∠2＝∠B+∠D，∠1＝∠C+∠E，
∴∠B+∠D+∠C+∠E＝∠1+∠2，
∵∠1+∠2+∠A＝180°，
∴∠A+∠B+∠D+∠C+∠E＝180°．
19．解：（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n﹣3，多边形对角线的总条数为n（n﹣3）；
故答案为：n﹣3，n（n﹣3）；
（2）∵3×6＝18，
18×（18﹣3）＝135（个）．
答：数学社团的同学们一共将拨打电话为135个．
20．解：（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，
由条件可知，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝120°．
若∠BAC＝70°，
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴，，
∴，
∵∠BAC＝70°，
∴，
故答案为：120°；125°；
（2）；理由如下：
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴，，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB
＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
；
（3）∠A+∠D＝2∠BPC．
如图，延长BA，CD，交于点E，由（2）知，，
由条件可知∠BAD+∠CDA＝∠E+∠E+∠ADE+∠DAE＝180°+∠E，
∴∠E＝∠BAD+∠CDA﹣180°，
∴
，
即∠BAD+∠CDA＝2∠BPC．