第20章 勾股定理--- 勾股定理与逆定理（含答案）初中数学人教版（2024）八年级下册

第20章《勾股定理》--- 勾股定理与逆定理
一、单选题
1．下列条件能判定 ABC是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在 ABC中，，的垂直平分线交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在等腰三角形中 ，分别是 ABC的高和中线，，，是上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．13 D．12
4．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（ ）
A． B． C． D．
5．图中是第七届国际数学教育大会的会徽，其图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的．其中，记为相应三角形的面积．则的值为（ ）
A． B．30 C．33 D．
6．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．连接，，若，，则大正方形的边长为（ ）
A．6 B． C． D．5
二、填空题
7．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ．
8．如图，在 ABC中，在、上分别截取、，使，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则点到的距离为 ．
9．明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》．该诗词翻译后的示意图如图所示，表示秋千的绳索，，与地面l垂直，点C到地面l的距离为5尺，点B到地面l的距离为1尺，尺，则的长为 尺．
西江月·秋千索长 平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？
10．如图，在 ABC中，，交于点D，，，过点B作，垂足为E，，，延长交的延长线于点H，则 ．
11．定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“超厉害三角形”．若是“超厉害三角形”，且一条直角边长为1，则斜边长是__________．
12．定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成两个等腰三角形，则称该线段为原三角形的“双等线”．例如：任意直角三角形斜边上的中线就是一条过直角顶点的“双等线”．问题解决：已知中，，，如果中存在过锐角顶点的“双等线”，则的长为 ．
三、解答题
13．如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格， ABC的三个顶点都在网格中的格点上．
(1)求 ABC的周长；
(2)判断 ABC的形状，并求 ABC边上的高；
14．如图，劳动课时，小星将 ABC的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？
15．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．
(1)求水池的深度．
(2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性．
16．已知在中，，，，点D是上一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为，连接．
(1)当时，求的长度；
(2)当为等腰三角形时，t的值为________；
(3)过点D作于点E，当P在点C的左侧运动时，要使，_______．
17．【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．
任务一：实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得，平分
道路
长度（米） 80 60 60 36 64 50
任务二：数学计算
根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
(1)求道路和的长；
(2)任务三：方案设计
根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路．
18．综合与实践
【阅读理解】
背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
（1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程．
【方法运用】
根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和 BDF如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E．
（2）连接，请利用“双求法”证明：；
【应用拓展】
（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长．
参考答案
一、单选题
1．B
解：设，
，
，
解得，
，
不是直角三角形，
故选项不符合题意；
∵，
，
，
，
，，
∴ ABC是直角三角形．
故选项符合题意；
，
∴不满足三角形三边关系，
故不能构成三角形．
故选项不符合题意；
，
，
不是直角三角形，
故选项不符合题意；
故选：．
2．D
解：，，，
，
的垂直平分线交于点，
，
；
故选．
3．B
解：∵在等腰 ABC中，，是 ABC的中线，
∴，故点B关于的对称点是点C，
连接，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，即的长度，
故的最小值是．
故选：B．
4．C
解：由题意，得：，，
中，，
由，
∴，
中，，
答：C岛和A港之间的距离．
故选：C．
5．D
解：∵，
∴，
∴，
∴，
……，
以此类推可知，
∴；
∴
=+ + +.....
，
故选：D．
6．B
解：由题意得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题
7．
解：连接，如图．
由题意得，，，
，．
是等腰直角三角形．
．
8．3
解：∵，，
∴，
在中，，
根据作图过程，得出是的平分线，
∵，
∴点到的距离，
故答案为：3．
9．
解：设尺，则尺，
∵，
∴，
∴由勾股定理得，
∴，
解得，
∴尺，
故答案为：．
10．
解：∵在中，，，
∴，
∵在 ABC中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴ HAE≌ BAE（ASA），
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
11．或
解：设，直角边，斜边为，另一条直角边为．根据勾股定理，有．
若，则，（不符合题意，舍去）．
情况一：若满足，即．代入，得，简化得，解得，（舍负），则，（舍负），．
情况二：若满足，即．代入，得，简化得，解得，（舍负），则，（舍负），．
斜边长为或．
故填：或．
12．或
解：分两种情况讨论：
①若“双等线”从顶点A出发，如图，是“双等线”，
则，是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
∴．
②若“双等线”从顶点B出发，如图，是“双等线”，
则，是等腰三角形，
设，
∵是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
三、解答题
13．（1）解：，，
的周长；
（2）解：，，，
，故 ABC是直角三角形，
设 ABC边上的高为，
即，
解得：，
则 ABC边上的高为2；
14．（1）解：．
理由：在中，
，，，
，
即，
是直角三角形，
．
（2）由（1）得，
为直角三角形，
，，
，
，
（元）
答：需花费2700元．
15．（1）设为x尺，
则，尺．
在中，，
由勾股定理，得
．
．
解得 ．
答：水池的深度为12尺．
（2）图中，，，
则，，
在中，，
由勾股定理，得．
．
解得．
16．（1）解：当时，，，，
在中，根据勾股定理，得．
（2）解：由题意可知，，
①当时，
∵，
，解得；
②当时，如图
∵，
∴，
∴；
③若，则，
在中，，
∴
解得：；
综上所述：t的值或16或5；
（3）解：∵，
∴，
∵
∴，
如图，连接，
∵P在C点的左侧，
∴．
又∵，，且，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：．
17．（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故道路的长为50米；
∵，，，，
∴，，
∴，
又∵，
在Rt ECB中，
∴，
∴，，
∵
∴
故的长为米；
（2）解：由（1）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点，如图所示：
．
18．证明：（1）方法1：正方形的面积，
方法2：正方形的面积，
（2）


即
连接，设
，，
，
即；
（3）过点A作于点D，过点C作于点H，
米，米，，
（米），
（米），
，
，
（米）．