2.6 列方程解应用问题 教案

2.6 一元一次方程的应用——方案决策问题
教学目标：
通过用一元一次方程解决实际问题，体会一元一次方程是解决实际问题的有效的数学模型；培养学生由实际问题转化为数学问题的能力和用数学知识及思想方法解决解实际问题的能力，进而强化学生用数学的意识；通过小组合作讨论交流，增进学生间的配合，树立学好数学的信心，使学生敢于面对数学活动中的困难，挑战困难，战胜困难。
教学重点：理解题意，将实际问题转化为数学问题，分析问题中的数量关系和等量关系，从而学会“方案决策问题”的一种解决方法
教学难点：
理解题意，准确地设出未知数，熟练方案决策问题的解决方法
教学过程
一、创设情境，引出课题．
问题1：你为什么要学习数学呢？
学生会从多角度思考，多方面回答，肯定会有学生提到：学习数学是为了利用数学知识解决实际生活中的问题．
教师以此为契机引出课题：
是啊，利用数学知识可以解决实际生活中的很多问题，前几天我们就利用一元一次方程解决了一些实际问题，今天我们继续利用一元一次方程帮助张琦解决他遇到的一些问题吧．
板书课题：一元一次方程的应用
问题2：大家还记得利用一元一次方程解决实际问题的基本过程吗？
学生回顾利用一元一次方程解决实际问题的基本过程，教师展示利用一元一次方程解决实际问题的基本过程的框图：
下面，让我们来看我们身边的一个实际问题！
二、自主探索、学习新知
张琦升入中学已有两个多月了，自己觉得已经长大了，可是父母还常常把他当作孩子一样关照，这让张琦很无奈．因此，一直希望能为父母做些什么，来证明自己的成熟．
上月初，学校刚刚进行期中考试完那周周末，全家决定放松一天，去逛新华书店．张琦和他的爸爸、妈妈可都是书虫子哎！
吃过早饭，张琦就催着父母快点出门．可是，爸爸似乎没有走的意思，正捧着一张纸在研究着什么．
张琦催促道：“爸爸，快走啊！您在看什么呢？”
爸爸答道：哦，昨天我路过国美电器商店，赶上店庆，所有商品打八折，我就花了1680元，买了一部诺基亚的手机．现在正为选择哪一种入网方式犹豫呢？
“我帮您想想．”张琦一边说，一边急不可待的从爸爸手中抢过那张纸。映入眼帘的是这样一张表格：
全球通 神州行
月租费 50元/月 0
本地通话费 0.40元/分 0.6元/分
张琦凝神思考：“这个表格是什么意思？”（你能帮他解读吗？）
学生解读，如有问题，教师帮助修正：
用“全球通”每月收月租费50元，此外根据累计通话时间按0.4元/分加收通话费；用“神州行”不收月租费，只根据累计通话时间按0.6元/分收通话费．
读懂了表格，张琦暗想：“爸爸为什么犹豫啊？”（你知道吗？）
学生会有多种答案，帮助学生从中抽取与数学相关的问题，从节省费用角度考虑．
知道了爸爸为什么犹豫，张琦来了兴致，决定先帮爸爸做出选择，再去买书．
看到张琦有兴趣，爸爸提出：“你先帮我算算，一个月内我如果在本地通话200分，用“全球通”和“神州行”各需交费多少元呢？如果在本地通话300分呢？”（如何计算移动电话的月交费用呢？）
如果通话200分，
则“全球通”需交费：50+0.40×200=130（元）；
“神州行”需交费：0.60×200=120（元）．
如果通话300分，
则“全球通”需交费：50+0.40×300=170（元）；
“神州行”需交费：0.60×300=180（元）．
教师指导学生把上述答案填入表格：
全球通 神州行
200分 130元 120元
300分 170元 180元
爸爸问张琦：“通过前面的计算，你能帮我选择了吗？”
张琦得意地说：“可以了．您告诉我，您一个月通话时间到底是200分还是300分？”
爸爸沉吟片刻：“说不准，我得查查以往的记录．你先帮我分析分析，什么情况下我选择‘全球通’？什么情况下我选择‘神州行’？”
张琦虽然很失望，但还是盯着表格琢磨起来．一会儿，他高兴地叫起来：“我知道该做什么了。”
张琦看到什么？想到什么？又做了什么呢？（你知道吗？)
让学生充分讨论、交流，经历观察、分析、猜想、验证的过程，最后引导学生发表见解．
从表格可以看到：累计通话时间从200分到300分变化时，费用从“全球通”高变为“神州行”高；于是想到：可能存在某个累计通话时间，会使“全球通”和“神州行”的收费一样多；因此尝试去求能使“全球通”和“神州行”的收费一样多的通话时间．
怎样求能使“全球通”和“神州行”的收费一样多的通话时间呢？
（1）可能有的学生会通过小学所经历的一些方法，找到当通话时间为250分时，“全球通”和“神州行”的收费一样多；
（2）最终要引导学生用列方程的方法解决问题．
即先设未知数，用含未知数的式子分别表示“全球通”、“神州行”每月的费用，再寻找相等关系列出一元一次方程，最后板书解题过程．
解：设累计通话x分时按两种计费方式收费一样多，则按“全球通”需收费(50+0.4x)元，按“神州行”需收费0.6x元．根据题意，得
0.6x ＝50＋0.4x．
移项，得
0.6x－0.4x＝50，
合并同类项，得
0.2x＝50，
系数化为1，得
x＝250．
所以，如果一个月内通话250分，那么按两种计费方式的收费相同．
张琦把计算的结果插入上表：
全球通 神州行
200分 130元 120元
250分 150元 150元
300分 170元 180元
看了看表格，张琦欣喜地说：“我知道怎样选择计费方式更省钱了．”（你知道了吗？）
引导学生对上表观察、分析，然后得出：
如果一个月内累计通话时间为250分，那么两种计费方式的收费相同；
如果一个月内累计通话时间不足250分，那么按“神州行”收费较少；
如果一个月内累计通话时间超过250分，那么按“全球通”收费较少．
这回，张琦信心满满的对爸爸说：“现在，只要您告诉我一个月累计通话多长时间，我都可以迅速的帮您选择了．”
爸爸欣慰地点点头，说：“琦琦真聪明，能用刚刚学到的知识帮我解决问题．你能梳理一下，今后遇到这类问题应该如何解决吗？”（你能吗？）
引导学生阐述，教师补充完善：
1．先借助方程求得使两种计费方式的收费相同的累计通话时间．
2．再分别各取一个超过与不足所求时间的时间，了解在什么情况下，哪种方式的收费少．
这样，我们就知道怎样选择计费方式更省钱了．
教师指出，随着学习的深入，我们对这个问题的认识会不断加深，对这个问题的解决方式会不断的变化．
回答完爸爸的问题，张琦抬头看了一眼家里的挂钟．九点多了，时针和分针刚好构成一个平角．张琦急了，忙催父母快点出门．
三、解决问题，加深认识
新华书店外，大雾弥漫；书店内，人头攒动．“怎么这么多人啊？”张琦一边自言自语，一边左顾右盼．一则醒目的广告映入眼帘：
“我们买不买卡呢？”妈妈犹豫着．张琦看看广告，又看看爸爸，父子俩相视片刻，会心的一笑．“妈妈，我可以帮你分析．” 张琦得意地说．（你知道张琦是如何分析的吗？）
引导学生正确解读广告，从省钱的角度思考，类比前一个问题的解决方法，先借助方程求得按原价购书需花费多少元时，用优惠购书卡购书与不用优惠购书卡购书花费相同；再分别各取一个超过与不足上述花费的金额，了解在什么情况下，用优惠购书卡购书的花费少．这样，我们就知道如何选择是否办理优惠购书卡了．
解：设按原价购书需花费x元时，用优惠购书卡购书与不用优惠购书卡购书花费相同，根据题意，得
20+80%x=x．
解得 x=100．
用优惠卡 不用优惠卡
80元 84元 80元
100元 100元 100元
120元 116元 120元
因此，如果需购买原价100元的图书，用不用优惠卡购书花费相同；
如果需购买原价低于100元的图书，不用优惠卡购书花费少；
如果需购买原价高于100元的图书，用优惠卡购书花费少．
听了张琦的分析，妈妈特别高兴，妈妈夸儿子长大了，能帮妈妈做事了
四、解决问题，拓展提高．
张老师暑假将带领该校“三好生”旅游，甲旅行社说“校长买全票一张，则其余学生可享受半票优惠”，乙旅行社说“包括老师在内全部按全票价的6折优惠”，若两家旅行社全票均为240元，请你帮助老师参谋参谋选择哪家旅行社合算？
学生自主分析，教师适当引导提问，辅助小组完成分析解答。
学生思考讨论教师深入到学生中与学生一起探究。
学生分析，组内交流解决问题的过程。
教师小结，指出什么是最优问题？
教师指出：在日常生产生活中经常会遇到一些问题，需要选择最佳的方案进行决策，从而取得最大效益，这类问题称之为优化问题。
五、回顾反思，提高认识
通过今天的学习你有什么收获？
教师引导学生从以下三方面总结：
1．知识技能、思想方法方面：
（1）巩固利用一元一次方程解决实际问题的基本过程；
（2）探索归纳得到“方案决策问题”的一种解决方法．在今后的数学学习中，我们还会学到其他的解决方法，到那时我们还将深化对这个问题的认识．
2．实践方面：生活中处处有数学，学会用数学的眼光看世界，学会用数学知识解决实际问题．
在今天的生活片段中，除了我们已发现和解决的问题之外，还隐藏着其他一些数学问题，你发现了吗？你能从数学的角度提出问题，并加以解决吗？你能结合发生在自己身上的数学情境，自己编写一道这样的题目吗？
3．德育方面：；长大意味着能用所学知识为父母、为家庭、为社会做事情；……
检验
设未知数·列方程
解方程
实际问题
数学问题
（一元一次方程）
数学问题的解
（x=a）
实际问题
的答案
好消息
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