3.8角平分线
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认真阅读教材，完成下列各题：
1.如果经过一个角的______的一条射线把这个角分成两个______的角，那么这条____叫做这个角的平分线.
答案：顶点 相等 射线
2.如图4—12—1，射线OC是∠AOB的平分线，那么，∠AOC=______=______∠AOB.
∠AOB=______∠AOC=______∠COB.
答案：∠COB 2 2
3.若图4—12—1中，∠COB=36°15'，那么，∠AOC=_____，∠AOB=_____。
答案：36°15' 72°30'
4.如图4—12—2，请用量角器量出∠ABC的度数，并用量角器作出∠ABC的角平分线.
答案：只要正确使用量角器，量出∠ABC的度数，在∠ABC的内部以BC为始边域一个角等于即可.
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1.如图4—12—3如果∠COB=∠AOC，那么OC是∠AOB的_____.
答案：平分线
2.如图4—12—4，∠ABC=90°，你能用三角板画出它的角平分线吗?
答案：能，使用45°的三角板即可画∠ABC的平分线了.
3.8 角平分线
典例分析
例1 如图4—12—5，直线AB、CD相交于点O，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线.
(1)求∠BOD和∠FOD的度数；
(2)OF平分∠AOD吗?
思路分析:①首先要弄清反向延长的含义：OE、OF在同一条直线上；②直线AB、CD相交于点O，则构成了两个平角∠A0lB、∠COD；③要说明OF为∠AOD的平分线，就是要根据已知的条件得到∠FOD=∠AOF或∠FOD=∠AOD或∠AOD=2∠FOD=2∠AOF即可.
解：(1)∵∠BOC=80°，OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠BOC=×80°=40°，
又∵CD为直线，∴∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=180°－80°=100°；
∵OF为OE的反向延长线，
∴∠BOE+∠BOD+∠FOD=180°，
∴∠FOD=180°－40°－100°=40°.
(2)同理∠BOD+∠AOD=180°，
∴∠AOD=180°－100。=80°，
∴∠AOF=∠AOD－∠FOD=80°－40°=40°，
∴∠AOF=∠FOD，
∴OF为∠AOD的平分线.
例2 如图4－12－6，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线.
(1)如果∠AOB=130°，那么∠COE是多少度?
(2)如果∠COD=20°，那么∠BOE是多少度?
思路分析：本题的关键是依据图形和已知条件，灵活运用角的和差倍分代换，特别注意角平分线的应用；本题要求∠COE是多少度，直接求不出∠COD和∠EOD的度数，但是我们可以根据角平分线的定义得到∠COD=∠AOD，∠EOD=∠BOD，即∠COE=∠AOB，把∠COD、∠EOD这两个未知量的和当作一个整体看待，这种思想叫整体思想，以后我们会经常用到这种数学思想.
解：(1)∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠COD=∠AOD，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠EOD=∠BOD，
∴∠COD+∠EOD=(∠AOD+∠BOD)，
∵∠COD+∠EOD=∠COE，∠AOD+∠BOD=∠AOB，
∴∠COE=∠AOB=×130°=65°
(2)∵∠COE=65°，∠COD=20°，
∴∠EOD=∠COE－∠COD=65°－20°=45°，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE=∠EOD=45°.
突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结☆触类旁通
1 方法点拨：角平分线应满足以下两个条件：(1)是从角的顶点引出的射线，即角的平分线与该角有共同的顶点，且在角的内部；(2)把已知的角分成了两个角，且这两个角相等.角平分线定义有以下两层含义：
如图4—12—5，(1)角平分线把这个角分成两个相等的角，即∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠COE.
(2)把一个角分成两个相等的角的射线是角的平分线，
即∵∠AOF=∠FOD，
∴OF为∠AOD的平分线.
2 变式引申：如图4—12—7，OM、OB、ON是∠AOC内的三条射线，0M、ON分别是∠AOB、∠BOC的平分线，∠NOC是∠AOM的3倍，∠BON比∠MOB大20°.
求∠AOC的度数.
